Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/5/Klausur mit Lösungen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 5 7 4 3 5 4 5 3 10 8 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  2. Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
  3. Die Jacobi-Matrix zu einer partiell differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt .

  4. Ein lokales Minimum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .

  5. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes

    lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.

  6. Die Rotationsmenge (um die -Achse) zu einer Teilmenge .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  2. Es sei ein offenes Intervall, offen und

    eine Funktion. Dann nennt man den Ausdruck

    eine Differentialgleichung der Ordnung .

  3. Die Matrix

    heißt die Jacobi-Matrix zu im Punkt .

  4. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

    gilt.

  5. Man sagt, dass das Vektorfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung genügt, wenn es zu jedem Punkt eine offene Umgebung

    derart gibt, dass das auf eingeschränkte Vektorfeld einer Lipschitz-Bedingung genügt.

  6. Die Rotationsmenge zu ist


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Die Kettenregel zu zwei total differenzierbaren Abbildungen

    und

    in einem Punkt .
  3. Der Satz von Picard-Lindelöf.


Lösung

  1. Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Dann gilt die Abschätzung
    für alle .
  2. Die zusammengesetzte Abbildung ist ebenfalls total differenzierbar, und zwischen den totalen Differentialen in einem Punkt besteht die Beziehung
  3. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

    ein Vektorfeld auf . Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge. Dann gibt es zu jedem ein offenes Intervall  mit derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

    existiert.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde eine Lösung für die gewöhnliche Differentialgleichung

mit und .


Lösung

Es liegt eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor. Wir setzen

davon ist

eine Stammfunktion. Die Umkehrfunktion davon ist ebenfalls

Wir setzen weiter

Wir machen den Ansatz für die Partialbruchzerlegung, also

Daraus ergibt sich die Bedingung

und daraus

Also ist

eine Stammfunktion von . Daher ist

eine Lösung, die für definiert ist und für die gilt.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Funktion zwischen metrischen Räumen in einem Punkt .


Lösung

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist klar.
Es sei nun (2) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Dazu sei gegeben. Wegen (2) gibt es ein mit der angegebenen Eigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.

Es sei (3) erfüllt und vorgegeben.  Wir nehmen an, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand größer als besitzt. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenwerte zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (3).


Aufgabe (4 Punkte)

Von einer Bewegung

sei der Geschwindigkeitsverlauf

bekannt. Ferner sei

bekannt. Bestimme .


Lösung

Wir bestimmen Stammfunktionen für die einzelnen Komponentenfunktionen. Eine Stammfunktion zu

ist

eine Stammfunktion zu ist

und eine Stammfunktion zu ist

Deshalb besitzt die allgemeine Gestalt

mit Konstanten . Die Bedingung

führt auf

also ist

und

Insgesamt ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Wegintegral zum Vektorfeld

auf zum Weg


Lösung

Es ist

und somit ist der Integrand des Wegintegrals gleich

Eine Stammfunktion davon ist

Somit ist


Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

mit den Anfangsbedingungen und durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.


Lösung

Wir machen den Ansatz

Aufgrund der Anfangsbedingung ist direkt und . Die relevanten Ausdrücke links sind

und deren Summe ist mit gleichzusetzen. Der Vergleich der einzelnen Koeffizienten zu den führt auf

also ist

auf

also ist

und auf

also ist

also

Die Potenzreihe zu bis zur vierten Ordnung ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthogonalbasis der Raumkomponente dazu.


Lösung

Es ist

also liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente dieses Beobachters ist die Ebene, die dazu bezüglich der Minkowski-Form senkrecht steht. Dies führt auf die Bedingung

was nach Multiplikation mit zu

äquivalent ist. Einfache, linear unabhängige Lösungen sind und , diese bilden eine Basis der Raumkomponente. Um eine Orthogonalbasis zu bekommen, machen wir den Ansatz

also ist

und zusammen mit

eine Orthogonalbasis.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

in einem Punkt .


Lösung

Da eine lineare Abbildung von nach ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor einen Vektor in . Nach Voraussetzung haben wir

(mit den üblichen Bedingungen an ). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines)

Also gilt

da und der Ausdruck beschränkt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Zeige


Lösung

Unter mehrfacher Anwendung des Satzes von Schwarz ist (die Klammern verdeutlichen, wie der Satz angewendet wird. Für die vierte Gleichung wird verwendet, dass zweimal stetig differenzierbar ist)


Aufgabe (10 (2+4+2+2) Punkte)

Es sei .

  1. Bestimme die kritischen Punkte von auf .
  2. Bestimme die lokalen Extrema von .
  3. Zeige, dass die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale unendlich viele lokale Extrema besitzt.
  4. Bestimme, ob die Einschränkung von auf die durch gegebene Diagonale im Nullpunkt ein lokales Extremum besitzt.


Lösung

  1. Die Jacobi-Matrix ist

    Für einen kritischen Punkt müssen beide Komponenten sein. Aus der ersten Komponente folgt und daraus aus der zweiten Komponente , da der Kosinus an den Nullstellen des Sinus keine Nullstelle besitzt. Die kritischen Punkte haben also die Gestalt

    mit .

  2. Zur Bestimmung der lokalen Extrema betrachten wir die Hesse-Matrix, diese ist

    In einem kritischen Punkt ist diese

    und zwar hängt das Vorzeichen davon ab, ob gerade oder ungerade ist. Das charakteristische Polynom ist

    Die Hesse-Matrix hat somit einen positiven und einen negativen Eigenwert und nach [[Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Bilinearform/Symmetrisch/Eigenwertkriterium/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] ist ihr Typ . Daher ist sie indefinit und nach [[Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] gibt es keine lokalen Extrema.

  3. Auf der Diagonalen wird die Funktion zu . Für hat den Wert . Deshalb muss zwischen zwei solchen benachbarten Nullstellen nach Satz 11.13 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) jeweils ein Maximum oder ein Minimum angenommen werden.
  4. Die Funktion hat im Nullpunkt den Wert . Für echt zwischen und sind im positiven Bereich beide Faktoren positiv und im negativen Bereich beide Faktoren negativ. Damit ist auf diesem Intervall außerhalb des Nullpunktes positiv und somit liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum vor.


Aufgabe (8 (2+1+1+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu .
  2. Berechne die Determinante der Jacobi-Matrix in Abhängigkeit von .
  3. Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
  4. Besitzt im Punkt lokal eine Umkehrabbildung?
  5. Zeige, dass es genau einen Punkt mit

    gibt.


Lösung

  1. Die Jacobi-Matrix ist
  2. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist über Entwicklung nach der ersten Zeile gleich
  3. Die Determinante der Jacobi-Matrix im Punkt ist

    Die Jacobi-Matrix ist also in diesem Punkt bijektiv und daher besitzt die Abbildung nach [[Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Satz über die Umkehrabbildung/R/Stetig differenzierbar/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] in diesem Punkt lokal eine Umkehrabbildung.

  4. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist im Nullpunkt gleich , das hilft nicht weiter. Betrachten wir Punkte der Form und . Diese werden beide auf abgebildet und somit ist die Abbildung auf keiner beliebig kleinen offenen Umgebung des Nullpunkts injektiv. Es gibt also keine lokale Umkehrabbildung.
  5. Die erste Komponente führt auf , also oder . Bei wäre aber der Wert der zweiten Komponente, , negativ, so dass so kein Urbild aussehen kann. Also ist . Wegen der dritten Komponente ist daher . Deshalb muss sein. Der Punkt wird in der Tat auf abgebildet.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das Integral

wobei den Einheitskreis bezeichnet.


Lösung

Es ist

Mit der Substitution ist dieses Integral gleich