Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Liste der Hauptsätze
Es sei eine endliche Menge mit Elementen und eine endliche Menge mit Elementen. Es sei .
Dann gibt es keine injektive Abbildung
Die Menge der rationalen Zahlen
ist abzählbar.
Die Menge der reellen Zahlen
ist nicht abzählbar.
Es sei eine Menge. Für ein Mengensystem auf sind äquivalent.
- ist ein durchschnittsstabiles Dynkin-System
- ist eine -Algebra.
Es seien und zwei Messräume und es sei
eine Abbildung. Es sei ein Erzeugendensystem für .
Dann ist bereits dann messbar, wenn für jede Teilmenge mit das Urbild zu gehört.
Die Menge der Borel-Mengen im stimmt mit der von der Menge aller offenen Quader erzeugten - Algebra überein.
Dabei kann man sich sogar auf die Menge der offenen achsenparallelen Quader mit rationalen Eckpunkten beschränken.
Es seien und topologische Räume, die wir als Messräume mit den zugehörigen - Algebren der Borelmengen auffassen.
Dann ist jede stetige Abbildung
messbar.
Es sei eine Menge, ein Präring auf und ein Prämaß auf .
Dann gelten folgende Aussagen.
- Es ist .
- Für Mengen mit gilt . Insbesondere ist ein Prämaß monoton.
- Für Mengen gilt .
- Seien
, ,
und aus mit
Dann gilt
- Es sei eine
Ausschöpfung
in . Dann ist
wobei diese Folge monoton wachsend ist.
- Es sei eine
Schrumpfung
in und sei
vorausgesetzt. Dann ist
wobei diese Folge monoton fallend ist.
Es sei ein Messraum und es sei ein durchschnittsstabiles Erzeugendensystem für . Es seien und zwei Maße auf , die auf übereinstimmen. Es gebe eine Ausschöpfung mit und mit
Dann ist
Es sei eine Menge, ein Präring auf und
ein äußeres Maß auf .
Dann ist die Fortsetzung des äußeren Maßes ein äußeres Maß auf der Potenzmenge , das auf mit übereinstimmt.
Es sei eine Menge, ein Präring auf ,
ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Dann gelten folgende Aussagen.
- Das Mengensystem aller Teilmengen , die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine - Algebra.
- Die Einschränkung von auf diese -Algebra ist ein Maß.
Es sei eine Menge, ein Präring auf ,
ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge .
Dann besitzen alle Mengen aus die Zerlegungseigenschaft.
Es sei eine Menge, ein Präring auf ,
ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die von erzeugte - Algebra .
Dann ist ein Maß auf .
Wenn - endlich ist, so ist die einzige Fortsetzung von zu einem Maß auf .
Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen.
Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.
Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen und Prämaßen. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die für eine endliche
disjunkte Vereinigung
von Quadern (wobei die Seiten endliches Maß haben) durch
mit definierte Zahl ist unabhängig von der gewählten Zerlegung.
- Es seien (insbesondere sei dies definiert). Dann ist die Zuordnung ein Prämaß auf dem Produkt-Präring.
Es seien - endliche Maßräume gegeben.
Dann gibt es genau ein (-endliches) Maß auf der Produkt-- Algebra , das für alle messbaren Quader (deren Seiten endliches Maß besitzen) den Wert
besitzt.
Es sei die - Algebra der Borel-Mengen auf .
Dann gibt es genau ein (- endliches) Maß auf , das für jedes halboffene Intervall den Wert besitzt.
Statt halboffene Intervalle kann man auch offene oder abgeschlossene Intervalle nehmen.
Der sei mit der - Algebra der Borel-Mengen versehen.
Dann gibt es auf genau ein (- endliches) Maß
das für alle Quader
den Wert
besitzt.
Die Aussage gilt auch für (achsenparallele) Quader mit offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen als Seiten.
Es sei ein translationsinvariantes Maß auf dem , das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ein echter Untervektorraum.
