Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen/Polynomalgebra

Einführung

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Für den multiplikativen algebraischen Abschluss einer Algebra  , die ein zusätzliches Element   enthält, müssen auch

  • multiplikative Verknüpfung mit sich wieder in einer Algebra liegen (d.h. also auch   mit  , wobei   definiert wird) und auch
  • die beliebige multiplikative Verknüpfungen von   mit Elementen aus, d.h.   wieder in   liegen.
  • der additive algebraische Alschluss verlangt auch schließlich, dass Polynome mit Koeffizienten aus   als algebraischer Abschluss entsteht.

Algebraische Abschluss - Vollständigkeit

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Auch wenn die Polynomalgebra   mit den Multiplikation mit Skalaren, der Addition und Multiplikation mit einem zusätzlichen Element abgeschlossen ist, so muss nach einer Topologisierung der Polynomalgebra ggf. noch untersuchen, ob die Polynomalgebra auch vollständig ist.

Definition: Polynomnalgebra

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Sei   die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in   der Form

 

Bemerkung

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Aus der Notation von   kann man dabei nicht erkennen, welchen Grad   das Polynom   besitzt. Die Bedingung   bedeutet aber, dass die Koeffizientenfolge eine Art endliche Folge ist, bei der ab einer Indexschranke   alle Koeffizienten mit höherem Index dem Nullvektor   der Algebra entsprechen. Vorteil dieser Notation liegt in der Schreibweise des Cauchyproduktes, weil man dabei aufwendig nach Grad der multiplizierten Polynome entscheiden muss.


Siehe auch

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