Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Einführung

Einführung

In diesem Kurs wird Maßtheorie auf topologischen Räumen behandelt. Ziel ist es, auf Funktionenräumen von einen Definitionsbereich $\mathbb {D}$ und einem Wertebereich $\mathbb {W}$ Maße zu definieren. Über die Funktionen selbst gibt es nur diskrete Informationen.

Bezüge zu anderen mathematischen Disziplinen

Im Folgenden werden zunächst Bezüge zu anderen mathematischen Inhalten hergestellt, aus den Sie die grundlegenden Konzepte bereits kennen. Diese Grafik gibt einen ersten Überblick über die Inhalte der Vorlesung und deren Zusammenhänge. Achtung: Die Graphik wird im Laufe der Vorlesung ergänzt.

Einbindung der SDGs in die Mathematik

Aus diskretem Gitter glatte Oberflächen erzeugen - NURBS

Wahrscheinlichkeitstheorie

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden ebenfalls Maße behandelt. Zunächst auf einem diskreten Grundraum, bei denen einzelne Elemente des Grundraumes Wahrscheinlichkeitsmasse und bzw. bei stetigen Wahrscheinlichkeitsmaßen z.B. über eine Dichtefunktion über den reellen Zahlen integriert wird und Teilmengen aus dem Grundraum mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet wird.

Analysis

Aus der Analysis kennt man bereits die Integration, mit der man für eine Funktion den "orientierten Flächeninhalt" auf einem Intervall $[a,b]\subset \mathbb {R}$ messen kann. Die reellen Zahlen $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ sind mit dem Betrag ein topologischer Raum, in dem man Konvergenz und Stetigkeit der Funktionen betrachtet. In der Lehrveranstaltung werden Maße auf Funktionenräumen definiert und auch der Konvergenzbegriff in $(\mathbb {R} ,|\cdot |)$ auf allgemeine topologische Räume erweitert und Maße auf diesen Räumen definiert.

Maßtheorie

Betrachtet man zunächst eine Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ auf einem Grundraum $\mathbb {R} ^{2}$, die z.B. eine gewisse Exposition $f(x,y)$ an dem Ort $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ beschreibt (z.B. radioaktive Strahlung oder eine Exposition mit Schadstoffen). Gleichzeitig bewegt man sich in dem Raum über einen Weg $\gamma [a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$, der jedem Zeitpunkt $t\in [a,b]$ einen Ort $\gamma (t)\in \mathbb {R} ^{2}$ zuordnet, an dem sich eine Person zum Zeitpunkt $t$ befindet. Setzt man $\gamma (t)$ in $f$ ein, so erhält man mit $f(\gamma (t))$ die Exposition einer Person zum Zeitpunkt $t$, wenn sich die Person am Ort $\gamma (t)$ befindet. Das Integral

$\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\,dt$

Gibt dann die Exposition der Person $f$ auf dem Weg $\gamma$. Daten über einen Risikographen von $f$ liegen in der Regel als diskrete Informationen als Gitterpunkte im $\mathbb {R} ^{3}$ vor. Integration über messbare Teilmengen $A\subset \mathbb {R} ^{2}$ beschreiben über das Integral $\int _{A}f(z)\,dz$ die Gesamtexposition in dem Gebiet $A$. Dieses Integral kann auch näherungsweise über eine Volumenberechnung unter dem Gitter bestimmt werden oder über eine Interpolation über eine Interpolationsfunktion ${\widehat {f}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ (z.B. NURBS).

Maße und Gaugefunktionale

Auf $\mathbb {K}$-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale auf Funktionenräumen auffassen. Auf dem Vektorraum der stetigen Funktion ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ mit einer Norm:

$\|f\|:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ ist allerdings bzgl. der Norm nicht vollständig. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu $L_{p}(\mathbb {K} )$-Räumen mit $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$.

