Kurs:Lineare Algebra I/Matrix-Kalkül

Rang und assoziierte Unterräume

a) Matrizen als Vektorraum (zur Wiederholung)

Neben den elementaren Zeilenoperationen sind die folgenden Operationen naheliegend:

Addition von Matrizen mit gleichem Typ:

$+:Mat(m,n;K)\times Mat(m,n;K)\rightarrow Mat(m,n;K),(A,B)\mapsto A+B:=(a_{ij}+b_{ij})$.

Skalare Multiplikation einer Matrix mit einer Konstanten:

$\cdot :K\times Mat(m,n;K)\rightarrow Mat(m,n;K),(r,A)\mapsto rA:=(ra_{ij})$.

Mit diesen Operationen wird die Menge $Mat(m,n;K)$ zu einen K-Vektorraum. Testfrage: Welche Dimension hat dieser Vektorraum?

Eine weitere (einstellige) Operation:

Transposition einer Matrizen:

$^{t}:Mat(m,n;K)\rightarrow Mat(n,m;K),A=(a_{ij})\mapsto A^{t}:=(a_{ji})$.

Dabei werden die Spalten und Zeilen miteinander vertauscht.

Regeln: $(A+B)^{t}=(A^{t}+B^{t})$ und $(rA)^{t}=r(A^{t})$, d.h. $-^{t}$ ist linear (und bjektiv), also ein Isomorphismus der Vektorräume.

b) Unterräume assoziiert zu einer Matrix

Einer Matrix $A\in Mat(m,n;K)$ ordnen wir drei Unterräume zu:

• $Z(A)\subseteq K^{n}$ - Zeilenvektorraum, erzeugt von den Zeilenvektoren von $A$,
• $S(A)\subseteq K^{m}$ - Spaltenvektorraum, erzeugt von den Spaltenvektoren von $A$,
• $H(A,0)\subseteq K^{n}$ - Lösungsraum des zu $A$ zugehörigen linearen Gleichungssystems.

Bemerkung: Der Zeilenraum einer Matrix ist unter Zeilenoperationen (also beim Gauß-Algorithmus) invariant.

Aus den Sätzen 1.10 und 2.8 erhalten wir:

Satz 3.1 (3. Dimensionsformel)

$dim{\mathcal {Z}}(A)=dim{\mathcal {S}}(A)=n-dim{\mathcal {H}}(A,0)$.

Nur für den Körper der reellen Zahlen (oder dessen Unterkörper wie $\mathbb {Q}$) gilt die folgende Aussage:

Lemma 3.2

Sei $K=\mathbb {R}$, dann ist ${\mathcal {Z}}(A)\cap {\mathcal {H}}(A,0)=\{0\}$, insbesondere sind ${\mathcal {Z}}(A)$ und ${\mathcal {H}}(A,0)$ komplementär.

Wir können nun eine vom Gauß-Algorithmus unabhängige Charakterisierung des Ranges geben.

Definition 3.3

Der Rang einer Matrix ist die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix, d.h. $rg(A)=dim{\mathcal {Z}}(A)=dim{\mathcal {S}}(A)$.

Matrixprodukt

Die Multiplikation von Matrizen kann auf die Verknüpfung linearer Abbildungen zurückgeführt werden. Idee: Seien $A\in Mat(m,n;K)$ und $B\in Mat(n,k;K)$ zwei Matrizen, dann liefert die Verknüpfung $f_{A}\circ f_{B}$ eine lineare Abbildung $g:K^{k}\rightarrow K^{m}$, die gerade vom Produkt der Matrizen $A\cdot B$ induziert sein soll, d.h. die Produktmatrix $C=A\cdot B$ wird durch die Gleichung $f_{C}=f_{A}\circ f_{B}$ eingeführt.

Definition 3.4

Das Produkt zweier Matrizen $A=(a_{ij})\in Mat(m,n;K)$ und $B=(b_{jl})\in Mat(n',k;K)$ ist definiert, falls Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B (also $n=n'$) und ergibt eine Matrix vom Typ $m\times k=$ Zeilenzahl(A) $\times$ Spaltenzahl(B): $A\cdot B:=(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jl})\in Mat(m,k;K)$.

Das Produkt von Matrizen induziert Abbildungen $Mat(m,n;K)\times Mat(n,k;K)\rightarrow Mat(m,k;K)$.

Sofern die Produkte definiert sind gelten folgende Regeln:

a) $A(BC)=(AB)C$,

b) $A(B+C)=AB+AC$,

c) $(A+B)C=AC+BC$,

d) $r(AB)=(rA)B=A(rB)$,

e) $(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$,

f) $I_{m}A=AI_{n}=A$, wobei $A\in Mat(m,n)$ und $I_{n}$ die (n, n)-Matrix aus den n Einheitsvektoren.

Achtung: Auch für quadratische Matrizen ist das Produkt in der Regel nicht kommutativ.

Vereinfachte Schreibweisen:

a) Ein lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix $(A,b):A\cdot x=b,$ $x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$

b) Die einer Matrix A zugeordnete lineare Abbildung $f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m}:f_{A}(x)=A\cdot x$.

c) $Ker(f_{A})={\mathcal {H}}(A,0)$

d) $Im(f_{A})={\mathcal {S}}(A)=\{b|{\mathcal {H}}(A,b)\neq \emptyset \}$

e) $f_{A}^{-1}(b)={\mathcal {H}}(A,b)$

Üblicherweise wird der Punkt bei der Matrixmultiplikation weggelassen.

Reguläre Matrizen

Im folgenden Abschnitt werden ausschließlich quadratischen Matrizen betrachtet: $Mat_{n}:=Mat(n,n)$. Hier ist die Multiplikation unbeschränkt ausführbar. Wir fragen nach der Existenz einer zu $A$ inversen Matrix, d.h. nach einer Lösung der Matrixgleichung $AX=I_{n}$.

Satz 3.5

Die Matrixgleichung $AX=I_{n}$, $A\in Mat_{n}$, ist lösbar gdw. $rg(A)=n$. Ist die Gleichung lösbar, dann ist die Lösung eindeutig.

Die eindeutige Lösung bezeichnen wir mit $A^{-1}$, die Inverse von $A$. Quadratische Matrizen mit maximalem Rang nennen wir regulär. Die Menge aller regulären Matrizen bezeichnen wir mit $Gl_{n}$.

Definition 3.6

Eine Matrix $A\in Mat_{n}$ heißt regulär, wenn $rg(A)=n$.

Rechenregeln:

Seien $A,B\in Gl_{n}$, dann sind $AB$ und $A^{t}$ ebenfalls regulär und es gilt:

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ und $(A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}$.

Testfragen:

Wie sieht die reduzierte Zeilen-Stufenform einer regulären Matrix aus?

Welchen Rang hat $A^{-1}$? (Begründung?)

Rechenverfahren: Bestimmung der Inversen

Überführe $(A,I_{n})\in Mat(n,2n)$ in die reduzierte Zeile-Stufenform. Resultat: $(I_{n},A^{-1})$.

Bemerkungen: Die Menge aller regulären Matrizen bildet eine Gruppe, die lineare Gruppe. Wir führen den Gruppenbegriff erst später ein, hier bedeutet dies: Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und ebenso ihre Inverse. Bezeichnung: $Gl_{n}(K):=\{A\in Mat(n,n;K)|A\ regulaer\}$.

Elementarmatrizen

Die elementaren Zeilen- (bzw. Spalten-) operationen werden durch Multiplikation mit den sogenannten Elementarmatrizen induziert.

Definition 3.7

Die Anwendung einer elementaren Zeilenoperation $p_{ik}$, $q_{ik}(\lambda )$ oder $m_{i}(\lambda )$ auf die Einheitsmatrix $I_{n}$ ergibt eine zugehörige Elementarmatrix, die wir entsprechend der Elementaroperation mit $P_{ik}$, $Q_{ik}(\lambda )$ bzw. $M_{i}(\lambda )$ bezeichnen.

Satz 3.8

Sei $o$ eine der elementaren Zeilenoperationen $p_{ik}$, $q_{ik}(\lambda )$, $m_{i}(\lambda )$ und $O$ die zugehörige Elementarmatrix, dann gilt: $A{\stackrel {o}{\rightsquigarrow }}A'=O\cdot A$.

