Kurs:Maschinelles Lernen/Vektoren
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Definiton
BearbeitenPunkte im dreidimensionalen Raum werden durch -, - und -Koordinaten in der Form angegeben. Stattdessen kann auch der verbindende Pfeil zum Ursprung
betrachtet werden. Dieser kann unter beibehalt von Länge und Richtung verschoben werden. Er wird als Vektor bezeichnet.
Die Menge der dreidimensionalen Vektoren wird als bezeichnet.
Regeln
BearbeitenBetrag und Richtung
BearbeitenDie Länge eines Vektors wird als sein Betrag bezeichnet und ist durch
definiert. Ist dieser nicht Null, so lässt sich damit ein Vektor
der Länge Eins definieren, welcher die Richtung des Vektors angibt.
Vektoraddition
BearbeitenVektoren lassen sich komponentenweise addieren
Geometrisch entspricht dies einer Aneinanderreihung der Vektoren. Ebenso lässt sich die Differenz zweier Vektoren
definieren. Der Differenzvektor gibt an, welcher Vektor an angehängt werden muss, um Vektor zu erhalten.
(Komponentenweise) Skalarmultiplikation
BearbeitenEin Vektor lässt sich komponentenweise mit einer reellen Zahl multiplizieren
Geometrisch handelt es sich um eine Streckung, Stauchung oder Spiegelung am Ursprung abhängig vom Wert von .
Aufgabe
BearbeitenGegeben seien die beiden Vektoren
Bestimme den Ausdruck
Skalarprodukt
BearbeitenManchmal ist es nötig, einen Vektor in parallele und senkrechte Anteile zu einem gegebenen Vektor zu zerlegen. Die beiden Vektoren schließen den Winkel ein. Aus geometrischen Überlegungen lässt sich zeigen, dass der parallele Anteil den Betrag
bestitzt. (Streng genommen, gilt das nur für .) Eingebettet in ein explizites Koordinatensystem lässt sich weiter zeigen, dass der Zusammenhang
gültig ist. Dieser wird benutzt, um das Skalarprodukt zweier Vektoren und
zu definieren. Der parallele Anteil von muss dann in Richtung von zeigen und kann daher durch
bestimmt werden. Der senkrechte Anteil ist durch
gegeben.
Aus der Definition des Skalarprodukts lässt sich eine wichtige Schlussfolgerung ziehen. Sind sowohl die Vektoren , nicht in allen Komponenten Null (also der Nullvektor), das Skalarprodukt aber dennoch Null, so muss der Kosinus den Wert Null annehmen. Dies ist aber nur möglich, wenn die Wert oder annimmt. Da aber den Winkel zwischen den beiden Vektoren beschreibt, stehen die Vektoren in diesem Fall senkrecht aufeinander. Allgemeiner werden Vektoren deren Skalarprodukt verschwindet als orthogonal bezeichnet.
Ebenso lässt sich wegen
der Betrag eines Vektors mittels des Skalarprodukts durch
ausdrücken.
Aufgabe
BearbeitenBestimme das Skalarprodukt der beiden Vektoren und aus der vorherigen Aufgabe. Stehen die beiden Vektoren senkrecht aufeinander?
Vektoren in Dimensionen
BearbeitenDie bisherigen Betrachtungen lassen sich auf Dimensionen erweitern. Die Menge der -dimensionalen Vektoren wird mit bezeichnet.
Die Vektoradditon erfolgt nach wie vor komponentenweise
ebenso die Skalarmultiplikation
Beim Skalarprodukt zweier Vektoren werden die Vektoren komponentenweise multipliziert und die jeweiligen Ergebnisse addiert, so dass
gilt. Der Betrag eines Vektors kann weiterhin durch
betsimmt werden.
Geraden und Ebenen im Raum
BearbeitenGeraden im
BearbeitenVektoren eröffnen eine neue Betrachtungsweise auf Geraden, die in der Analysis durch die Geradengleichung beschrieben werden. Dazu werden Vektoren des betrachtet.
- Es gibt (bis auf die Länge und das Vorzeichen) nur einen Richtungsvektor der senkrecht auf der Geraden steht. Ein solcher Vektor wird als Normalenvektor bezeichnet.
- Der Abstandsvektor zweier Punkte, beschrieben durch die Ortsvektoren und , muss senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Ein bekannter Ortsvektor eines Punktes auf der Gerade wird als Stützvektor bezeichnet.
Damit lässt sich begründen, dass für einen bekannten Normalenvektor und einen bekannten Stützvektor die Ortsvektoren der Gerade die Gleichung
erfüllen müssen. Diese Gleichung lässt sich mit der Einführung von auch durch
ausdrücken.
Die Gerade teilt darüber hinaus den Raum in zwei Bereiche. Wird ein Punkt eingesetzt, dessen Ortsvektor nicht auf der Gerade liegt, so ergibt sich beim Auswerten von ein Wert größer oder kleiner Null. Damit lassen sich die beiden Mengen
definieren. Diese Betrachtungsweise erlaubt es im Rahmen des maschinellen Lernens Entscheidungsregeln durch Vektoren zu beschreiben.
Aufgabe
BearbeitenIm soll eine Gerade mit und dem Normalenvektor
gegeben sein. Bewerte, ob die Punkte , und auf der Gerade oder in den Mengen liegen.
Ebenen im dimensionalen Raum
BearbeitenIm wird der gesamte Raum durch eine Ebene in zwei Bereiche getrennt. Um Punkte in der Ebene zu beschreiben genügt es wieder, einen Vektor senkrecht auf der Ebene - der auch als Normalenvektor bezeichnet wird - und einen Vektor in der Ebene - der ebenfalls als Stützvektor bezeichnet wird - zu kennen. Die Ortsvektoren der Punkte der Ebene müssen dann die Gleichung
erfüllen. Genau, wie im zweidimensionalen Fall lassen sich die beiden Raumbereiche
definieren.
All diese Betrachtungen lassen sich auf Dimensionen übertragen. Dort wird durch die Gleichung
ein dimensionales Objekt beschrieben, dass als Hyperebene bezeichnet wird. Der -dimensionale Raum wird in die beiden Bereiche
geteilt.
Aufgabe
BearbeitenBetrachte eine Hyperebene mit und dem Normalenvektor
und bestimme, ob die Punkte , und auf der Hyperbene oder in den Mengen liegen.
Abstände zu Hyperebenen
BearbeitenBeim Maschinellen Lernen können Hyperebenen für Entscheidungsregeln genutzt werden. Eine Entscheidung ist eindeutiger, je größer der Abstand der Trainingsdaten von der Ebene der Entscheidungsregel ist. Daher gibt es Methoden (wie die Support Vector Machines) bei denen diese Abstände minimiert werden. Dazu ist es nötig, Abstände zwischen Punkten und Ebenen bestimmen zu können.
Liegt ein Punkt mit dem Ortsvektor nicht in der Ebene, so kann der Verbindungsvektor zwischen diesem Punkt und dem Stützvektor der Ebene betrachtet werden. Da der Abstand zur Ebene durch den Abstand einer auf der Ebene senkrecht stehenden Verbindungslinie gegeben ist, muss die Länge des zum Normalenvektor parallelen Anteil des Differenzvektors bestimmt werden. Nach den Betrachtungen beim Skalarprodukt lässt sich so erkennen, dass der Abstand zwischen einem Punkt und einer Hyperebene durch
gegeben ist.
Aufgabe
BearbeitenBestimme für die obige Hyperebene im 5 dimensionalen Raum den Abstand der Punkte und zu diesen.