Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Häufige Fehler/Erste Woche

• Ihr müsst besser auf die Objekte achten, die ihr miteinander verknüpft. Eine Aussage kann nicht äquivalent zu einer Menge sein, da es sich um unterschiedliche Objekte handelt. Äquivalenzen und "daraus folgt" sind für Aussagen zu gebrauchen; Mengen oder Abbildungen hingegen können nur gleich oder ungleich sein (Ausnahme: Äquivalenzrelation).

• Wenn ihr die Äquivalenz zweier Aussagen zeigen wollt, ist die Vorgehensweise (im Allgemeinen) die erste Aussage als gegeben anzunehmen und dann auf die zweite zu schließen. Damit ist die Implikation "aus der ersten folgt die zweite Aussage" gezeigt. Dann macht man das noch einmal umgekehrt. Was absolut gar nicht geht ist beide Aussagen anzunehmen und dann irgendwelches blabla von sich zu geben.

• Wenn verlangt wird ein Objekt mit gewissen Eigenschaften anzugeben (z.B. eine Bijektion von $\mathbb {N}$ nach $\mathbb {Z}$), so muss auch gezeigt werden, dass diese Eigenschaften erfüllt sind! Um zu zeigen, dass die angegebene Abbildung bspw. injektiv ist, müsst ihr die Definition von injektiv an dieser konkreten Abbildung nachprüfen. Etwas von der Form "$f$ ist injektiv, weil <Definition abschreiben> gilt" ist also KEIN Beweis.

• "Für den Turm gibt es nur eine Äquivalenzklasse, weil der Turm überall hinkommt." ist auch kein Beweis. Das ist eine Behauptung ("Für den Turm gibt es nur eine Äquivalenzklasse") zusammen mit einer Umformulierung dieser Behauptung ("Der Turm kommt überall hin"). Es steht also nichts anderes da als: Das ist so, weil das eben so ist.

• Der Unterschied zwischen $f$ und $f(x)$ scheint nicht klar zu sein. Letzteres ist KEINE Funktion. Das Symbol $f(x)$ bezeichnet ein Element in der Wertemenge der Abbildung $f$, nämlich dasjenige, welches das Bild des Elementes $x$ ist. Insbesondere kann $f(x)$ NICHT injektiv oder surjektiv sein. Des Weiteren heißt $f(x)=g(x)$ nur, dass die Bilder des Elementes $x$ unter den Abbildungen $f$ und $g$ gleich sind und NICHT, dass die Abbildungen gleich sind. Wollt ihr sagen, dass die Abbildungen gleich sind, schreibt man $f=g$ oder $f(x)=g(x)\forall x$ (aus dem Definitionsbereich).

• Aus einer Gleichung $f\circ g=f\circ h$ lässt sich nicht $g=h$ schließen. Man mache sich das an der Situation klar, wo $f,$ $g,$ $h$ durch $f(x)=x^{2},$ $g(x)=x$ und $h(x)=-x$ gegeben sind.

• Der Ausdruck $\pm (1,2)$ ist eine abkürzende Schreibweise für "$(1,2)$ oder $(-1,-2)$". Insbesondere ist also $(-1,2)$ nicht inbegriffen.

• Es gilt niemals nie nicht $x\in \emptyset$

• Unbeschränkte Intervalle in $\mathbb {R}$ sind immer offen in "Richtung Unendlichkeit": $[-\infty ,0]$ ist falsch. Richtig ist $]-\infty ,0]$ oder $(-\infty ,0]$ Das bedeutet, dass $\pm \infty$ nicht Teil der Menge ist. So, wie $[1,3[$ nicht die $3$ enthält.

• Es gilt keineswegs $x\in M\Rightarrow x\in P(M)$. Es gilt allerdings ${}\{x\}\in P(M)$

• Eine Menge ist nicht bijektiv/injektiv/surjektiv! Dies sind Eigenschaften einer Abbildung.

• $A\subseteq B$ ist keine Menge! Es gilt nicht $A\subseteq B=\{x|x\in A\Rightarrow x\in B\}$ sondern $A\subseteq B\Rightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)$

• Einige scheinen den Unterschied zwischen Menge und Element und die Bedeutung von $=$ nicht verstanden zu haben.

Die Aussage $x\in A\cap B=x\in A\land x\in B$ ist falsch! Richtig wäre es $x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\land x\in B$