Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/51/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 2 1 5 3 4 4 5 10 3 1 5 5 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die leere Menge.
  2. Eine reelle Intervallschachtelung.
  3. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion .
  4. Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
  5. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion .
  6. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.


Lösung

  1. Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt.
  2. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.

  3. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung

    gilt.

  4. Zu , , heißt die Zahl

    der Differenzenquotient von zu und .

  5. Die Ableitungsfunktion ist diejenige Funktion, die jedem Punkt die Ableitung zuordnet.
  6. Man nennt

    den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über hintereinandergeschaltete stetige Funktionen.
  2. Der Satz über die Monotonieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
  3. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung


Lösung

  1. Es seien und Teilmengen und

    und

    Funktionen mit . Dann gelten folgende Aussagen.

    1. Wenn in und in stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung in stetig.
    2. Wenn und stetig sind, so ist auch stetig.
  2. Die reelle Sinusfunktion induziert eine bijektive, streng wachsende Funktion

    und die reelle Kosinusfunktion induziert eine bijektive streng fallende Funktion

  3. Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt


Aufgabe (1 Punkt)

Formuliere die Kontraposition zu folgender Aussage von Professor Knopfloch: „Wenn Sie mein Schreiben vollständig gelesen und verstanden haben, dann antworten Sie mit Ihrer Uni-email“.


Lösung

Wenn Sie nicht mit Ihrer Uni-email antworten, dann haben Sie mein Schreiben nicht vollständig gelesen oder nicht verstanden.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Menge und zwei verschiedene Elemente. Definiere durch eine Fallunterscheidung eine Bijektion von nach , die und vertauscht, und sonst alle Elemente unverändert lässt.


Lösung

Wir definieren

durch

Diese Abbildung ist bijektiv und besitzt offenbar die gewünschte Vertauschungseigenschaft.


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne


Lösung

Das Ergebnis ist , da der Exponent gerade ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.


Lösung

Wir führen Induktion nach . Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

mit derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.


Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

führt auf

und führt auf

also

und somit

Das gesuchte Polynom ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Folge und . Welche der Pseudokonvergenzbegriffe (siehe Angeordneter Körper/Folge/Pseudokonvergenz/Pseudo/Definition) treffen zu?


Lösung

Richtig sind (4), (5), (6), (7).


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.


Lösung

Für jedes und jedes gilt die Beziehung

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei )

Für und konvergiert dies wegen Lemma 8.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Aufgabe 8.22 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gegen .


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

auf .

  1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von .
  2. Bestimme die lokalen Extrema von .
  3. Bestimme das Monotonieverhalten von .


Lösung

  1. Es ist

    und

  2. Wir setzen

    Dies führt auf bzw. auf

    also . Die einzige Nullstelle der Ableitung ist also in

    Wegen

    liegt an dieser Stelle ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert

    vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat und da keine Randpunkte zu beachten sind, handelt es sich um ein globales Minimum.

  3. Für ist und

    und für ist und

    Somit ist auf streng fallend und auf streng wachsend.


Aufgabe (10 Punkte)

Es sei

eine Riemann-integrierbare Funktion. Zu sei

diejenige untere Treppenfunktion zu zur äquidistanten Unterteilung in gleichlange Intervalle, die auf dem Teilintervall

(für sei das Intervall rechtsseitig abgeschlossen) das Infimum von , , annimmt. Zeige, dass die Folge der Treppenintegrale zu gegen konvergiert.


Lösung

Es sei . Es gibt eine Folge von unteren Treppenfunktionen derart, dass die zugehörige Folge der Treppenintegrale gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dies auch für die Treppenintegrale zu den gilt. Sei vorgegeben. Aufgrund der zuerst erwähnten Konvergenz gibt es zu ein derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Wir vergleichen die Treppenintegrale zu mit dem Treppenintegral zu . Es sei die Anzahl der Unterteilungspunkte von und es sei eine absolute Schranke für . Insbesondere ist

und

Wir wählen so, dass

ist. Sei fixiert. Von den Teilintervallen gibt es maximal Stück, in denen ein Unterteilungspunkt zu liegt. Es sei die Indexmenge dieser Teilintervalle. Auf einem Intervall mit ist konstant und es gilt dort

und entsprechend

Auf einem Intervall mit ist

und

Insgesamt ergibt sich


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die beiden Funktionen

und

  1. Bestimme die Schnittpunkte der Graphen von und
  2. Die beiden Graphen schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.


