Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Fourier-Transformation}{}{} \maabbdisp {} {L^1( \R^n) } { \operatorname{Abb} \, { \left( \R^n , {\mathbb C} \right) } } {} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {topologische Gruppe}{}{.} Ein \definitionswort {Charakter}{} auf $G$ ist ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\chi} { G} { S^1 } {} in die \definitionsverweis {Kreisgruppe}{}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\chi} {\R} {S^1
} {}
ein
\definitionsverweis {Charakter}{}{.}
Zeige, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi (x)
}
{ =} { e^{ { \mathrm i} ux }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}