Kurs:Lineare Algebra I/Normalform von Operatoren, Diagonalisierbarkeit

Unter einer Normalform verstehen wir in der linearen Algebra in der Regel eine möglichst einfache (und weitestgehend eindeutige) Form der Matrixdarstellung eines Objektes. Was konkret unter ’einer einfachen Form’ zu verstehen ist, gehört meist zur Fragestellung dazu. Oft gibt man sich eine Form vor und fragt, welche Objekte oder ob alle Objekte in dieser Form dargestellt werden können.

Beispiel: Normalform einer linearen Abbildung.

Zu , und , gibt es Basen von und von , so dass

, .

Dieses Beispiel gilt natürlich auch für den Fall . Solche linearen Abbildungen werden Endomorphismen oder Operatoren genannt. Diese sollen näher untersucht werden. Allerdings ist es hier nicht sinnvoll, zwei verschiedene Basen gleichzeitig in einem Vektorraum zu betrachten. Deshalb formulieren wir das Normalformproblem für Operatoren (eines endlich erzeugten Vektorraumes):

Auf welche Form kann die Matrixdarstellung eines Operators bei geeigneter Basiswahl gebracht werden?

In der Sprache der Matrizen bedeutet dies: Zu einer quadratischen Matrix suchen wir eine reguläre Matrix , so dass eine einfache Gestalt hat. Diese Relation zwischen den Matrizen trägt einen Namen:

Definition 5.1

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Zwei quadratische Matrizen heißen konjugiert, falls und .

Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der quadratischen Matrizen. Insbesondere zerfällt in eine disjunkte Vereinigung von Äquivalenzklassen (hier Konjugationsklassen genannt), deren Elemente jeweils die verschiedenen Matrixdarstellungen eines Operators sind. Das Finden einer Normalform bedeutet hier, aus jeder Konjugationsklasse einen eindeutig bestimmten Vertreter (zumindest eindeutig bis auf endlich viele z.B. Umordnungen) einer bestimmten Gestalt zu finden. Es gibt verschiedene Antworten auf das Normalformproblem für Operatoren. Im Unterschied zu dem obigen Beispiel wird die Antwort auch vom Körper anhängen bzw. werden einige Normalformen nur für bestimmte Operatoren existieren. Zunächst werden wir nur die einfachen Fälle behandeln: Diagonalform und Dreiecksform (Schur-Normalform). Im nächsten Semester werden wir eine vollständige Antwort in den Varianten der Jordan-Normalform kennenlernen.

Eigenvektoren und Eigenwerte

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Stets sei   ein Operator (lineare Abbildung) und   ein  -dimensionaler  -Vektorraum. Alle Begriffe und Aussagen des folgenden Abschnittes können ebenso gut für quadratische Matrizen   formuliert werden, indem wir   als Operator   auf   auffassen.

Definition 5.2

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  heißt Eigenwert eines Operators  , falls ein Vektor   aus   existiert, so dass  . Ein solcher Vektor   heißt Eigenvektor von   zum Eigenwert  . Die Menge aller Eigenvektoren zu   (einschließlich der Nullvektors) bildet den Eigenraum  .

Offensichtlich ist jeder Eigenraum ein Vektorunterraum, da   bzw. (für eine Matrix  )  . Nach Definition ist   Eigenwert gdw.  . Beispiele: Für   betrachten wir folgende Spezialfälle.

a) Diagonalmatrix  : Einziger Eigenwerte ist  .
b) Diagonalmatrix  ,  : Zwei Eigenwerte  ,   mit Eigenvektoren   bzw.  .
c) Dreiecksmatrix  ,  : Einziger Eigenwert ist  .
d) Dreiecksmatrix  ,  ,  : Eigenwerte sind   und  ; zugehörige Eigenvektoren sind   und  .
e) Symmetrische Matrix  ,  : Es gibt stets zwei verschiedene Eigenwerte  .
f) Schiefsymmetrische Matrix  ,  : Es gibt zwei verschiedene (reelle) Eigenwerte   gdw.  .
g) Drehmatrix  ,  : Es gibt keine (reellen) Eigenwerte und damit keine Eigenvektoren. Dies ist ebenso aus geometrischen Gründen einsichtig.

Diese Beispiele ergeben offenbar keine vollständige Fallunterscheidung.

Satz 5.3

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Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Corollar 5.4

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(1) Ein Operator besitzt höchstens   Eigenwerte.
(2) Hat ein Operator   verschiedene Eigenwerte, so gibt es eine Basis aus Eigenvektoren.

Für eine Matrix lassen sich die zugehörigen Eigenwerte durch das Verschwinden von Determinanten charakterisieren:

Satz 5.5

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Für   gilt:   ist Eigenwert von  .

Dies kann mittels der Matrixdarstellung auf Operatoren erweitert werden.

Definition 5.6

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Das charakteristische Polynom eines Operators   bezüglich einer Basis   von   ist die Determinante:  .

Bemerkungen:

  •   ist unabhängig von der Wahl einer Basis   in  .
  •   ist ein Polynom vom Grad   mit Koeffizienten aus  .
  • Der höchste Term von   ist  , der absolute Term ist  .

Beispiele:  .

 :  .
 :  .

