Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/45/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 7 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 2 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 1 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Binomialkoeffizient} {}
\mathl{\binom { n } { k }}{.}
}{Eine reelle \stichwort {Intervallschachtelung} {.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Die
\stichwort {Riemann-Integrierbarkeit} {}
einer Funktion
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem kompakten Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$
\stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die geometrische Reihe.}{Die
\stichwort {Taylor-Formel} {}
für eine
\mathl{(n+1)}{-}mal
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem reellen Intervall $I \subseteq \R$ für einen inneren Punkt
\mathl{a \in I}{.}}{Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch \anfuehrung{Extremfälle}{} berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme
\mathdisp {{ \left( { \left( { \left( { \left( { \left( { \frac{ 3 }{ 7 } } \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1} \right) }^{-1}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\prod_{k = 2}^n { \left( 1- { \frac{ 1 }{ k^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ n+1 }{ 2n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch vollständige Induktion
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+1+1)}
{
\aufzaehlungvier{Es sei $H$ die Menge aller \zusatzklammer {lebenden oder verstorbenen} {} {} Menschen. Untersuche die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {H} {H } {,} die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität. }{Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung $\varphi^3$? }{Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge $E$ aller Einzelkinder und auf die Menge $M$ aller Mütter einschränkt? }{Seien Sie spitzfindig \zusatzklammer {evolutionsbiologisch oder religiös} {} {} und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Unterteile die Strecke von
\mathl{{ \frac{ 2 }{ 7 } }}{} nach
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 4 } }}{} rechnerisch in drei gleichlange Strecken.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Der Energiebedarf
\zusatzklammer {durch Nahrung} {} {}
eines Menschen beträgt pro Tag etwa
\mathl{12.000 \, kJ}{}
\zusatzklammer {Kilojoule} {} {.}
Die durchschnittliche Sonneneinstrahlung in Osnabrück beträgt pro Tag etwa $3 kWh$ pro $m^2$
\zusatzklammer {$3$ Kilowattstunden pro Quadratmeter} {} {.}
Wie viele Fläche benötigt man pro Person, um ihren Energiebedarf durch die Sonneneinstrahlung abzudecken?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien $n$ verschiedene Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_1 , \ldots , a_n
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_1 , \ldots , b_n
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom $Q$ vom Grad $n$ gibt, das
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(a_i)
}
{ = }{b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $i$ erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Untersuche die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=0}^{\infty} { \frac{ 4n-9 }{ 2n^3-5n^2-6n+2 } }} { }
auf
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Fünffache ihrer zweiten Potenz, gleich der siebten Wurzel von $17$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} keine Exponentialfunktion sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Ordne die folgenden Funktionen den Bildern zu
\zusatzklammer {man schreibe ohne Begründung hinter den Funktionsausdruck den Buchstaben des zugehörigen Bildes; nur für vollständig richtige Antworten gibt es Punkte} {} {.}
\aufzaehlungsechs{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x -1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 3 } } x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x +1 \right) +1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( 2 x +1 \right) -1} { , }
}{
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 3 } } \sin \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } x + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) -1} { . }
}
-
a) -
b) -
c)
-
d) -
e) -
f)
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { 2^x + { \left( { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^x} {,} die Extrema.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^2-3x-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bestimme den Flächeninhalt des durch die $x$-Achse und den Graphen von $f$ eingeschränkten Gebietes.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {- 5 x - { \frac{ 1 }{ 3 } } y = 1 \text{ und } - 7 x+ { \frac{ 1 }{ 2 } }y = { \frac{ 2 }{ 3 } }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
$K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n ,\, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zueinander in der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
stehen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -5 & -1 & 0 \\0 & 0 & 11 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und ob sie
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}