Dann ist .
Das Borel-Lebesgue-Maß
ist das einzige translationsinvariante Maß auf , das auf dem Einheitswürfel den Wert besitzt.
Es sei ein translationsinvariantes Maß auf , das auf dem Einheitswürfel ein endliches Maß habe.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl mit .
Es sei
eine lineare Abbildung.
Dann gilt für jede messbare Menge die Beziehung
Es sei ein euklidischer Vektorraum.
Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes translationsinvariantes Maß auf den Borelmengen von , das jedem von einer Orthonormalbasis aufgespannten Parallelotop den Wert zuweist.
Es sei ein euklidischer Vektorraum, sei eine Basis von und sei das davon erzeugte Parallelotop.
Dann gilt für das Borel-Lebesgue-Maß auf
Es sei eine abzählbare Indexmenge und ein Messraum. Es sei
() eine Familie von messbaren numerischen Funktionen.
Dann sind auch die Funktionen und messbar.
Es sei ein Messraum und sei
eine Folge von messbaren numerischen Funktionen, die punktweise gegen eine Grenzfunktion konvergiere.
Dann ist auch messbar.
Es sei ein Messraum und sei
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gibt es eine wachsende Folge von nichtnegativen einfachen Funktionen
die punktweise gegen konvergieren.
Es sei ein Messraum und
eine messbare Funktion.
Dann sind der Graph und der Subgraph messbare Teilmengen in .
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- ist integrierbar.
- Der positive und der negative Teil von sind integrierbar.
- Die Betragsfunktion ist integrierbar.
- Es gibt eine integrierbare messbare Funktion
mit für alle .
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare numerische Funktion.
Dann ist der Graph eine Nullmenge in .
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare numerische nichtnegative Funktion.
Dann gilt für jedes die Abschätzung
Es sei ein - endlicher Maßraum, ein Messraum und
eine messbare Abbildung. Es sei das Bildmaß von unter , das ebenfalls als - endlich vorausgesetzt sei, und es sei
eine - integrierbare Funktion.
Dann ist auch - integrierbar, und es gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum und sei
eine wachsende Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen mit der Grenzfunktion .
Dann gilt
Es sei
eine messbare Riemann-integrierbare Funktion.
Dann gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum. Es seien integrierbare messbare reellwertige Funktionen auf und .
Dann ist auch integrierbar, und es gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum und es sei
eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen.
Dann gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum und es sei
eine punktweise konvergente Folge von messbaren Funktionen. Es gebe eine messbare integrierbare Funktion
mit für alle und alle .
Dann ist auch die Grenzfunktion integrierbar, und es gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum, ein metrischer Raum, und
eine Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.- Für alle ist die Funktion messbar.
- Für alle ist die Funktion stetig in .
- Es gibt eine
nichtnegative messbare integrierbare Funktion
mit
für alle und alle .
Dann ist die Funktion
wohldefiniert und stetig in .
Es sei ein - endlicher Maßraum, ein nichtleeres offenes Intervall und
eine Funktion,
die die folgenden Eigenschaften erfülle.- Für alle ist die Funktion integrierbar.
- Für alle ist die Funktion (stetig) differenzierbar.
- Es gibt eine
nichtnegative
messbare integrierbare Funktion
mit
für alle und alle .
Dann ist die Funktion
(stetig) differenzierbar in , die Zuordnung ist integrierbar und es gilt die Formel
Es seien und - endliche Maßräume und sei eine messbare Teilmenge.
Dann sind die Funktionen
messbar.
Es seien und - endliche Maßräume.
Dann gilt für alle messbaren Teilmengen die Beziehung
Es sei ein - endlicher Maßraum und
eine messbare Abbildung.
Dann ist die Abbildung
bijektiv und maßtreu.
Es sei
eine nichtnegative messbare Funktion und sei der Rotationskörper zum Subgraphen von um die -Achse.
