Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/22/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 5 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 4 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Durchschnitt} {} von Mengen \mathkor {} {L} {und} {M} {.}
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Der \stichwort {Logarithmus zur Basis} {}
\mathbed {b \in \R_+} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,}
einer positiven reellen Zahl $x$.
}{Der
\stichwort {Differenzenquotient} {}
zu einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Das \stichwort {bestimmte Integral} {} zu einer Riemann-integrierbaren Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Satz über die stetige Umkehrfunktion} {.}}{Die \stichwort {Periodizätseigenschaften} {} für Sinus und Kosinus \zusatzklammer {ohne spezielle Werte} {} {.}}{Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Erläutere das Prinzip \stichwort {Beweis durch Widerspruch} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl. Wann ist die Zahl
\mathl{n^2-1}{} eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit
\zusatzklammer {16 Stunden pro Tag} {} {}
zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei
\mathl{2000}{} kcal und $100$ Gramm Heidelbeeren enthalten $42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt $1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise durch Induktion, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^n
}
{ \geq} { n^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
$f$ von minimalem Grad mit
\mathdisp {f(0)=0,\, f(1) =1,\, f(2) = 3,\, f(3) = 6} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das Quotientenkriterium für Reihen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Zeige, dass die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} x ,\, \text{ falls } x\in \Q \, , \\ 0,\, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nur im Nullpunkt stetig ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} {\R} { \R
} {z} {f(z)
} {,}
eine Funktion, die die Funktionalgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z+w)
}
{ =} { f(z) \cdot f(w)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{z,w \in \R}{} erfülle und die in
\mathl{0}{} differenzierbar sei. Zeige, dass dann $f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(z)
}
{ = }{ \lambda f(z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem festen
\mathl{\lambda \in \R}{} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $2$ zur \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ x }{ x^2+1 } } } {,} im Entwicklungspunkt $1$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Beweise den Satz über die Stammfunktion der Umkehrfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{x}}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ [1,4]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von
\mathkor {} {1} {und} {4} {}
und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von $1$ und der Wurzel von $4$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mathkor {} {n} {bzw.} {m} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich zweier
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ m \times n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben werde. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ =} { \operatorname{rang} \, M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \in K^n} { }
ein von $0$ verschiedener Vektor.
Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten \definitionsverweis {Basis}{}{.}
}
{} {}