Kurs:Lineare Algebra I/Anwendungen des Gauß'schen Algorithmus (zur Wiederholung)

Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:

und analog für Spaltenoperationen:

Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei ein n-dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis .

Für eine Menge von Vektoren gelte , d.h. . Der wichtigste Fall ist und die kanonische Basis. sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren .

Basisbestimmung

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Gegeben:   .
Gesucht: Basis von   .
Verfahren: Bringe   auf Zeilenstufenform à. Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten von à bilden die Koordinaten einer Basis.

Basisauswahl

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Gegeben:   .
Gesucht: Maximale linear unabhängige Teilmenge.
Verfahren: Bringe A auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen Vektoren   , deren Index j einer Stufenspalte in à entspricht, bilden eine gesuchte Teilmenge.

Basisergänzung

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Gegeben:   linear unabhängig, sowie eine Basis B von V.
Gesucht: Vektoren  , so dass   eine Basis von V.
Verfahren: Bringe (A|B) auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen   der Basis B, deren Index j die Eigenschaft hat, dass die (k + j)-te Spalte von à eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.

Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung

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Gegeben: Sei   eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung  .
Gesucht:   und eine Basis vom  .
Verfahren: Bringe A in Spaltenstufenform Ã, dann ist   die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von à und die Spalten von A, deren Index Stufenindex von à ist, bilden eine Basis von  .

Lösungsbasis eines homogenen Systems

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Gegeben:  
Gesucht: Basis vom Unterraum  .
Verfahren: Überführe   in eine Zeilenstufenform A' .
 ,
dann sind die Zeilen von   eine Lösungsbasis.

Basis des Kerns einer linearen Abbildung

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Gegeben: siehe (4.)
Gesucht: Basis von  .
Verfahren: Bestimme eine Lösungsbasis von  . Diese sind die Koordinaten einer Basis von  .

Inverse einer quadratischen Matrix

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Gegeben:  .
Gesucht:  , falls A invertierbar.
Verfahren: Bringe   auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls A invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt  .

Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden

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Gegeben:  .
Gesucht: Matrix   mit der Eigenschaft, dass  ; hierbei ist  .
Verfahren 1: Bestimme Basislösungen von  . Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix C.
Verfahren 2: Bringe   auf Zeilenstufenform à  . Sei l,  , die Anzahl der Stufen unter den ersten k Spalten von Ã, dann ist die rechte untere Teilmatrix von à des Formates   eine gesuchte Matrix C.

Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden

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Gegeben: Erzeugende für zwei Unterräume   und   von   .
Gesucht: Basis von  .
Verfahren 1: Bestimme Matrizen   und   zu   bzw.   nach (4.). Dann liefert die Matrix   ein Gleichungssystem für  . Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in B.
Verfahren 2: Bilde die Matrizen   bzw.   aus den Erzeugenden von   bzw.  . Bestimme die Matrix   der Basislösungen von  ,  . Sei   die Teilmatrix von C der ersten   Zeilen, dann sind die Spalten von   die Koordinaten einer Basis von  .

Basis der Summe zweier Unterräume

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Gegeben: siehe (8.).
Gesucht: Basis von  .
Verfahren: Bestimme aus der Vereinigung der Erzeugenden nach (1.) oder (2.) eine Basis.