Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Zusatzaufgaben

Zusatzaufgaben

Aufgabe (4 Punkte)

Eine ${}n$-Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch ${}a-1$ Längsrillen und ${}b-1$ Querrillen in ${}n=a\cdot b$ (${}a,b\in \mathbb {N} _{+}$) mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer ${}n$-Schokolade aus genau ${}n-1$ Teilungsschritten besteht.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und sei ${}T\subseteq M\times N$ eine Teilmenge. Zu ${}x\in M$ sei ${}T(x)={\left\{y\in N\mid (x,y)\in T\right\}}$. Zeige, dass ${}\{x\}\times T(x)$ die Faser der Hintereinanderschaltung

$T\hookrightarrow M\times N{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M$

über ${}x$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu

${\sqrt {4x^{2}+2x+3}}.$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von

${\frac {X}{(X+2)(X+1)(X-1)(X-2)}}.$

Aufgabe (7 Punkte)

Berechne das uneigentliche Integral

$\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{({\sqrt {1+t^{2}}})^{3}}}\,dt.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung (${}y>0$)

${}y'=t^{5}y^{2}\,$

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?

Aufgabe (6 Punkte)

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{3},\,(u,v)\longmapsto (u^{2}v^{2},u+\sin v,v^{3}),$

und

$\psi \colon {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {K} }^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (x^{2}y-z^{2},xy^{2}+yz\exp x),$

und ihrer Komposition ${}\psi \circ \varphi$ in folgenden Schritten.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt ${}Q\in {\mathbb {K} }^{3}$ das totale Differential ${}\left(D\psi \right)_{Q}$ mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$.
5. Berechne das totale Differential von ${}\psi \circ \varphi \colon {\mathbb {K} }^{2}\rightarrow {\mathbb {K} }^{2}$ in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {K} }^{2}$ mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 4x^{2}-xy+5y^{2},$

auf Extrema.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\},\,(u,v)\longmapsto \left({\frac {-u}{u^{2}+v^{2}}},\,{\frac {-v}{u^{2}+v^{2}}}\right),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (\sin xy,yz\cos \left(x^{2}\right),e^{xyz}).$

Zeige, dass ${}\varphi$ im Punkt ${}P=(1,\pi ,1)$ lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt ${}Q=\varphi (P)$.

Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto 1-t^{2}.$

Für welche ${}x,y\in [0,1]$, ${}x<y$, besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu ${}f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die differenzierbare Kurve

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t^{3},\,e^{t}\right).$

Bestimme einen Kreis (mit Mittelpunkt und Radius) und eine Parametrisierung ${}\psi$ dieses Kreises derart, dass ${}\psi$ und ${}\varphi$ für ${}t=1$ bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen.

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