Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume

Einleitung

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Diese Seite zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume kann als Wiki2Reveal Folien angezeigt werden. Einzelne Abschnitte werden als Folien betrachtet und Änderungen an den Folien wirken sich sofort auf den Inhalt der Folien aus. Dabei werden die folgenden Teilaspekte im Detail behandelt:

  • (1) Funktionen als Vektoren,
  • (2) Funktionenräume als topologische Vektorräume,
  • (3) Innere Verknüpfungen auf Teilräumen

Zielsetzung

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Integrale sind lineare Funktionale auf Funktionenräumen. Diese Lernressource zu Funktionenräume in der Wikiversity hat das Ziel, die Grundlagen für die Erweiterung des Integrals als stetiges lineares Funktional auf Funktionenräumen für Maßtheorie auf topologischen Räumen vorzubereiten.

Definition von Abbildungen

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Eine Abbildung   wird in der Regel durch 3 Komponenten definiert:

  • Definitionsbereich  
  • Wertebereich   und einer
  • Abbildungsvorschrift.

Notation und Anforderungen

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Mit der folgenden formalen Definition

 

stellt sich im Kontext der Maßtheorie die Frage, welche Anforderungen an die Funktion gestellt werden müssen, damit man auf diesem Funktionenraum mit Maßen operieren kann.

Allgemeines Beispiel

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Ist   eine Menge von Personen und   eine Menge von Vornamen, dann könnte man eine Abbildung   definieren, die jeder Person aus   einen Vornamen   aus zuordnet.

Definition - Funktionenraum

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Sind   und   zwei Menge, dann bezeichnet   die Menge aller Abbildung von   und  .

Linearität eines Maßes

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Betrachtet man die Linearität eines Maßes  , das jeder Funktion   ein Maß   aus einem Körper   zuordnet, so sollten (wie bei einem klassischen Integral in der Analysis) folgende Eigenschaften erfüllt sein.

  • (Homogenität)   für alle   und  ,
  • (Additivität)   für alle  .

Bemerkung - Linearität

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Die rechte Gleichungsseite der Eigenschaften linearer Funktionen ist unproblematisch, da ein Maß   mit   eine Funktion   einen Wert aus einem Körper   zuordnet. Damit sind   und   wohldefinierte Verknüpfungen in dem  .

Bemerkung - Funktionenraum als Vektorraum

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Auch wenn das Multiplikationszeichen ' ' in der formalen Notation der Homogenität auf der rechten und linken Seite gleich aussieht, stellen diese unterschiedliche Verknüpfungen dar.   ist die äußere Verknüpfung auf einem Vektorraum  . Dies gilt analog für die innere addititve Verknüpfung '+' auf dem Funktionenraum  

Wertebereich als IK-Vektorraum

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Um eine innere Verknüpfung auf einem Funktionenraum definieren zu können, benötigt man bei einer argumentweisen Definition der Addition   mit   für alle   und Multiplikation mit Skalaren   mit   für alle  . Da alle   die Funktionswerte   in   liegen, benötigt man eine Vektorraumstruktur auf  .

Definition - Funktionenvektorraum

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Sei   eine Menge und   ein  -Vektorraum, dann bezeichnet   die Menge aller Abbildung von   und  .

Zielgruppe

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Die Zielgruppe der Lernressource zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume ist

Die Zielgruppen der Lernressource zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume sind

  • Studierende im Fach
  • Schüler:innen im Fach

Aufgaben für Lernende / Studierende

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Mit den folgenden Aufgaben zum Thema Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Funktionenräume werden

Literatur/Quellennachweise

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Siehe auch

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Seiteninformation

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