Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Was ist das Volumen \zusatzklammer {der Inhalt, das Maß} {} {} eines einzelnen Punktes im $\R^0$, im $\R^1$, im $\R^2$ u.s.w.?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal C }$ das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$, das aus allen endlichen Teilmengen von $M$ besteht. Zeige, dass ${\mathcal C }$ ein \definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal C }$ das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$, das aus allen endlichen Teilmengen von $M$ und deren \definitionsverweis {Komplementen}{}{} besteht. Zeige, dass ${\mathcal C }$ eine \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{} insbesondere ein \definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
$\mathfrak {P} \, (M )$ mit dem Durchschnitt $\cap$ als Multiplikation und der
\definitionsverweis {symmetrischen Differenz}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ =} {(A \setminus B) \cup (B \setminus A)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als Addition
\zusatzklammer {mit welchen neutralen Elementen} {?} {}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal P }
}
{ \subseteq }{ \mathfrak {P} \, (M )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Mengensystem}{}{.}
Zeige, dass ${\mathcal P }$ genau dann ein
\definitionsverweis {Mengen-Präring}{}{}
ist, wenn es die drei Bedingungen
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \emptyset
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \triangle B
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cap B
}
{ \in }{ {\mathcal P }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\mathl{{\mathcal R }}{} ein
\definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$. Zeige, dass ${\mathcal R }$ genau dann eine
\definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{}
ist, wenn es ein
\definitionsverweis {Unterring}{}{} des
\definitionsverweis {Potenzmengenringes}{}{}
\mathl{( \mathfrak {P} \, (M ),\triangle, \cap)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und es bezeichne
\mathl{A \triangle B}{} die
\definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
für Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \setminus B
}
{ =} { { \left( A \triangle B \right) } \cap A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cup B
}
{ =} { A \triangle B \triangle (A \cap B)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und es bezeichne
\mathl{A \triangle B}{} die
\definitionsverweis {symmetrische Differenz}{}{}
für Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A,B
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{A_1 \triangle A_2 \triangle \cdots \triangle A_n}{} genau aus den Elementen besteht, die in einer ungeraden Anzahl der $A_i$ enthalten sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathcal A }$ eine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} auf einer Menge $M$. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \emptyset
}
{ \in }{{\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S,T
}
{ \in }{ {\mathcal A }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört auch
\mathl{T \setminus S}{} zu ${\mathcal A }$.
}{Für jede \definitionsverweis {abzählbare Familie}{}{}
\mathbed {T_i \in {\mathcal A }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcap_{i \in I} T_i
}
{ \in} { {\mathcal A }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei ${\mathcal A }$ das
\definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
auf $\N$, das aus allen Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht, die durch einen mathematischen Ausdruck beschreibbar sind. Zeige, dass ${\mathcal A }$ eine
\definitionsverweis {Mengenalgebra}{}{,}
aber keine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathbed {A_n} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
eine Folge von Teilmengen in einer Menge $M$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_{n+1}
}
{ \subseteq} { A_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $n$. Bestimme den
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{}
und den
\definitionsverweis {Limes superior}{}{}
der Familie in diesem Fall.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_q
}
{ =} { ]q -\epsilon, q+ \epsilon[
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die $\epsilon$-Umgebung von $q$. Bestimme den
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{}
und den
\definitionsverweis {Limes superior}{}{}
dieser
\zusatzklammer {\definitionsverweis {abzählbaren}{}{}} {} {}
Familie.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_k
}
{ =} {{ \left\{ x \in [0,1[ \mid \text{die } k\text{-te Nachkommastelle von } x \text{ in der Dezimalentwicklung ist } 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{}
und den
\definitionsverweis {Limes superior}{}{}
von dieser Mengenfolge.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und sei
\mathbed {{\mathcal A }_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine beliebige
