Kurs:Lineare Algebra OIIO/Bilinearformen, Quadriken und selbstadjungierte Operatoren

Begriffe und Eigenschaften Bearbeiten

Wir wollen Verallgemeinerungen des Skalarproduktes für beliebige Vektorräume untersuchen.
(Einschränkung:  , d.h.  ).

Definition 3.1 Bearbeiten

Eine Bilinearform (BF) auf   ist eine Abbildung   mit
 ,
  und
 .

Jeder BF   ist eine quadratische Form (QF)   zugeordnet durch  ; bzw. eine Abbildung   ist eine QF, wenn   für eine BF  .
Die Menge aller Bilinearformen (bzw. quadratischen Formen) bildet einen Vektorraum   (bzw.  ).

Lemma 3.2 Bearbeiten

Der Vektorraum der Bilinearformen ist die direkte Summe der Unterräume der symmetrischen BF   und der alternierenden BF  , d.h.
 .

Beispiel: Jede quadratische Matrix   induziert auf   eine BF durch  .   ist symmetrisch oder alternierend gdw.   symmetrisch   oder schiefsymmetrisch  .

Definition 3.3 Bearbeiten

Die Matrixdarstellung einer BF   bzgl. einer Basis   von   ist definiert durch  .

Offenbar gilt: Die Matrixdarstellung einer BF ist eine symmetrische (resp. schiefsymmetrische) Matrix gdw. die BF symmetrisch (resp. alternierend) ist.
Testaufgaben:

 , ist eine linerare Abbildung;
 ;
 ;
  durch  .

Diagonalisierung symmetrischer Bilinearformen und symmetrischer Gauß-Algorithmus Bearbeiten

Zur Motivation: Jede quadratische Form lässt sich als Summe von reinen Quadraten mit Vorzeichen darstellen. Dies wird durch quadratische Ergänzungen erreicht. Diese Aussage lässt sich nach folgendem Lemma direkt auf symmetrische BF übertragen.

Lemma 3.4 (Polarform) Bearbeiten

Die Zuordnung   induziert einen Isomorphismus  . Die inverse Abbildung zu   ist   eingeschränkt auf  .

Dies führt zur Frage einer Normalform für die Matrixdarstellung für Bilinearformen. Zunächst benötigen wir die Transformationsformel für die Matrixdarstellung.

Lemma 3.5 Bearbeiten

Die Matrixdarstellung einer BF transformiert sich bei Basiswechsel von   zu   wie folgt:
 .
Die Menge aller Matrizen, die Matrixdarstellung ein und derselben BF   sind, bilden eine Äquivalenzklasse ähnlicher Matrizen  .

Bemerkung: Der Rang   ist unabhängig von der Wahl einer Basis  . Eine BF heißt nicht-ausgeartet, wenn  .
Test: Warum ist ein Skalarprodukt nicht ausgeartet?
Normalformen der Matrixdarstellung einer BF gibt es jeweils für symmetrische und alternierende. So ist jede symmetrische BF diagonalisierbar. Der Beweis ist konstruktiv mittels des symmetrischen Gauß-Algorithmus. Hierbei wird nach jeder elementaren Zeilenoperation die entsprechende Spaltenoperation ausgeführt. Dabei bleibt die Symmetrie einer Matrix erhalten. Wir formulieren die Sätze nur für Matrizen.

Satz 3.6 (Diagonalisierbarkeit symmetrischer BF) Bearbeiten

Ist die Matrix   symmetrisch, dann gibt es eine Matrix   mit   ist Diagonalmatrix.

Eine Normierung der Diagonalelemente hängt vom Grundkörper   ab.

Corollar 3.7 Bearbeiten

Zu jeder symmetrischen BF   gibt es eine Basis  , so daß   eine Diagonalmatrix ist.

Ist   gegeben,  , dann gilt für die gesuchte Basis  :   und  . Im Fall des Standardvektorraumes   folgt:  .
Eine Normierung der Diagonalelemente hängt vom Grundkörper   ab.

Corollar 3.8 Bearbeiten

Die Elemente der Diagonalmatrix einer symmetrischen Matrix läßt sich wie folgt normieren:
Für   gilt:   oder  .
Für   gilt:  ,   oder  .
Für   gilt:   sind quadratfreie ganze Zahlen.

Information: Ebenfalls auf dem symmetrischen Gauß-Algorithmus beruht die Normalform einer alternierenden BF:

Satz 3.9 Bearbeiten

Zu jeder schiefsymmetrischen Matrix   gibt es eine reguläre Matrix  , so dass   außer 0 nur Diagonalblöcke der Form   enthält.

