Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 1

Zahlen

Wir arbeiten mit den folgenden Mengen, deren Kenntnis wir voraussetzen.

${}\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}\,,$

die Menge der natürlichen Zahlen (mit der ${}0$).

${}\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}\,,$

die Menge der ganzen Zahlen,

${}\mathbb {Q} ={\left\{a/b\mid a\in \mathbb {Z} ,\,b\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}\right\}}\,,$

die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$.

Diese Mengen sind mit den natürlichen Operationen wie Addition und Multiplikation versehen, an deren Eigenschaften wir bald erinnern werden. Die reellen Zahlen stellen wir uns als die Punkte einer Geraden vor, auf der sich auch die zuvor genannten Zahlenmengen befinden. Zugleich kann man ${}\mathbb {R}$ als die Menge aller (vor dem Komma endlichen, nach dem Komma eventuell unendlichen) Ziffernfolgen auffassen. Wir werden im Laufe der Vorlesung alle entscheidenden Eigenschaften der reellen Zahlen kennenlernen (die sogenannten Axiome der reellen Zahlen, aus denen man alle anderen Eigenschaften logisch herleiten kann) und dann auch diese vorläufigen Sichtweisen präzisieren.

Induktion

Mathematische Aussagen, die von natürlichen Zahlen abhängen, können mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion bewiesen werden. Die folgende Aussage begründet dieses Prinzip.

Satz

Für jede natürliche Zahl ${}n$ sei eine Aussage ${}A(n)$ gegeben. Es gelte

1. ${}A(0)$ ist wahr.
2. Für alle ${}n$ gilt: wenn ${}A(n)$ gilt, so ist auch ${}A(n+1)$ wahr.

Dann gilt ${}A(n)$ für alle ${}n$.

Beweis

Es sei

${}M={\left\{n\in \mathbb {N} \mid A(n){\text{ ist wahr}}\right\}}\,.$

Wir wollen zeigen, dass ${}M=\mathbb {N}$ ist, denn genau dies bedeutet, dass die Aussage für alle ${}n$ gilt. Nach der ersten Bedingung ist

${}0\in M\,.$

Nach der zweiten Voraussetzung gilt für ${}M$, dass aus ${}n\in M$ stets ${}n+1\in M$ folgt. Damit erfüllt ${}M$ beide Voraussetzungen im Induktionsprinzip für Mengen, sodass ${}M=\mathbb {N}$ gilt.

$\Box$

Der Nachweis von ${}A(0)$ heißt dabei der Induktionsanfang und der Schluss von ${}A(n)$ auf ${}A(n+1)$ heißt der Induktionsschluss. In manchen Situationen ist die Aussage ${}A(n)$ erst für ${}n\geq n_{0}$ für ein gewisses ${}n_{0}$ (definiert oder) wahr. Dann beweist man im Induktionsanfang die Aussage ${}A(n_{0})$ und den Induktionsschluss führt man für ${}n=n_{0}$ durch.

Das folgende Standardbeispiel für einen Induktionsbeweis verwendet das Summenzeichen. Für gegebene reelle Zahlen ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ bedeutet

${}\sum _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}\,.$

Dabei hängen im Allgemeinen die ${}a_{k}$ in einer formelhaften Weise von ${}k$ ab. Entsprechend ist das Produktzeichen definiert, nämlich

${}\prod _{k=1}^{n}a_{k}:=a_{1}\cdot a_{2}{\cdots }a_{n-1}\cdot a_{n}\,.$

Aufgabe

Beweise durch Induktion die folgende Formel für ${}n\geq 1$.

${}\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}\,.$

Lösung

Beim Induktionsanfang ist ${}n=1$, daher besteht die Summe links nur aus einem Summanden, nämlich der ${}1$, und daher ist die Summe ${}1$. Die rechte Seite ist ${}{\frac {1\cdot 2}{2}}=1$, sodass die Formel für ${}n=1$ stimmt.

Für den Induktionsschritt setzen wir voraus, dass die Formel für ein ${}n\geq 1$ gilt, und müssen zeigen, dass sie auch für ${}n+1$ gilt. Dabei ist ${}n$ beliebig. Es ist

${}{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k&=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)+n+1\\&={\frac {n(n+1)}{2}}+n+1\\&={\frac {n(n+1)+2(n+1)}{2}}\\&={\frac {(n+2)(n+1)}{2}}.\end{aligned}}$

Dabei haben wir für die zweite Gleichheit die Induktionsvoraussetzung verwendet. Der zuletzt erhaltene Term ist die rechte Seite der Formel für ${}n+1$, also ist die Formel bewiesen.

