Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m,n
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $m$ gerade und $n$ ungerade. Zeige, dass die Potenzen
\mathkor {} {t^m} {und} {t^n} {}
in $L^2([-1,1], \lambda^1)$
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
zueinander sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Legendre-Polynom}{}{}
$P_n$ den
\definitionsverweis {Leitkoeffizienten}{}{}
\mathdisp {{ \frac{ (2n) \cdots (n+1) }{ 2^n (n!) } }} { }
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das $n$-te \definitionsverweis {Legendre-Polynom}{}{} $P_n$ bei $n$ gerade eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} und bei $n$ ungerade eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Legendre-Polynome}{}{}
die Rekursionsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_0
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1
}
{ = }{ t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (n+1) P_{n+1} (t)
}
{ =} { (2n+1) t P_n(t) - n P_{n-1} (t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Fourierentwicklung}{}{} der \definitionsverweis {Legendre-Polynome}{}{} $P_0,P_1,P_2$. Überprüfe die Orthogonalitäsrelationen für die Fourierreihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme ein lineares Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ax+b
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das im
\definitionsverweis {Lebesgueraum}{}{}
\mathl{L^2( [-1,1], \lambda^1)}{} senkrecht auf der Exponentialfunktion $e^x$ steht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Tschebyschow-Polynom}{}{}
auf $[-1,1]$ die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_n (x)
}
{ =} { { \frac{ { \left( x+ \sqrt{x^2-1} \right) }^n + { \left( x- \sqrt{x^2-1} \right) }^n }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf
\mathl{[0, 2 \pi]}{.}
\aufzaehlungvier{$\cos x$.
}{$\cos 2x$.
}{$\cos^{ 2 } x$.
}{$2 \cos^{ 2 } x -1$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das $n$-te \definitionsverweis {Tschebyschow-Polynom}{}{} $P_n$ bei $n$ gerade eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} und bei $n$ ungerade eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Tschebyschow-Polynom}{}{}
$T_n$ die \stichwort {Tschebyschowsche Differentialgleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (1-t^2) y^{\prime \prime} - t y' +n^2y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
löst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die von $\cos z$ erzeugte
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
von $C( {\mathbb C}, {\mathbb C})$ mit dem von den
\mathbed {\cos nz} {}
{n \in \N} {}
{} {} {} {,}
erzeugten
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(f(t))
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ eine konstante Funktion ist oder dass $P$ das Nullpolynom ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe für die Potenzen $t^0, t^1,t^2, t^3$ das \definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{} in $L^2([-1,1], \lambda^1)$ durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wir betrachten die Exponentialfunktion $e^x$ in
\mathl{L^2( [-1,1], \lambda^1)}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ L^2( [-1,1], \lambda^1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
der Exponentialfunktion und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ \subseteq }{ L^2( [-1,1], \lambda^1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Raum aller Polynome vom Grad $\leq 3$. Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{U \cap V}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Tschebyschow-Polynom}{}{}
auf ${\mathbb C} \setminus \{0\}$ die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T_n { \left( { \frac{ z+z^{-1} }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ z^n+z^{-n} }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P( \cos t , \sin t )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { Q \cdot ( X^2+Y^2-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für ein Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ {\mathbb C} [X,Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}