Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 82



Aufwärmaufgaben
DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg

Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis . Zeige, dass wenn man einen Vektor durch sein Negatives ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.


Aufgabe

Es seien und zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf repräsentierende Basis gibt, deren Bildvektoren die Orientierung auf repräsentieren.


Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum, der nur aus endlich vielen Elementen bestehe. Zeige, dass kompakt ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und es seien kompakte Teilmengen. Zeige, dass auch die Vereinigung kompakt ist.


Aufgabe

Es sei ein kompakter Raum und es sei eine abgeschlossene Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Zeige, dass ebenfalls kompakt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der reellen Zahlen nicht überdeckungskompakt ist.


Aufgabe

Wir betrachten die natürlichen Zahlen und versehen sie mit der diskreten Metrik. Zeige, dass abgeschlossen und beschränkt, aber nicht überdeckungskompakt ist.


Aufgabe

Es sei ein kompakter metrischer Raum. Zeige, dass vollständig ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Basis

von und die dadurch induzierte Basis

von . Bestimme die Übergangsmatrizen (in beide Richtungen) zwischen der Basis und der Standardbasis .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf , aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die -Sphäre eine orientierbare differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Hausdorffraum und es sei eine Teilmenge, die die induzierte Topologie trage. Es sei kompakt. Zeige, dass abgeschlossen in ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien und topologische Räume und es sei

eine stetige Abbildung. Es sei kompakt. Zeige, dass das Bild ebenfalls kompakt ist.



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