Diskrete Informationen über unbekannte Funktionen

Prozesse $(f_{t})_{t\in T}$ kann man über Abbildungen in Abhängigkeit von einem Zeitparameter $t\in T$ verstehen und auch Zustände $f_{t}$ zu einem bestimmten Zeitpunkt $t\in T$ kann man als Funktion auffassen. Also $f_{t}(x,y)$ könnte z.B. die Exposition mit einem Schadstoff an einem Ort $(x,y)$ beschreiben ($x$ Längengrad, $y$ Längengrad). Die Funktionen $f_{t}$ sind dabei i.d.R. nicht für alle $t\in T$ in der Realität bekannt und auch für bestimmte Zeitpunkte ${t_{0}},{t_{1}},...\in T$ sind für die Funktionen $f_{t_{0}},f_{t_{1}},...$ in der Regel nur eine endliche Anzahl von Funktionswerten an bestimmten Stellen/Orten $(x_{k},y_{k})$ oder die Integrale über messbare Mengen $M_{k}$ aus dem Definitionbereich der Funktionen bekannt.

Punktinformationen

$D_{1}:=\{(t_{1},x_{1},y_{1},z_{1}),\ldots ,(t_{n},x_{n},y_{n},z_{n})\}$

Ein Tupel $(t_{k},x_{k},y_{k},z_{k})$ liefert dabei ein Messdatum $z_{k}$ (z.B. Schadstoffmenge), die zum Zeitpunkt $t_{k}\in T)$ an dem Ort $(x_{k},y_{k})$ gemessen wurde. Diese Punktinformation über die Funktion $f_{t_{k}}$ kann man damit durch $z_{k}=f_{t_{0}}(x_{k},y_{k})$ beschreiben. Mit diesen Punktinformationen kann man durch Einsatz von Interpolationsverfahren oder Approximationsverfahren die unbekannte Funktion näherungsweise beschreiben. Dies führt u.a. zu Konvergenzuntersuchungen auf Funktionenräumen.

Flächeninformationen

Über die unbekannten Funktionen $f_{t_{0}},f_{t_{1}},...$ können Messungen aber nicht nur Daten $z_{k}$ an einzelnen Orten/Stellen $(x_{k},y_{k})\in \mathbb {D}$ liefern, sondern Messungen können auch Informationen zu Teilmengen $A_{k}\subseteq \mathbb {D}$ aus dem Definitionenbereich $\mathbb {D}$liefern. Auf dem Areal $A:=[a_{1},a_{2}]\times [b_{1},b_{b}]$ (Rechteck) wurden bei einer Messung zwischen dem Zeitpunkten $t_{1}$ und $t_{2}$ beispielsweise $z$ Einheiten Treibhausgase emittiert. Dies lässt sich über Integrale beschreiben.

$z:=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{b_{1}}^{b_{2}}\int _{a_{1}}^{a_{2}}f_{t}(x,y)\,dx\,dy\,dt$.

Ein einzelner Datensatz $(A_{k},S_{k},z_{k})$ besteht dann

• aus einer Fläche $A_{k}$ (als messbare Menge),
• einer Messzeitspanne $S_{k}=[t_{1},t_{2}]$ und
• dem Messwert $z_{k}$.

Da es in der Regel mehrere Messungen gibt besteht eine solche Sammlung von Flächeninformationen ebenfalls als Menge beschreiben

$D_{2}:=\{(A_{1},S_{1},z_{1}),\ldots ,(A_{n},S_{n},z_{n})\}$

Diese Flächeninformationen kann man ebenfalls dazu verwenden, die unbekannten Funktionen $f_{t_{0}},f_{t_{1}},...$ zu approximieren.

Datendichten

Die Anzahl der Informationen in bestimmten Gebieten ist eine wesentliches Kriterium für Entscheider und die Verlässlichkeit und Approximationsgüte der unbekannten Funktionswerte. Dies führt maßtheoretisch zu Datendichten in dem Grundraum $\mathbb {D}$, die mit Werkzeugen der Wahrscheinlichkeitstheorie (u.a. Gesetze der großen Zahlen) und Wahrscheinlichkeitsdichten maßtheoretisch untersucht werden kann.

Siehe auch

• Kurs:Stochastik