Anwendung 1: (ON-Verfahren mittels des symmetrischen Gauß-Algorithmus) Bearbeiten

Gegeben sei eine Menge linear unabhängiger Vektoren (als Spalten   einer Matrix  ).

  • Aufstellen der Gram’schen Matrix  .
  • Diagonalisierung von  .
  • Dann ist   (gebildet aus den Vektoren  ) ein Orthonormalsystem.

Test: Warum ist die Normalform einer Gram’schen Matrix beim symmetrischen Gauß-Algorithmus  ?
Umkehrt ergibt sich aus dem ON-Verfahren, interpretiert als einfacher Gauss Algorithmus mit den Basisvektoren als Zeilen einer Matrix A.

Anwendung 2: (Zerlegung in ein Produkt von Dreiecksmatrix und orthogonaler Matrix) Bearbeiten

Jede reguläre Matrix   ist Produkt einer unteren Dreiecksmatrix   und einer orthogonalen Matrix  . Für   gilt insbesondere   und   für  .

Testaufgabe: Die inverse Matrix einer Dreiecksmatrix ist wieder eine Dreiecksmatrix vom gleichen Typ!

Trägheitssatz für reelle symmetrische Bilinearformen Bearbeiten

Die Normalform einer komplexen symmetrischen BF ist eindeutig, da die Anzahl der   auf der Hauptdiagonale gleich dem Rang ist. Im reellen Vektorraum bleibt dagegen noch etwas zu tun: Wir wollen zeigen, dass die Anzahlen der   und   auf der Hauptdiagonale der NF einer reellen symmetrischen BF eindeutig bestimmt sind. Ferner zeigen wir das Hauptminorenkriterium für positive Definitheit.

Satz 3.10 (Trägheitssatz von Sylvester) Bearbeiten

Zu jeder symmetrischen BF   auf einem reellen VR   gibt es Zerlegungen  , wobei   und   für   (resp.   für  ) Dabei sind   und   eindeutig bestimmt.

Die Existenz einer solchen Zerlegung ergibt sich aus (3.6 – 8). Wir setzen  . Dann ist   und   eingeschränkt auf einen komplementären Raum   zu   ist regulär. Somit bleibt der Satz für eine reguläre BF zu beweisen. Wenn es zwei Zerlegungen in positive und negative Unterräume verschiedener Dimensionen geben würde, dann wäre die Vereinigung einer Basis des ’größeren’ positiven Unterraumes mit der Basis des anderen negativen Unterraumes linear unabhängig!

Bemerkung Bearbeiten

Es gilt  . Die Dimensionsdifferenz heißt Index von  :

 .

Damit bestimmen Rang und Index den Typ einer reellen symmetrischen BF.

Definition 3.11 Bearbeiten

Eine reelle symmetrische BF bzw. die zugehörige QF   heißt
  • positiv, wenn  , (gdw.  );
  • positiv definit, wenn  , (gdw.   für  );
  • negativ, wenn  , (gdw.  );
  • negativ definit, wenn  , (gdw.   für  );
  • indefinit, wenn  ;
  • nicht ausgeartet, wenn  .

Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite symmetrische reelle BF. In der speziellen Relativitätstheorie betrachtet man das Raum-Zeitmodell mit einer nicht-Euklidischen Metrik induziert durch eine nicht ausgeartete quadratische Form von Index 2.

Satz 3.12 (Positivitätstest) Bearbeiten

Eine reelle QF ist positiv definit gdw. eine Kette aufsteigender Hauptminoren   einer Matrixdarstellung positiv ist. (Für   sei  ,   – die Untermatrix aus den ersten   Zeilen und   Spalten von  .)

Bemerkung Bearbeiten

Ist eine symmetrische Matrix   positiv definit, dann liefert der symmetrische Gauß-Algorithmus eine Zerlegung  .

Klassifikation von reellen Quadriken Bearbeiten

Definition 3.13 Bearbeiten

Eine Quadrik im reellen affinen Punktraum   ist die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in   Variablen:
 , wobei  .

Quadriken in der Ebene   sind genau die Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel und ihre Entartungen). Verkürzt lässt sich eine Quadrik als Lösungsmenge der folgenden Gleichung schreiben:

Sei   die zugehörige symmetrische geränderte Matrix und   der Koordinatenvektor eines Punktes, dann lautet die Gleichung für  :  .

