Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:
und analog für Spaltenoperationen:
Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei ein n-dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis .
Für eine Menge von Vektoren gelte , d.h. . Der wichtigste Fall ist und die kanonische Basis. sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren .
Gegeben: linear unabhängig, sowie eine Basis B von V.
Gesucht: Vektoren , so dass eine Basis von V.
Verfahren: Bringe (A|B) auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen der Basis B, deren Index j die Eigenschaft hat, dass die (k + j)-te Spalte von à eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.
Rang und Basis des Bildes einer linearen AbbildungBearbeiten
Gegeben: Sei eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung .
Gesucht: und eine Basis vom .
Verfahren: Bringe A in Spaltenstufenform Ã, dann ist die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von à und die Spalten von A, deren Index Stufenindex von à ist, bilden eine Basis von .
Verfahren: Bringe auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls A invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt .
Gleichungen eines Unterraumes aus den ErzeugendenBearbeiten
Gegeben: .
Gesucht: Matrix mit der Eigenschaft, dass ; hierbei ist .
Verfahren 1: Bestimme Basislösungen von . Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix C.
Verfahren 2: Bringe auf Zeilenstufenform Ã. Sei l, , die Anzahl der Stufen unter den ersten k Spalten von Ã, dann ist die rechte untere Teilmatrix von à des Formates eine gesuchte Matrix C.
Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren ErzeugendenBearbeiten
Gegeben: Erzeugende für zwei Unterräume und von .
Gesucht: Basis von .
Verfahren 1: Bestimme Matrizen und zu bzw. nach (4.). Dann liefert die Matrix ein Gleichungssystem für . Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in B.
Verfahren 2: Bilde die Matrizen bzw. aus den Erzeugenden von bzw. . Bestimme die Matrix der Basislösungen von , . Sei die Teilmatrix von C der ersten Zeilen, dann sind die Spalten von die Koordinaten einer Basis von .