Generell ist der Koeffizient   von   im charakteristischen Polynom   von der Form   multipliziert mit der Summe aller Hauptminoren von   der Ordnung  . Ein Hauptminor ist eine Unterdeterminante der Matrix, die durch Streichen von Zeilen und Spalten mit gleichem Index entsteht, hier also von jeweils   Zeilen und Spalten.

Lemma 5.7

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Ein Skalar   ist Eigenwert von   gdw.   ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms  .

Einschub: Aussagen zu Nullstellen von Polynomen

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Definition 5.8

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Mit   bezeichnen wir die Menge aller Polynome in der Variablen   mit Koeffizienten im Körper  .

Polynome können addiert und multipliziert werden. Addition und Multiplikation (mit Konstanten) induzieren auf   die Struktur eines K-Vektorraumes. Die konstanten Polynome (von Grad 0) identifizieren wir mit dem Körper  . Der Grad eines Polynoms ist die höchste Potenz von  :  . In   gilt die Teilbarkeitslehre (wie in  ; wird später allgemein behandelt), insbesondere gibt es eine Division mit Rest:

Satz 5.9 (Division mit Rest)

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Zu je zwei Polymonen  , gibt es stets eindeutig bestimmte Polynome   mit  , wobei   oder  .

Corollar 5.10

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(1)   ist Nullstelle von   gdw.   teilt  , d.h.   für ein  .
(2) Ein Polynom vom Grad   besitzt höchstens   Nullstellen.
(3)   heißt Vielfachheit der Nullstelle   von  .

An dieser Stelle formulieren wir:

Satz 5.10i (Fundamentalsatz der Algebra)

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Jedes nichtkonstante Polynom   hat eine Nullstelle in  , somit ist   algebraisch abgeschlossen.

Daraus kann gefolgert werden, dass jeder Körper in einem algebraisch abgeschlossenen Körper liegt.

Corollar 5.11

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(1) Jedes Polynom positiven Grades   besitzt eine eindeutige Faktorisierung in lineare Polynome:  ;  ;  .
(2) Jedes Polynom positiven Grades   besitzt eine eindeutige Faktorisierung in lineare oder quadratische Polynome:  ;  ;  ;  .

Beim Auffinden rationaler Nullstellen von rationalen Polynomen hilft die folgende Überlegung, die auf einen Test endlich vieler Zahlen hinausläuft.

Lemma 5.12

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Sei   ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten. Ist   eine rationale Nullstelle von  , dann ist   ein Teiler von   und   ein Teiler von  .

Warum ist der Fall von ganzzahligen Polyomen keine Beschränkung der beschriebenen Situation?

Diagonalisierbare Operatoren

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Definition 5.13

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Ein Operator   heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis in   gibt, so dass die zugehörige Matrix   Diagonalgestalt besitzt.

Nicht jeder Operator ist diagonalisierbar. Nach der folgenden Charakterisierung kann es zwei Ursachen dafür geben.

Satz 5.14

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Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
(1)   ist diagonalisierbar,
(2)   hat eine Basis aus Eigenvektoren von  ,
(3)   faktorisiert   in lineare Polynome und die Vielfachheiten der Nullstellen sind die Dimensionen der zugehörigen Eigenräume.

Corollar 5.15

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Die Dimension eines Eigenraumes   ist beschränkt durch die algebraische Vielfachheit der Nullstelle   im charakteristischen Polynom  .

Beschränken wir uns auf den Fall, dass alle Nullstellen von   aus   sind, d.h.   zerfällt in   in ein Produkt von Linearfaktoren. Dies ist beispielsweise über dem Körper   immer erfüllt. Dann ist ein Operator genau dann nicht diagonalisierbar, wenn die Dimension eines Eigenraumes kleiner als die Vielfachheit des zugehörigen Eigenwertes im charakteristischen Polynom ist. Ein solcher Operator lässt sich stets noch mit einer Dreiecksmatrix darstellen.

Satz 5.16 (Schur-Normalform)

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Zerfällt das charakteristische Polynom  � vollständig in ein Produkt von Linearfaktoren, dann gibt es eine Basis   von  , so dass   eine obere Dreiecksmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonale.

Bemerkungen:

  • Während bei einer diagonalisierbaren Matrix die Diagonalform bis auf die Reihenfolgen der Diagonalelemente (d.h. der Eigenwerte) eindeutig bestimmt ist (und damit unsere Erwartung an eine Normalform erfüllt wird), sind bei der Dreiecksform der Schur-Normalform nur die Hauptdiagonalelemente (ebenfalls die Eigenwerte) eindeutig bestimmt.
  • Hinweis: Reelle symmetrische Matrizen sind stets diagonalisierbar. (Beweis im Teil 2, Stichwort: Hauptachsentransformation)
  • Hinweis: Die Dreiecksmatrix der Schur-Normalform kann weiter vereinfacht werden, dass höchstens unmittelbar über der Hauptdiagonalen statt ’Null’ ’Eins’ stehen kann (Beweis im Teil 2, Stichwort: Jordan-Normalform).
  • Die Normalformen von Operatoren sind u.a. wichtig für die Lösung linearer Differentialgleichungssysteme!
  • Hinweis: (Simultane Diagonalisierbarkeit vertauschbarer Operatoren) Sind zwei diagonalisierbare Operatoren   und   vertauschbar, also  , dann existiert eine Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren.

Hier ein Beispiel für die Gestalt der Jordan-Normalform (eine 010 steht höchstens nur ’zwischen’ gleichen Eigenwerten!):