Kurs:Lineare Algebra I/Matrix-Kalkül

Rang und assoziierte Unterräume

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a) Matrizen als Vektorraum (zur Wiederholung)

Neben den elementaren Zeilenoperationen sind die folgenden Operationen naheliegend:

Addition von Matrizen mit gleichem Typ:
 .
Skalare Multiplikation einer Matrix mit einer Konstanten:
 .

Mit diesen Operationen wird die Menge   zu einen K-Vektorraum. Testfrage: Welche Dimension hat dieser Vektorraum?

Eine weitere (einstellige) Operation:

Transposition einer Matrizen:
 .

Dabei werden die Spalten und Zeilen miteinander vertauscht.

Regeln:   und  , d.h.   ist linear (und bjektiv), also ein Isomorphismus der Vektorräume.

b) Unterräume assoziiert zu einer Matrix

Einer Matrix   ordnen wir drei Unterräume zu:

  •   - Zeilenvektorraum, erzeugt von den Zeilenvektoren von  ,
  •   - Spaltenvektorraum, erzeugt von den Spaltenvektoren von  ,
  •   - Lösungsraum des zu   zugehörigen linearen Gleichungssystems.

Bemerkung: Der Zeilenraum einer Matrix ist unter Zeilenoperationen (also beim Gauß-Algorithmus) invariant.

Aus den Sätzen 1.10 und 2.8 erhalten wir:

Satz 3.1 (3. Dimensionsformel)

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 .

Nur für den Körper der reellen Zahlen (oder dessen Unterkörper wie  ) gilt die folgende Aussage:

Lemma 3.2

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Sei  , dann ist  , insbesondere sind   und   komplementär.

Wir können nun eine vom Gauß-Algorithmus unabhängige Charakterisierung des Ranges geben.

Definition 3.3

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Der Rang einer Matrix ist die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix, d.h.  .

Matrixprodukt

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Die Multiplikation von Matrizen kann auf die Verknüpfung linearer Abbildungen zurückgeführt werden. Idee: Seien   und   zwei Matrizen, dann liefert die Verknüpfung   eine lineare Abbildung  , die gerade vom Produkt der Matrizen   induziert sein soll, d.h. die Produktmatrix   wird durch die Gleichung   eingeführt.

Definition 3.4

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Das Produkt zweier Matrizen   und   ist definiert, falls Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B (also  ) und ergibt eine Matrix vom Typ   Zeilenzahl(A)   Spaltenzahl(B):  .

Das Produkt von Matrizen induziert Abbildungen  .

Sofern die Produkte definiert sind gelten folgende Regeln:

a)  ,
b)  ,
c)  ,
d)  ,
e)  ,
f)  , wobei   und   die (n, n)-Matrix aus den n Einheitsvektoren.

Achtung: Auch für quadratische Matrizen ist das Produkt in der Regel nicht kommutativ.

Vereinfachte Schreibweisen:

a) Ein lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix    
b) Die einer Matrix A zugeordnete lineare Abbildung  .
c)  
d)  
e)  

Üblicherweise wird der Punkt bei der Matrixmultiplikation weggelassen.

Reguläre Matrizen

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Im folgenden Abschnitt werden ausschließlich quadratischen Matrizen betrachtet:  . Hier ist die Multiplikation unbeschränkt ausführbar. Wir fragen nach der Existenz einer zu   inversen Matrix, d.h. nach einer Lösung der Matrixgleichung  .

Satz 3.5

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Die Matrixgleichung  ,  , ist lösbar gdw.  . Ist die Gleichung lösbar, dann ist die Lösung eindeutig.

Die eindeutige Lösung bezeichnen wir mit  , die Inverse von  . Quadratische Matrizen mit maximalem Rang nennen wir regulär. Die Menge aller regulären Matrizen bezeichnen wir mit  .

Definition 3.6

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Eine Matrix   heißt regulär, wenn  .

Rechenregeln:

Seien  , dann sind   und   ebenfalls regulär und es gilt:
  und  .

Testfragen:

Wie sieht die reduzierte Zeilen-Stufenform einer regulären Matrix aus?
Welchen Rang hat  ? (Begründung?)

Rechenverfahren: Bestimmung der Inversen

Überführe   in die reduzierte Zeile-Stufenform. Resultat:  .

Bemerkungen: Die Menge aller regulären Matrizen bildet eine Gruppe, die lineare Gruppe. Wir führen den Gruppenbegriff erst später ein, hier bedeutet dies: Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und ebenso ihre Inverse. Bezeichnung:  .

Elementarmatrizen

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Die elementaren Zeilen- (bzw. Spalten-) operationen werden durch Multiplikation mit den sogenannten Elementarmatrizen induziert.

Definition 3.7

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Die Anwendung einer elementaren Zeilenoperation  ,   oder   auf die Einheitsmatrix   ergibt eine zugehörige Elementarmatrix, die wir entsprechend der Elementaroperation mit  ,   bzw.   bezeichnen.

Satz 3.8

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Sei   eine der elementaren Zeilenoperationen  ,  ,   und   die zugehörige Elementarmatrix, dann gilt:  .

Bemerkungen: Für eine analoge Spaltenoperation gilt:  , wobei   die Transponierte von   ist.

Lemma 3.9

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a) Jede reguläre Matrix ist Produkt von Elementarmatrizen.
b) Ist   ein Folge elementarer Zeilenoperationen, dann existiert eine Matrix   mit  .
c) Ist   eine Folge elementarer Spaltenoperationen, dann existiert eine Matrix   mit  .
d) Zu jeder Matrix  ,  , gibt es Matrizen   und   mit
 .

Koordinaten-Kalkül

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Definition 3.10

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Jede Basis   eines Vektorraumes   induziert durch die Zuordnung   einen Koordinatenisomorphismus  . Hierbei heißt das n-Tupel   Koordinaten von x bzgl. B und ergibt sich aus den Koeffizienten der eindeutigen Darstellung von x als Linearkombination von B:  ,  .

Satz 3.11

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Für die Umrechnung von Koordinaten gilt: Sind   und   zwei Basen von  , so ist  , wobei die Transformationmatrix   die Matrix zur Abbildung   ist.

Definition 3.12

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Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung   bzgl. einer Basis   von   und einer Basis   von   ist die zu   gehörige Matrix,  .

Die Matrixdarstellung lässt sich am einfachsten mit einem Diagramm von Abbildungen erklären.

Die Matrix   wird wie folgt aufgestellt: Die   Spalten ergeben sich aus den Koordinaten bzgl.   der Bilder der Basisvektoren   von  , abgekürzt  . Die Umrechnung der Darstellungen bzgl. verschiedener Basen kann man sich an entsprechenden Abbildungsdiagrammmen verdeutlichen.

Satz 3.13

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Es gelten die folgenden Transformationsformeln, dabei sind  ,   Basen von  , sowie   und   Basen von   und   eine lineare Abbildung:
(1)  
(2)  
(3)  

Bemerkung:

Ist   eine Basis von   und bezeichne   ebenfalls die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren der Basis   gebildet werden, so gilt:  ,   bezeichne die kanonische Basis  .