\definitionsverweis {Familie}{}{}
von
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
auf $M$. Zeige, dass der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathcal A }
}
{ =} { \bigcap_{j \in J} {\mathcal A }_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine $\sigma$-Algebra auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A } )}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zeige, dass das Mengensystem
\mathdisp {N \cap T,\, T \in {\mathcal A }} { , }
eine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
auf $N$ ist
\zusatzklammer {man spricht von der \stichwort {induzierten} {} $\sigma$-Algebra} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M}{} eine Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal E }
}
{ \subseteq }{ {\mathcal E }'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien
\definitionsverweis {Mengensysteme}{}{.}
Dabei sei ${\mathcal E }'$ in der von ${\mathcal E }$
\definitionsverweis {erzeugten
}{}{}
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{\sigma ({\mathcal E })}{} enthalten. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sigma { \left( {\mathcal E } \right) }
}
{ =} { \sigma { \left( {\mathcal E }' \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine endliche Menge mit einer geraden Anzahl. Es sei ${\mathcal G }$ das Mengensystem, das aus allen Teilmengen von $M$ besteht, die eine gerade Anzahl besitzen. Zeige, dass ${\mathcal G }$ ein \definitionsverweis {Dynkin-System}{}{} ist und dass ${\mathcal G }$ im Allgemeinen nicht durchschnittsstabil ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal A }$ ein \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$. Zeige, dass ${\mathcal A }$ genau dann ein \definitionsverweis {durchschnittsstabiles}{}{} \definitionsverweis {Dynkin-System}{}{} ist, wenn ${\mathcal A }$ eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass
\definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {Messräumen}{}{}
die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungvier{Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
}{Jede konstante Abbildung ist messbar.
}{Die Identität ist messbar.
}{Es seien
\mathkor {} {{\mathcal A }} {und} {{\mathcal B }} {}
zwei
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebren
}{}{} auf einer Menge $M$. Dann ist die Identität auf $M$ genau dann
\mathl{{\mathcal A }- {\mathcal B }}{-}messbar, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathcal A }
}
{ \supseteq }{ {\mathcal B }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
und es sei $\Z$ mit der ganzen
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
als
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
versehen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $T$ genau dann
\definitionsverweis {messbar}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Indikatorfunktion}{}{}
\maabbdisp {e_{ T }} {M} {\Z
} {}
\definitionsverweis {messbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine Menge und ${\mathcal A }$ das \definitionsverweis {Mengensystem}{}{} auf $M$, das aus allen \definitionsverweis {abzählbaren}{}{} Teilmengen von $M$ und deren \definitionsverweis {Komplementen}{}{} besteht. Zeige, dass ${\mathcal A }$ eine $\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine $n$-elementige Menge und sei $k$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{} von $n$. Zeige, dass die Menge der Teilmengen von $M$, deren Elementanzahl ein
\definitionsverweis {Vielfaches}{}{} von $k$ ist, ein
\definitionsverweis {Dynkin-System}{}{}
bilden, das bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \neq }{ 1,n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine
\definitionsverweis {Mengen-Algebra}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien \mathkor {} {M} {und} {N} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {M} {N} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
a) Es sei ${\mathcal A }$ eine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra
}{}{}
auf $M$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
\mathdisp {{ \left\{ T \subseteq N \mid F^{-1}(T) \in {\mathcal A } \right\} }} { }
eine $\sigma$-Algebra auf $N$ ist.
b) Es sei ${\mathcal B }$ eine
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra
}{}{}
auf $N$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Mengensystem}{}{}
\mathdisp {{ \left\{ F^{-1} (T ) \mid T \in {\mathcal B } \right\} }} { }
eine $\sigma$-Algebra auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ \biguplus_{i \in I} M_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Zerlegung}{}{}
von $M$ in
\definitionsverweis {abzählbar}{}{}
viele
\definitionsverweis {messbare Teilmengen}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
in einen weiteren Messraum
\mathl{(N, {\mathcal B })}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {messbar}{}{}
ist, wenn sämtliche
\definitionsverweis {Einschränkungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_i= \varphi {{|}} _{M_i}} {M_i} {N
} {}
messbar sind.
}
{} {}