Dann besitzt das Volumen
wobei für die zweite Formel als stetig vorausgesetzt sei.
Es sei messbar, ein Punkt und der zugehörige Kegel. Es sei die letzte Koordinate von .
Dann ist ebenfalls messbar, und es gilt
Es seien und - endliche Maßräume und sei
eine integrierbare Funktion.
Dann sind die beiden Funktionen
und
fast überall reellwertig und fast überall integrierbar, und es gilt
Es seien und - endliche Maßräume und es seien und integrierbare Funktionen.
Dann ist auch die Funktion
integrierbar und es gilt
Es sei offen und sei
eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei eine Nullmenge.
Dann ist auch eine Nullmenge.
Es seien und offene Mengen im und es sei
ein -Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante für . Es sei eine messbare Menge.
Dann ist ebenfalls messbar und es gilt
Es seien und offene Mengen im und es sei
ein - Diffeomorphismus mit der Jacobi-Determinante
für . Es sei
eine messbare Funktion.
Dann ist auf genau dann integrierbar, wenn die Hintereinanderschaltung auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt
Es sei
die Polarkoordinatenauswertung und es seien und offene Mengen, auf denen einen Diffeomorphismus induziert. Es sei
eine integrierbare Funktion.
Dann ist
Dies gilt auch dann, wenn außerhalb von Nullmengen ein Diffeomorphismus vorliegt. Insbesondere gilt bei stetigem die Formel
Es ist
Es seien und normierte - Vektorräume und
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Eigenschaft äquivalent.
- ist stetig.
- ist stetig im Nullpunkt.
- Die Menge
ist beschränkt.
Es seien reelle Zahlen mit
und es sei ein Maßraum. Es seien
messbare Funktionen, die - bzw. -integrierbar seien.
Dann gilt
Es sei eine reelle Zahl und es sei ein Maßraum. Es seien
- integrierbare Funktionen.
Dann gilt
Es sei ein - endlicher Maßraum.
Dann ist der Lebesgueraum der - integrierbaren Funktionen vollständig.
Es sei eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist überdeckungskompakt.
- Jede Folge in besitzt einen Häufungspunkt in .
- Jede Folge in besitzt eine in konvergente Teilfolge.
- ist abgeschlossen und beschränkt.
Es seien und topologische Räume und es sei
eine stetige Abbildung. Es sei kompakt.
Dann ist das Bild ebenfalls kompakt ist.
Es sei ein nichtleerer kompakter topologischer Raum und sei
eine stetige Funktion.
Dann gibt es ein mit
D.h., dass die Funktion ihr Maximum (und ihr Minimum) annimmt.
Es sei ein kompakter topologischer Raum. Es sei eine Folge in , die punktweise und monoton gegen ein konvergiert.
Dann ist die Konvergenz gleichmäßig.
Ein kompakter metrischer Raum
ist vollständig.
Es sei ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
- ist kompakt.
- ist folgenkompakt.
- ist vollständig und total beschränkt.
Es sei ein kompakter topologischer Raum und , versehen mit der Maximumsnorm.
Dann ist genau dann kompakt, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- ist abgeschlossen.
- ist gleichgradig stetig.
- Für jeden Punkt ist das Auswertungsbild beschränkt.
Es sei ein kompakter topologischer Raum und eine - Unteralgebra, die die Punkte aus trennt.
Dann ist
D.h. jede stetige Funktion lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus approximieren.
Es sei ein abgeschlossenes Intervall und eine stetige Funktion.
Dann gibt es zu jedem ein reelles Polynom mit
für alle .
Die Polynomalgebra ist dicht in .
Es sei ein - endlicher Maßraum.
Dann ist der Lebesgueraum der quadratintegrierbaren Funktionen, versehen mit dem Skalarprodukt
ein Hilbertraum.
Es sei ein - Hilbertraum und sei eine nichtleere konvexe abgeschlossene Teilmenge.
