Kurs:Lineare Algebra I/Anwendungen des Gauß'schen Algorithmus (zur Wiederholung)
Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:
und analog für Spaltenoperationen:
Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei ein n-dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis .
Für eine Menge von Vektoren gelte , d.h. . Der wichtigste Fall ist und die kanonische Basis. sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren .
Basisbestimmung
Bearbeiten- Gegeben: .
- Gesucht: Basis von .
- Verfahren: Bringe auf Zeilenstufenform à . Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten von à bilden die Koordinaten einer Basis.
Basisauswahl
Bearbeiten- Gegeben: .
- Gesucht: Maximale linear unabhängige Teilmenge.
- Verfahren: Bringe A auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen Vektoren , deren Index j einer Stufenspalte in à entspricht, bilden eine gesuchte Teilmenge.
Basisergänzung
Bearbeiten- Gegeben: linear unabhängig, sowie eine Basis B von V.
- Gesucht: Vektoren , so dass eine Basis von V.
- Verfahren: Bringe (A|B) auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen der Basis B, deren Index j die Eigenschaft hat, dass die (k + j)-te Spalte von à eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.
Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung
Bearbeiten- Gegeben: Sei eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung .
- Gesucht: und eine Basis vom .
- Verfahren: Bringe A in Spaltenstufenform Ã, dann ist die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von à und die Spalten von A, deren Index Stufenindex von à ist, bilden eine Basis von .
Lösungsbasis eines homogenen Systems
Bearbeiten- Gegeben:
- Gesucht: Basis vom Unterraum .
- Verfahren: Überführe in eine Zeilenstufenform A' .
- ,
- dann sind die Zeilen von eine Lösungsbasis.
Basis des Kerns einer linearen Abbildung
Bearbeiten- Gegeben: siehe (4.)
- Gesucht: Basis von .
- Verfahren: Bestimme eine Lösungsbasis von . Diese sind die Koordinaten einer Basis von .
Inverse einer quadratischen Matrix
Bearbeiten- Gegeben: .
- Gesucht: , falls A invertierbar.
- Verfahren: Bringe auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls A invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt .
Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden
Bearbeiten- Gegeben: .
- Gesucht: Matrix mit der Eigenschaft, dass ; hierbei ist .
- Verfahren 1: Bestimme Basislösungen von . Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix C.
- Verfahren 2: Bringe auf Zeilenstufenform à . Sei l, , die Anzahl der Stufen unter den ersten k Spalten von Ã, dann ist die rechte untere Teilmatrix von à des Formates eine gesuchte Matrix C.
Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden
Bearbeiten- Gegeben: Erzeugende für zwei Unterräume und von .
- Gesucht: Basis von .
- Verfahren 1: Bestimme Matrizen und zu bzw. nach (4.). Dann liefert die Matrix ein Gleichungssystem für . Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in B.
- Verfahren 2: Bilde die Matrizen bzw. aus den Erzeugenden von bzw. . Bestimme die Matrix der Basislösungen von , . Sei die Teilmatrix von C der ersten Zeilen, dann sind die Spalten von die Koordinaten einer Basis von .
Basis der Summe zweier Unterräume
Bearbeiten- Gegeben: siehe (8.).
- Gesucht: Basis von .
- Verfahren: Bestimme aus der Vereinigung der Erzeugenden nach (1.) oder (2.) eine Basis.