Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 4/latex
\setcounter{section}{4}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {äußeres Maß}{}{} die Subadditivitätseigenschaft für beliebige \definitionsverweis {abzählbare}{}{} Vereinigungen besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine Menge, ${\mathcal P }$ ein
\definitionsverweis {Präring}{}{}
auf $M$,
\maabbdisp {\mu} {{\mathcal P }} { \overline{\R}_{\geq 0}
} {}
ein
\definitionsverweis {äußeres Maß}{}{}
auf $M$ und $\tilde{\mu}$ die
\definitionsverweis {Fortsetzung}{}{}
von $\mu$ auf die
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{.} Zeige, dass für jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\mu} (S)
}
{ \leq} { \tilde{\mu} (S \cap Z ) + \tilde{\mu} (S \cap (M \setminus Z) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Infimum}{}{} über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\Z$ überdecken.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zu jeder rationalen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei ein Intervall
\mathl{[a_q,b_q]}{} derart gegeben, dass $q$ in dessen Innern liegt, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ {]a_q,b_q[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\bigcup_{q \in \Q} [a_q,b_q]
}
{ =} { \R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Infimum}{}{} über alle Summen von Intervalllängen zu einer Familie von offenen reellen Intervallen, die $\Q$ überdecken.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{T \subseteq \R^k}{} eine
\definitionsverweis {abzählbare Menge}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
über die Summe der Volumina der beteiligten offenen
\definitionsverweis {Intervall-Quader}{}{}
zu
\definitionsverweis {Überpflasterungen}{}{}
von $T$ aus solchen Quadern gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ = }{ \Z \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
über die Summe der Flächen
zu
\definitionsverweis {Überpflasterungen}{}{}
von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{\Q \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
über die Summe der Flächen
zu
\definitionsverweis {Überpflasterungen}{}{}
von $T$ mit offenen Rechtecken gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R \times \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ihr
\definitionsverweis {Graph}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Infimum}{}{}
der Summen der Rechtecksinhalte über alle Überpflasterungen von $\Gamma$ mit achsenparallelen Rechtecken gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} { \R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare Funktion}{}{}
und $T$ der
\zusatzklammer {abgeschlossene} {} {}
\definitionsverweis {Subgraph}{}{}
von $f$. Zeige, dass das
\definitionsverweis {äußere Maß}{}{}
von $T$
\zusatzklammer {zu dem Rechtecksprämaß} {} {}
gleich dem
\definitionsverweis {bestimmten Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b f(t)dt}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche \anfuehrung{vertrauten geometrischen Figuren}{} kann man als
\zusatzklammer {verallgemeinerte} {} {}
\definitionsverweis {Quader}{}{}
in
\mathl{\R \times \R}{} oder in
\mathl{\R \times \R^2}{} auffassen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathbed {M} {und}
{N} {}
{} {} {} {}
Mengen und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M \times N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T(x)
}
{ = }{ { \left\{ y \in N \mid (x,y) \in T \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\{x \} \times T(x)}{} die
\definitionsverweis {Faser}{}{}
der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathdisp {T \hookrightarrow M \times N \stackrel{p_1}{ \longrightarrow} M} { }
über $x$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathbed {(M, {\mathcal A } )} {und}
{(N, {\mathcal B } )} {}
{} {} {} {} zwei
\definitionsverweis {Messräume}{}{,} die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von
\mathl{M \times N}{} seien mit der durch
\mathl{{\mathcal A } \otimes {\mathcal B }}{}
\definitionsverweis {induzierten}{}{}
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} versehen. Es sei
\mathl{S \subseteq M}{.} Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungfuenf{ $S$ ist eine messbare Teilmenge von $M$.
}{ Es gibt ein
\mathl{y \in N}{} derart, dass
\mathl{S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}}{} messbar ist.
}{ Für alle
\mathl{y \in N}{} ist
\mathl{S \times \{y\} \subseteq M \times \{y\}}{} messbar.
}{ Es gibt ein
\mathl{y \in N}{} derart, dass
\mathl{S \times \{y\}}{} messbar in
\mathl{M \times N}{} ist.
}{ Für alle
\mathl{y \in N}{} ist
\mathl{S \times \{y\}}{} messbar in
\mathl{M \times N}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Hausdorff-Raum}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ =} {{ \left\{ (x,y) \in X \times X \mid x = y \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {messbare Teilmenge}{}{}
im
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times X}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{M,N_1,N_2}{}
\definitionsverweis {Messräume}{}{} und es seien
\maabb {f_1} {M} {N_1
} {} und \maabb {f_2} {M} {N_2
} {}
\definitionsverweis {messbare Abbildungen}{}{.} Zeige, dass auch die Abbildung
\maabbeledisp {(f_1,f_2)} {M} {N_1 \times N_2
} {x} {(f_1(x), f_2(x))
} {,} messbar ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei ${\mathcal P }$ ein
\definitionsverweis {Präring}{}{}
auf $\R$, der die Intervalle
\mathbed {[a,b]} {}
{a < b} {}
{} {} {} {,}
enthalte, und es sei $\mu$ ein
\definitionsverweis {äußeres Maß}{}{}
darauf, das auf diesen Intervallen den Wert
\mathl{b-a}{} besitze. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Fortsetzung dieses äußeren Maßes}{}{} auf allen
\definitionsverweis {abzählbaren}{}{} Teilmengen von $\R$ den Wert $0$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (2+3)}
{
Es sei
\maabb {f} {\R_{\geq 0}} { \R_{\geq 0}
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
derart, dass das
\definitionsverweis {uneigentliche Integral}{}{}
$\int_0^\infty f(t) dt$ existiert.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
obere Treppenfunktionen $T_n$ zu $f$ auf
\mathl{[n-1,n]}{} derart gibt, dass die Gesamtdifferenz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{n \in \N_+} \int_{n-1}^n T_n (t) dt- \int_0^\infty f(t)dt
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt.
} {Man gebe ein Beispiel einer solchen Funktion $f$ derart, dass es keine solche Approximation mit oberen Treppenfunktionen gibt, wenn man zusätzlich fordert, dass sie zu der äquidistanten Unterteilung der Intervalle
\mathl{[n-1,n]}{} zu einem festen Stammbruch
\mathl{{ \frac{ 1 }{ k } }}{}
\zusatzklammer {unabhängig von $n$} {} {}
gehören.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Urbild}{}{} der
\definitionsverweis {Einheitskreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter den Inklusionsabbildungen
\maabbeledisp {\iota_y} {\R} {\R^2
} {x} {(x,y)
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{(M_1, {\mathcal A }_1) , \ldots , (M_n, {\mathcal A }_n)}{} Mengen mit darauf erklärten
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Produkt}{}{-}$\sigma$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
\mathl{{\mathcal A }_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } {\mathcal A }_n}{} die kleinste $\sigma$-Algebra auf
\mathl{M_1 \times \cdots \times M_n}{} ist, für die alle
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
\definitionsverweis {messbar}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {X} {und} {Y} {}
zwei
\definitionsverweis {topologische Räume}{}{}
mit
\definitionsverweis {abzählbarer Basis der Topologie}{}{}
und mit den zugehörigen
$\sigma$-\definitionsverweis {Algebren}{}{}
der
\definitionsverweis {Borelmengen}{}{}
\mathkor {} {{\mathcal B }(X)} {und} {{\mathcal B }(Y)} {.}
Zeige, dass das Mengensystem der Borelmengen auf dem
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
\mathl{X \times Y}{} mit dem
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
von
\mathkor {} {{\mathcal B }(X)} {und} {{\mathcal B }(Y)} {}
übereinstimmt.
}
{} {}