Kurs:Lineare Algebra I/Vorbereitung

Wir geben eine kurze Zusammenstellung von Notationen aus der naiven Mengenlehre. Zur Vermeidung von Paradoxien werden nur solche Mengen betrachtet, deren Elemente einer Grundgesamtheit, genannt Universum, angehören.

Eine Menge ist die Zusammenfassung von Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens nach gewissen Eigenschaften. Die Objekte einer Menge heißen Elemente.

Es gilt das Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten:

Für ein Element x des Universums ($x\in {\mathcal {U}}$) und einer Menge M gilt stets: entweder $x\in M$ oder $x\notin M$.

Die wichtigsten Operationen mit Mengen

• Vereinigung: $A\cup B:=\{x\in {\mathcal {U}}|x\in A~oder~x\in B\}$;
• Durchschnitt: $A\cap B:=\{x\in {\mathcal {U}}|x\in A~und~x\in B\}$;
• Differenzmenge: $A\setminus B:=\{x\in A|x\notin B\}$; andere Schreibweise: $A-B:=\{x\in A|x\notin B\}$;
• Komplement: ${\overline {A}}:={\mathcal {U}}\setminus A=\{x\in {\mathcal {U}}|x\notin A\}$ andere Schreibweise: ${\overline {A}}:={\mathcal {U}}-A=\{x\in {\mathcal {U}}|x\notin A\}$;
• kartesisches Produkt: $A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$ (Menge der geordneten Paare (a, b) von Elementen aus A und B.)

Eine Menge A ist Teilmenge von B (schreib: $A\subseteq B$), wenn aus $x\in A$ folgt $x\in B$.

Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A: $P(A):=\{B|B\subseteq A\}$.

Reservierte Bezeichner für Mengen

• leere Menge: $\emptyset$
• natürliche Zahlen: $\mathbb {N} :=\{1;2;...\}$ bzw. $\mathbb {N} _{0}:=\{0;1;2;...\}$
• ganze Zahlen: $\mathbb {Z} :=\{0;1;-1;2;-2;...\}$
• rationale Zahlen: $\mathbb {Q} :=\{m/n|m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\}$
• reelle Zahlen: $\mathbb {R}$
• komplexe Zahlen: $\mathbb {C} :=\{a+ib|a,b\in \mathbb {R} ,i^{2}=-1\}$

Abbildungsbegriff

Eine Abbildung $f:A\to B,a\mapsto b=f(a)$, von einer Menge A in eine Menge B ist eine Vorschrift, die jedem Element $a\in A$ der Menge A ein eindeutig bestimmtes Element $b\in B$ aus der Menge B zuordnet.

Der Graph $\Gamma _{f}$ einer Abbildung $f:A\to B$ ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes:

$\Gamma _{f}:=\{(a,f(a))\in A\times B|a\in A\}$

Wichtige spezielle Eigenschaften von Abbildungen sind:

• injektiv: aus $f(a)=f(a')$ folgt stets $a=a'$, mit anderen Worten jedes $b\in B$ hat höchstens ein Urbild,
• surjektiv: jedes $b\in B$ hat mindestens ein Urbild $a\in A,b=f(a)$,
• bijektiv: zugleich injektiv und surjektiv, d.h. jedes $b\in B$ hat genau ein Urbild (eineindeutig).

Relation

Der Begriff einer Relation zweier Mengen A und B verallgemeinert den Begriff der Abbildung. Eine Relation R ist eine Teilmenge von $A\times B$. Beispielsweise ist $\Gamma _{f}$ die durch f induzierte Relation. Sprechweise: Sei $a\in A$ und $b\in B$, dann steht a in Relation R zu b, gdw. $(a,b)\in R$, schreib $a\sim _{R}b$.

Neben Abbildungen sind für uns eine andere Sorte von Relationen wichtig, die Äquivalenzrelation, kurz ÄR:

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A ist eine Relation $R\subseteq A\times A$ mit drei Zusatzeigenschaften: reflexiv, symmetrisch und transitiv:

$(i_{1})~x\sim x$ (reflexiv),

$(i_{2})~x\sim y$ folgt $y\sim x$ (symmetrisch),

$(i_{3})~x\sim y$ und $y\sim z$ folgt $x\sim z$ (transitiv).

Jede ÄR induziert auf A eine Klasseneinteilung, d.h. eine elementfremde (disjunkte) Zerlegung von A in Teilmengen zueinander äquivalenter Elemente, den Äquivalenzklassen: $[a]:=\{x\in A|a\sim _{R}x\},A=\cup [a]$. Umgekehrt induziert jede Klasseneinteilung eine ÄR. $A^{\sim }:=A/\sim _{R}$ bezeichnet die Menge der Äquivalenzklassen von A.

Zur Einführung der Zahlbereiche

Die natürlichen Zahlen können als Ordnungszahlen endlicher Mengen oder mittels der Axiome von Peano definiert werden:

A1: $1\in \mathbb {N}$,

A2: zu $n\in \mathbb {N}$ gibt es einen eindeutigen Nachfolger $n'\in \mathbb {N}$,

A3: $1\neq n'$,

A4: aus $n'=m'$ folgt $n=m$,

A5: Prinzip der vollständigen Induktion, siehe unten.

Die ganzen Zahlen lassen sich als Äquivalenzklassen differenzgleicher Paare natürlicher Zahlen erklären.

Die rationalen Zahlen sind Klassen quotientengleicher Paare $(m,n),n\neq 0$, ganzer Zahlen.

Die reellen Zahlen sind die Menge aller (endlichen und unendlichen) Dezimalbrüche.

Auf den Zahlbereichen ist die Addition und Multiplikation erklärt, diese Operationen sind kommutativ, assoziativ und distributiv.

Das Prinzip der vollständigen Induktion

Eine Teilmenge $M\subseteq \mathbb {N}$, die 1 enthält und mit jeder Zahl n auch deren Nachfolger $n'=n+1$, ist gleich der Menge aller natürlichen Zahlen:

($1\in M$ und ($n\in M$ folgt $n+1\in M$)) folgt $M=\mathbb {N}$.

Daraus leitet sich die wichtige Beweismethode der vollständigen Induktion ab.