Bemerkungen: Für eine analoge Spaltenoperation gilt: $A{\stackrel {\rightsquigarrow }{o}}A'=A\cdot O^{t}$, wobei $O^{t}$ die Transponierte von $O$ ist.

Lemma 3.9

a) Jede reguläre Matrix ist Produkt von Elementarmatrizen.

b) Ist $A\rightsquigarrow A'$ ein Folge elementarer Zeilenoperationen, dann existiert eine Matrix $C\in Gl_{m}$ mit $A'=CA$.

c) Ist $A\rightsquigarrow A'$ eine Folge elementarer Spaltenoperationen, dann existiert eine Matrix $D\in Gl_{n}$ mit $A'=AD$.

d) Zu jeder Matrix $A\in Mat(m,n)$, $rg(A)=r$, gibt es Matrizen $C\in Gl_{m}$ und $D\in Gl_{n}$ mit

$CAD={\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}$.

Koordinaten-Kalkül

Definition 3.10

Jede Basis $B=\{b_{1},...,b_{n}\}$ eines Vektorraumes $V$ induziert durch die Zuordnung $b_{i}\mapsto e_{i}$ einen Koordinatenisomorphismus $\phi _{B}:V\rightarrow K^{n}$. Hierbei heißt das n-Tupel $(x)_{B}$ Koordinaten von x bzgl. B und ergibt sich aus den Koeffizienten der eindeutigen Darstellung von x als Linearkombination von B: $x=\lambda _{1}b_{1}+...+\lambda _{n}b_{n}$, $(x)_{B}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\vdots \\\lambda _{n}\end{pmatrix}}$.

Satz 3.11

Für die Umrechnung von Koordinaten gilt: Sind $B$ und $B'$ zwei Basen von $V$, so ist $(x)_{B'}=T\cdot (x)_{B}$, wobei die Transformationmatrix $T=T_{B'}^{B}$ die Matrix zur Abbildung $\phi _{B'}\circ \phi _{B}^{-1}$ ist.

Definition 3.12

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung $f:V\rightarrow W$ bzgl. einer Basis $B$ von $V$ und einer Basis $C$ von $W$ ist die zu $\phi _{C}\circ f\circ \phi _{B}^{-1}$ gehörige Matrix, $M_{C}^{B}(f)=M(\phi _{C}\circ f\circ \phi _{B}^{-1})$.

Die Matrixdarstellung lässt sich am einfachsten mit einem Diagramm von Abbildungen erklären.

Die Matrix $M(f)=M_{C}^{B}(f)$ wird wie folgt aufgestellt: Die $n=dim(V)$ Spalten ergeben sich aus den Koordinaten bzgl. $C$ der Bilder der Basisvektoren $(f(b_{1}))_{C},...,(f(b_{n}))_{C}$ von $B$, abgekürzt $M_{C}^{B}(f)=(f(B)_{C})\in Mat(m,n;K)$. Die Umrechnung der Darstellungen bzgl. verschiedener Basen kann man sich an entsprechenden Abbildungsdiagrammmen verdeutlichen.

Satz 3.13

Es gelten die folgenden Transformationsformeln, dabei sind $B$, $B'$ Basen von $V$, sowie $C$ und $C'$ Basen von $W$ und $f\in Hom(V,W)$ eine lineare Abbildung:

(1) $(f(x))_{C}=M_{C}^{B}(f)\cdot (x)_{B}$

(2) $M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}\cdot M_{C}^{B}(f)\cdot T_{B}^{B'}$

(3) $M_{B'}^{B}(id_{V})=T_{B'}^{B}=(T_{B}^{B'})^{-1}=M_{B}^{B'}(id_{V})^{-1}$

Bemerkung:

Ist $B$ eine Basis von $K^{n}$ und bezeichne $B$ ebenfalls die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren der Basis $B$ gebildet werden, so gilt: $B=T_{I}^{B}$, $I$ bezeichne die kanonische Basis $\{e_{1},...,e_{n}\}$.