Lösung

  1. Die Gleichung

    führt auf

    und damit auf . Die Schnittpunkte sind also und .

  2. Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche ist das Doppelte des Flächeninhalts unterhalb des Graphen zu und oberhalb der -Achse zwischen und . Dieser ist

    Der gesuchte Flächeninhalt ist also .


Aufgabe (1 Punkt)

Beschreibe die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft, in Punktvektorform.


Lösung

Die Gerade wird durch

beschrieben.


Aufgabe (5 (3+1+1) Punkte)

In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür €. Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür €. Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro.

  1. Kann man daraus die Preise rekonstruieren?
  2. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind?
  3. Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind?


Lösung

  1. Es sei der Preis für den Schokoriegel, der Preis für die Packung Brausepulver, der Preis für eine saure Zunge. Die drei Einkäufe führen zu den drei Gleichungen

    Die Gleichung ergibt

    Dies stimmt mit der dritten Gleichung überein, daher ist das Gleichungssystem äquivalent zum System

    mit zwei Gleichungen. Dabei führt jede Vorgabe von zu einer Lösung und die Preise sind nicht ermittelbar.

  2. Es gibt die Lösungen (in Cent) und , die Lösungen sind also auch unter der zusätzlichen Bedingung nicht eindeutig.
  3. Bei haben wir die Lösung . Bei ist

    also kein Vielfaches der . Bei ist

    und die zweite Gleichung kann nicht unter der gegebenen Nebenbedingung erfüllt werden. Es gibt also nur eine Lösung.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Übergangsmatrizen und für die Standardbasis und die durch die Vektoren

gegebene Basis im .


Lösung

Es ist

Für die umgekehrte Übergangsmatrix müssen wir diese Matrix invertieren. Es ist

Es ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen -Vektorraum und eine lineare Abbildung , die surjektiv, aber nicht injektiv ist.


Lösung

Wir betrachten den Vektorraum mit der Basis , . Wir betrachten die durch den Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung, die das Basiselement auf sich selbst und die weiteren Basiselemente auf schickt. Dann werden und beide auf abgebildet und die Abbildung ist daher nicht injektiv. Hingegen wird jedes Basiselement durch getroffen, und somit ist diese lineare Abbildung surjektiv.


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten Matrizen der Form

  1. Berechne
  2. Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
  3. Bestimme die Determinante von .
  4. Man gebe eine Matrix der Form

    an, die nicht invertierbar ist.

  5. Sei

    invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?


Lösung

  1. Es ist
  2. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. Wenn man oben die Reihenfolge vertauscht, ergibt sich als Eintrag links oben und nicht .
  3. Die Determinante von ist gleich .
  4. Die Matrix

    ist nicht invertierbar, da die erste und die dritte Zeile übereinstimmen.

  5. Sei invertierbar. Dann ist zunächst . Ferner ist , da die Determinante gleich ist. Es ist

    Somit ist

    die inverse Matrix und diese ist wieder von diesem Typ.



Anhang


Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei .

  1. Man sagt, dass die Folge gegen hypervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und alle gilt die Beziehung
  2. Man sagt, dass die Folge gegen supervergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  3. Man sagt, dass die Folge gegen megavergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein derart, dass für alle und jedes , , die Beziehung

    gilt.

  4. Man sagt, dass die Folge gegen pseudovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass die Beziehung

    gilt.

  5. Man sagt, dass die Folge gegen semivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , und jedem gibt es ein , , derart, dass die Beziehung

    gilt.

  6. Man sagt, dass die Folge gegen protovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  7. Man sagt, dass die Folge gegen quasivergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Es gibt ein , , und ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.

  8. Man sagt, dass die Folge gegen deuterovergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist. Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt.