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Definiton

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Punkte im dreidimensionalen Raum werden durch  -,  - und  -Koordinaten in der Form   angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung

 

betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als Vektor bezeichnet.

Die Menge der dreidimensionalen Vektoren wird als   bezeichnet.

Betrag und Richtung

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Die Länge eines Vektors wird als sein Betrag bezeichnet und ist durch

 

definiert. Ist dieser nicht Null, so lässt sich damit ein Vektor

  

der Länge Eins definieren, welcher die Richtung des Vektors angibt.

Vektoraddition

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Vektoren lassen sich komponentenweise addieren

 

Geometrisch entspricht dies einer Aneinanderreihung der Vektoren. Ebenso lässt sich die Differenz zweier Vektoren

 

definieren. Der Differenzvektor   gibt an, welcher Vektor an   angehängt werden muss, um Vektor   zu erhalten.

(Komponentenweise) Skalarmultiplikation

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Ein Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl   multiplizieren
 
Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von  .

Gegeben seien die beiden Vektoren

 

Bestimme den Ausdruck  

Lösungen

Skalarprodukt

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Manchmal ist es nötig, einen Vektor   in parallele und senkrechte Anteile zu einem gegebenen Vektor   zu zerlegen. Die beiden Vektoren schließen den Winkel   ein. Aus geometrischen Überlegungen lässt sich zeigen, dass der parallele Anteil den Betrag

 

bestitzt. (Streng genommen, gilt das nur für  .) Eingebettet in ein explizites Koordinatensystem lässt sich weiter zeigen, dass der Zusammenhang

 

gültig ist. Dieser wird benutzt, um das Skalarprodukt zweier Vektoren   und  

 

zu definieren. Der parallele Anteil von   muss dann in Richtung von   zeigen und kann daher durch

 

bestimmt werden. Der senkrechte Anteil ist durch

 

gegeben.

Aus der Definition des Skalarprodukts lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen. Sind sowohl die Vektoren  ,   nicht in allen Komponenten Null (also der Nullvektor), das Skalarprodukt aber dennoch Null, so muss der Kosinus den Wert Null annehmen. Dies ist aber nur möglich, wenn   die Wert   oder   annimmt. Da   aber den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt, stehen die Vektoren in diesem Fall senkrecht aufeinander. Allgemeiner werden Vektoren deren Skalarprodukt verschwindet als orthogonal bezeichnet.

Ebenso lässt sich wegen

 

der Betrag eines Vektors mittels des Skalarprodukts durch

 

ausdrücken.

Bestimme das Skalarprodukt der beiden Vektoren   und   aus der vorherigen Aufgabe. Stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander?

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Vektoren in Dimensionen

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Die bisherigen Betrachtungen lassen sich auf   Dimensionen erweitern. Die Menge der  -dimensionalen Vektoren wird mit   bezeichnet.

Die Vektoradditon erfolgt nach wie vor komponentenweise

 

ebenso die Skalarmultiplikation

 

Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und die jeweiligen Ergebnisse addiert, so dass

 

gilt. Der Betrag eines Vektors kann weiterhin durch

  

betsimmt werden.

Geraden und Ebenen im Raum

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Geraden im  

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Vektoren eröffnen eine neue Betrachtungsweise auf Geraden, die in der Analysis durch die Geradengleichung   beschrieben werden. Dazu werden Vektoren des   betrachtet.

  • Es gibt (bis auf die Länge und das Vorzeichen) nur einen Richtungsvektor   der senkrecht auf der Geraden steht. Ein solcher Vektor wird als Normalenvektor bezeichnet.
  • Der Abstandsvektor zweier Punkte, beschrieben durch die Ortsvektoren   und  , muss senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Ein bekannter Ortsvektor eines Punktes auf der Gerade wird als Stützvektor bezeichnet.

Damit lässt sich begründen, dass für einen bekannten Normalenvektor   und einen bekannten Stützvektor   die Ortsvektoren   der Gerade die Gleichung

 

erfüllen müssen. Diese Gleichung lässt sich mit der Einführung von   auch durch

 

ausdrücken.

Die Gerade teilt darüber hinaus den Raum in zwei Bereiche. Wird ein Punkt eingesetzt, dessen Ortsvektor nicht auf der Gerade liegt, so ergibt sich beim Auswerten von   ein Wert größer oder kleiner Null. Damit lassen sich die beiden Mengen

 

definieren. Diese Betrachtungsweise erlaubt es im Rahmen des maschinellen Lernens Entscheidungsregeln durch Vektoren zu beschreiben.

Im   soll eine Gerade mit   und dem Normalenvektor

 

gegeben sein. Bewerte, ob die Punkte  ,   und   auf der Gerade oder in den Mengen   liegen.

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Ebenen im   dimensionalen Raum

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Im   wird der gesamte Raum durch eine Ebene in zwei Bereiche getrennt. Um Punkte in der Ebene zu beschreiben genügt es wieder, einen Vektor   senkrecht auf der Ebene - der auch als Normalenvektor bezeichnet wird - und einen Vektor in der Ebene   - der ebenfalls als Stützvektor bezeichnet wird - zu kennen. Die Ortsvektoren   der Punkte der Ebene müssen dann die Gleichung

 

erfüllen. Genau, wie im zweidimensionalen Fall lassen sich die beiden Raumbereiche

 

definieren.

All diese Betrachtungen lassen sich auf   Dimensionen übertragen. Dort wird durch die Gleichung

 

ein   dimensionales Objekt beschrieben, dass als Hyperebene bezeichnet wird. Der  -dimensionale Raum wird in die beiden Bereiche

 

geteilt.

Betrachte eine Hyperebene mit   und dem Normalenvektor

 

und bestimme, ob die Punkte  ,   und   auf der Hyperbene oder in den Mengen   liegen.

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Abstände zu Hyperebenen

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Beim Maschinellen Lernen können Hyperebenen für Entscheidungsregeln genutzt werden. Eine Entscheidung ist eindeutiger, je größer der Abstand der Trainingsdaten von der Ebene der Entscheidungsregel ist. Daher gibt es Methoden (wie die Support Vector Machines) bei denen diese Abstände minimiert werden. Dazu ist es nötig, Abstände zwischen Punkten und Ebenen bestimmen zu können.

Liegt ein Punkt mit dem Ortsvektor   nicht in der Ebene, so kann der Verbindungsvektor zwischen diesem Punkt und dem Stützvektor   der Ebene betrachtet werden. Da der Abstand zur Ebene durch den Abstand einer auf der Ebene senkrecht stehenden Verbindungslinie gegeben ist, muss die Länge des zum Normalenvektor parallelen Anteil des Differenzvektors bestimmt werden. Nach den Betrachtungen beim Skalarprodukt lässt sich so erkennen, dass der Abstand zwischen einem Punkt   und einer Hyperebene   durch

 

gegeben ist.

Bestimme für die obige Hyperebene im 5 dimensionalen Raum den Abstand der Punkte   und   zu diesen.

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