Dann enthält einen eindeutigen Punkt , in dem die Norm (unter allen Punkten aus ) das Minimum annimmt.
Es sei ein - Hilbertraum und sei ein abgeschlossener Untervektorraum.
Dann gibt es zu jedem eine eindeutige Darstellung
mit und .
Es sei ein - Hilbertraum und sei
eine stetige Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor mit
für alle .
Es sei ein - Hilbertraum und eine Teilmenge.
Dann erzeugt genau dann einen dichten Untervektorraum in , wenn die Eigenschaft
für alle nur für gilt.
Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt , sei , , ein endliches Orthonormalsystem mit dem davon erzeugten Untervektorraum .
Dann gilt für die orthogonale Projektion
Es seien verschiedene reelle Zahlen, , und reelle Zahlen. Es sei und .
Dann ist die affin-lineare Funktion mit
und
die optimale lineare Approximation für den Datensatz
im Sinne der minimalen Fehlerquadrate.
D.h. die Summe der Fehlerquadrate wird für die angegebenen Koeffizienten und minimal.
Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , ein Orthonormalsystem.
Dann ist für jeden Vektor die Familie , , summierbar und es gilt
Es sei ein - Vektorraum mit einem Skalarprodukt und sei , , ein Orthonormalsystem. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie ist vollständig.
- Für jedes
gilt
- Für jedes
gilt
Es sei , , ein Orthonormalsystem in einem - Hilbertraum .
Dann kann man das System zu einem vollständigen Orthonormalsystem ergänzen.
Es sei und .
Dann bildet die Familie
zu ein vollständiges Orthonormalsystem im Hilbertraum .
Es sei eine periodische stetige und stückweise stetig differenzierbare Funktion.
Dann konvergiert die Fourierreihe von gleichmäßig und insbesondere punktweise gegen .
Die Identität auf dem Einheitsintervall (die Sägezahnfunktion)
besitzt die Fourierreihe
Es ist
Die Legendre-Polynome , ,
bilden ein Orthogonalsystem in . Die normierten (im Sinne der -Norm) Legendre-Polynome entstehen aus den Potenzen mit dem Orthonormalisierungsverfahren und bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.
Für das -te Tschebyschow-Polynom gilt
für alle .
Es sei ein reelles normiertes Polynom vom Grad .
Dann ist
Die Tschebyschow-Polynome
bilden ein Orthogonalsystem in bezüglich des Maßes mit der Dichte .
Die Familie und , , bilden ein vollständiges Orthonormalsystem.
Es sei ein endlicher Maßraum mit dem Produktraum und sei
ein beschränkter messbarer Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
mit
eine stetiger linearer Operator.
Es sei ein kompakter metrischer Raum mit einem endlichen Maß auf . Es sei
ein stetiger Integralkern.
Dann ist die zugehörige Transformation
mit
ein kompakter Operator.
Es sei ein kompaktes Intervall,
ein stetiger Integralkern mit und eine stetige Funktion.
Dann gibt es zur jeder reellen Zahl mit eine eindeutige Lösungsfunktion mit
Die Fourier-Transformation
ist linear.
Für die Fourier-Transformation gelten die folgenden Rechenregeln.
- Zu
und
ist
- Zu
ist
- Zu
und reelles ist
Für die Fourier-Transformation von
gilt
D.h. die Dichte der Normalverteilung ist ein Fixpunkt für die Fourier-Transformation.
Es seien integrierbare Funktionen.
Dann gilt für die Fourier-Transformation der Faltung die Beziehung
Die Fourier-Transformation einer integrierbaren Funktion
ist gleichmäßig stetig.
Es sei eine Funktion und sei . Für jedes Tupel mit sei integrierbar.
Dann ist die Fourier-Transformierte von in Richtung partiell differenzierbar und es gilt
Es seien
integrierbare Funktionen mit den Fourier-Transformierten bzw. .
Dann gilt
Für eine stetige beschränkte Funktion
gilt