Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Ausschöpfung}{}{}
\mathl{M_n \uparrow M}{} und sei
\maabbdisp {f_n} {M} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {wachsende}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {nichtnegativen}{}{}
\definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{}
\maabbdisp {f} {M} { \overline{ \R }
} {.}
Zeige, dass
\mathl{S^o(M_n;f_n)}{} eine Ausschöpfung von
\mathl{S^o(M;f)}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\maabbdisp {f_n} {\R} {\R
} {}
mit
\mathl{f_n= 1 - { \frac{ 1 }{ n } }}{}
\zusatzklammer {\mathlk{n \in \N_+}{}} {} {.}
Es sei $f$ die
\definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{.}
Zeige die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bigcup_{n \in \N_+} S(f_n)
}
{ =} {S(f) \setminus \Gamma_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {(M, {\mathcal A } , \mu)} {und} {(N, {\mathcal B } , \nu)} {}
zwei
\definitionsverweis {endliche Maßräume}{}{} und es seien
\maabbdisp {f} {M } { \overline{ \R }
} {}
und
\maabbdisp {g} {N } { \overline{ \R }
} {}
\definitionsverweis {integrierbare Funktionen}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\int_{M \times N} (f+g) d \mu \otimes \nu
}
{ =} { \nu (N) \cdot \int_M f(x) d \mu (x) + \mu (M) \cdot \int_N g(y) d \nu (y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $\overline{ \R }$. Zeige, dass die Folge genau dann
\definitionsverweis {konvergiert}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ =} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine beschränkte reelle Folge,
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
und
\mathl{y_n=f(x_n)}{} die Bildfolge. Es sei $H$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} und $G$ die Menge der Häufungspunkte von
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{.}
a) Zeige
\mathl{f(H) \subseteq G}{.}
b) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f { \left( \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) } \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( y_n \right) }_{n \in \N } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Zeige, dass die Abschätzung aus Teil b) echt sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f_n:[1,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}$, für $n\in\mathbb{Z}_+$, die Funktionenfolge
\mathdisp {f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{n^2}, \text{ falls } x\in[n,+\infty[ \, , \\ 0, \text{ anderfalls } . \end{cases}} { }
Berechnen Sie
\mathdisp {\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n \text{ und } \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{[1,+\infty]}f_n d\lambda^1.} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f_n:[0,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}_{\geq0}$, für $n\in\mathbb{Z}_+$, die Funktionenfolge
\mathdisp {f_n(x) = \frac{\mathrm{exp}(-nx)}{x+n}.} { }
Berechnen Sie
\mathdisp {\lim_{n\rightarrow+\infty}f_n \text{ und } \lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{[0,+\infty]}f_n d\lambda^1.} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{} in $\overline{ \R }$ und sei
\mathdisp {y_n := \inf { \left( x_k, \, k \geq n \right) }} { . }
a) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{}
\definitionsverweis {wachsend}{}{}
ist.
b) Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen
\mathl{\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \right) }}{}
\definitionsverweis {punktweise konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A })}{} ein
\definitionsverweis {Messraum}{}{} und sei
\maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R }
} {}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {messbaren Funktionen}{}{.}
Zeige, dass dann auch die Funktionen
\maabbeledisp {\operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( f_n \right) }_{n \in \N } \right) }} {M} { \overline{ \R }
} {x} { \operatorname{lim} \operatorname{inf} \, { \left( { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right) }
} {,}
und
\maabbeledisp {\operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( f_n \right) }_{n \in \N } \right) }} {M} { \overline{ \R }
} {x} { \operatorname{lim} \operatorname{sup} \, { \left( { \left( f_n(x) \right) }_{ n \in \N } \right) }
} {,}
\definitionsverweis {messbar}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{(M, {\mathcal A }, \mu)}{} ein
$\sigma$-\definitionsverweis {endlicher}{}{}
\definitionsverweis {Maßraum}{}{} und sei
\maabbdisp {f_n} {M} { \overline{ \R }_{\geq 0 }
} {}
\zusatzklammer {\mathlk{n \in \N}{}} {} {} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{} von
\definitionsverweis {nichtnegativen}{}{}
\definitionsverweis {messbaren numerischen Funktionen}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_{ M } \sum_{n = 0}^\infty f_n \, d \mu
}
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \int_{ M } f_n \, d \mu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechnen Sie
\mathdisp {\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^{\pi/2}\big(1-\sqrt{\mathrm{sin} x}\big)^n\mathrm{cos} x \mathrm{d}x.} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Unter einer \stichwort {Quader-Treppenfunktion} {} verstehen wir eine Abbildung
\maabbdisp {t} { [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d] } { \R
} {,}
für die es Intervallunterteilungen
\mathdisp {a_1=c_{10} <c_{11} < \ldots <c_{1 n_1}=b_1, \ldots , a_d=c_{d0} <c_{d1} < \ldots <c_{d n_d}=b_d} { , }
derart gibt, dass
\mathdisp {t {{|}}_{[ c_{1j_1}, c_{1\, j_1+1} ] \times \cdots \times} [ c_{dj_d},c_{d\, j_d+1} ]} { }
konstant ist. Das zugehörige Integral nennen wir Treppenintegral.
Es sei \maabbdisp {f} { [a_1,b_1] \times \cdots \times [a_d,b_d] } { \R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass das Supremum der Treppenintegrale zu unteren Treppenfunktionen von $f$ gleich dem Infimum der Treppenintegrale zu oberen Treppenfunktionen von $f$ ist, und somit auch gleich dem Lebesgue-Integral.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {integrierbaren Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} für die das Integral nicht das \definitionsverweis {Supremum}{}{} über alle \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{} zu \definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (2+3)}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {[0,1]} {[0,1]
} {x} {x^2
} {.}
Berechne für
\mathl{n=1,2 , \ldots , 5}{} das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
der Integrale zu den folgenden
\definitionsverweis {einfachen Funktionen}{}{.}
a) Die Funktionen $g \leq f$, die auf den $n$ Teilintervallen
\mathl{[ { \frac{ k }{ n } }, { \frac{ k+1 }{ n } }[}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{k=0 , \ldots , n-1}{}} {} {}
konstant sind.
b) Die Funktionen $h \leq f$, die nur die Werte
\mathl{{ \frac{ k }{ n } }}{} annehmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für die \definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{} \maabbeledisp {f_n} {[0,1]} {\R } {x} {f_n(x) = x^n } {,} die zugehörigen \definitionsverweis {Integrale}{}{,} den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der Integrale, die \definitionsverweis {Grenzfunktion}{}{} und das Integral der Grenzfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Häufungspunkte}{}{} der Folge
\mathl{x_n = \sin \left( n { \frac{ \pi }{ 4 } } \right)}{.} Was ist der
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{,}
was der
\definitionsverweis {Limes superior}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Limes inferior}{}{}
und den
\definitionsverweis {Limes superior}{}{}
der
\definitionsverweis {Funktionenfolge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f_n(x)
}
{ = }{ \sin (nx)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{[0, \pi]}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass
der Satz von der majorisierten Konvergenz
ohne die Voraussetzung über die Existenz einer Majorante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ h
}
{ \geq }{ \betrag { f_n }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mathl{]a,b[}{} ein
\zusatzklammer {eventuell unbeschränktes} {} {}
Intervall und es sei
\maabbdisp {f} { ]a,b[ } {\R
} {}
eine nichtnegative
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b f(t)dt}{} gleich dem
\definitionsverweis {Lebesgue-Integral}{}{}
\mathl{\int_{ ]a,b[ } f \, d \lambda}{}
\zusatzklammer {also gleich dem Flächeninhalt des Subgraphen} {} {}
ist.
}
{} {}