Mittels des symmetrischen Gauß-Algorithmus angewendet auf   (allerdings ohne Verwendung von Operationen mit der ersten Zeile und Spalte   und  ) erhält man folgende Normalform:

Satz 3.14 (affine Klassifikation) Bearbeiten

Nach geeigneter affiner Koordinatentransformation hat die Gleichung einer reellen Quadrik im   eine der folgenden Formen:
Typ 1:  , wobei   (Mittelpunkts-Quadriken);
Typ 2:  , wobei   (kegelartige Quadriken);
Typ 3:  , wobei   (parabolische Quadriken).

Da sich die Ränge von   und   beim symmetrischen Gauß-Algorithmus nicht ändern, kann der Typ einer Quadrik schon am Rang abgelesen werden:

Corollar 3.15 Bearbeiten

Sind   und   zu einer Quadrik   gehörende Matrizen, dann ist   vom Typ 1 gdw.  , vom Typ 2 gdw.   und vom Typ 3 gdw.  .

Selbstadjungierte Operatoren Bearbeiten

Sei   ein reeller euklidischer VR (oder ein unitärer komplexer VR). Wir wollen eine spezielle Klasse von Operatoren untersuchen, die mittels orthogonaler (bzw. hermitescher) Transformationen diagonalisiert werden können, d. h. deren Matrixdarstellung bzgl. einer geeigneten ON-Basis Diagonalform annimmt.

Definition 3.16 Bearbeiten

Ein linearer Operator   heißt selbstadjungiert, falls   für alle Vektoren  .

Beispiel Bearbeiten

Der Operator   auf dem euklidischen Standardraum   ist selbstadjungiert gdw. die Matrix   symmetrisch ist.

Bemerkung Bearbeiten

Ist   eine ON-Basis und   selbstadjungiert, dann ist die Matrixdarstellung   symmetrisch.

Test: Gilt die Umkehrung der Bemerkung?
Test: Ist   ein sebstadjungierter Operator, dann ist   eine symmetrische BF.
Test: Analog induziert jede symmetrische BF   einen selbstadjungierten Operator  !

Satz 3.17 Bearbeiten

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten eines selbstadjungierten Operators L sind orthogonal zueinander. Allgemeiner: Ist  , so ist auch  .

Die wichtigste Eigenschaft selbstadjungierter Operatoren:

Satz 3.18 Bearbeiten

Alle Eigenwerte eines selbstadjungierten Operators sind reell.

Aus den letzten beiden Sätzen folgt mittels vollständiger Induktion der folgende Hauptsatz:

Theorem 3.19 (Hauptachsentransformation) Bearbeiten

Selbstadjungierte Operatoren haben eine ONB aus Eigenvektoren.

Corollar 3.20 Bearbeiten

Zu einer reellen symmetrischen Matrix   gibt es stets eine orthogonale Matrix  , so daß   eine Diagonalmatrix ist, deren Hauptdiagonalelemente die Eigenwerte von A sind.

Rezept: (Hauptachsentransformation) Bearbeiten

  • Bestimmung der Eigenwerte und Eigenräume.
  • Bestimmung einer ONB zusammengesetzt aus ONBn der Eigenräume.
  • Die Spalten von C sind die Koordinaten der ONB.

Anwendung 1 Bearbeiten

Mittels der Hauptachsentransformation (und aus dieser Anwendung entsteht der Name) lassen sich Quadriken im euklidischen Punktraum auf folgende Normalformen transformieren.

Satz 3.21 (euklidische Klassifikation) Bearbeiten

In einer geeigneten ON-Koordinatentransformation (definiert durch eine ONB) hat die Gleichung einer Quadrik im euklidischen Punktraum eine der folgenden Formen:
Typ 1:  , wobei  ;
Typ 2:  , wobei  ;
Typ 3:  , wobei  .

Rezept: (euklidische Normalform) Bearbeiten

  • Diagonalisierung des quadratischen Anteils mittels der Hauptachsentransformation.
  • Für   Beseitigung der linearen Terme mittels einer Translation  .
  • Fixierung der rechten Seite der NF durch eine geeignete Drehung mit anschließender Translation im Kern der quadratischen Form. Danach ist die Gleichung nur noch zu normieren.

Anwendung 2 Singulärwerte Bearbeiten

Lemma 3.22 Bearbeiten

Sei   eine reguläre quadratische Matrix, dann existiert eine Matrix   mit  , darüberhinaus besitzt   reelle Eigenwerte, genannt, die Singulärwerte von  :

  ist positiv definit und es gibt eine orthogonale Matrix   mit  .   ist eine Diagonalmatrix mit positiven Einträgen. Die Wurzeln der Diagonalelemente sind die Singulärwerte. Wir definieren  .