Mengen

Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie.

David Hilbert (1862-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen.

Mathematische Strukturen, wie die eingangs erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes ${}x$ zu einer Menge ${}M$ wird durch

${}x\in M\,$

ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch

${}x\notin M\,.$

Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser zwei Möglichkeiten.

Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.

Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit

$\emptyset$

bezeichnet.

Eine Menge ${}N$ heißt Teilmenge einer Menge ${}M$, wenn jedes Element aus ${}N$ auch zu ${}M$ gehört. Man schreibt dafür ${}N\subseteq M$ (manche schreiben dafür ${}N\subset M$). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion ${}N\subseteq M$ vorliegt. Für die oben erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen

${}\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \,.$

Im Nachweis, dass ${}N\subseteq M$ ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element ${}x\in N$ ebenfalls die Beziehung ${}x\in M$ gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft ${}x\in N$ verwenden.

Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen sein.

Mengenoperationen

Es gibt mehrere Möglichkeiten, aus gegebenen Mengen neue Mengen zu bilden. Die wichtigsten sind die folgenden.

• Vereinigung

${}A\cup B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ oder }}x\in B\right\}}\,,$

• Durchschnitt

  ${}A\cap B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\in B\right\}}\,,$

• Differenzmenge

${}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\notin B\right\}}\,.$

Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ${}G$ ist das Komplement einer Teilmenge ${}A\subseteq G$, das durch

${}\complement A:=G\setminus A={\left\{x\in G\mid x\notin A\right\}}\,$

definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also ${}A\cap B=\emptyset$ gilt, so nennen wir sie disjunkt.

Produktmenge

Wir wollen die Rechenoperationen auf den oben erwähnten Zahlenmengen, insbesondere die Addition und die Multiplikation, mengentheoretisch erfassen. Bei der Addition (beispielsweise auf ${}\mathbb {N}$) wird zwei natürlichen Zahlen ${}a$ und ${}b$ eine weitere natürliche Zahl, nämlich ${}a+b$, zugeordnet. Die Menge der Paare nennt man Produktmenge und die Zuordnung führt zum Begriff der Abbildung.

Wir definieren.

Definition

Es seien zwei Mengen ${}L$ und ${}M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}L\times M={\left\{(x,y)\mid x\in L,\,y\in M\right\}}\,$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Die Elemente der Produktmenge nennt man Paare und schreibt ${}(x,y)$. Dabei kommt es wesentlich auf die Reihenfolge an. Die Produktmenge besteht also aus allen Paarkombinationen, wo in der ersten Komponenten ein Element der ersten Menge und in der zweiten Komponenten ein Element der zweiten Menge steht. Zwei Paare sind genau dann gleich, wenn sie in beiden Komponenten gleich sind.

Wenn eine der beiden Mengen leer ist, so ist auch die Produktmenge leer. Wenn die beiden Mengen endlich sind, und es in der ersten Menge ${}n$ Elemente und in der zweiten Menge ${}k$ Elemente gibt, so gibt es in der Produktmenge ${}n\cdot k$ Elemente. Man kann auch für mehr als nur zwei Mengen die Produktmenge bilden.

Beispiel

Es sei ${}V$ die Menge aller Vornamen (sagen wir der Vornamen, die in einer bestimmten Grundmenge an Personen wirklich vorkommen) und ${}N$ die Menge aller Nachnamen. Dann ist

$V\times N$

die Menge aller Namen. Elemente davon sind in Paarschreibweise beispielsweise ${}({\text{Heinz}},{\text{Müller}})$, ${}({\text{Petra}},{\text{Müller}})$ und ${}({\text{Lucy}},{\text{Sonnenschein}})$. Aus einem Namen lässt sich einfach der Vorname und der Nachname herauslesen, indem man entweder auf die erste oder auf die zweite Komponente des Namens schaut. Auch wenn alle Vornamen und Nachnamen für sich genommen vorkommen, so muss natürlich nicht jeder daraus gebastelte mögliche Name wirklich vorkommen. Bei der Produktmenge werden eben alle Kombinationsmöglichkeiten aus den beiden beteiligten Mengen genommen.

Bei einer Produktmenge können natürlich auch beide Mengen gleich sein. Dann ist es verlockend, die Reihenfolge zu verwechseln, und also besonders wichtig, darauf zu achten, dies nicht zu tun.

Die Produktmenge ${}\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ stellt man sich als eine Ebene vor, man schreibt dafür auch ${}\mathbb {R} ^{2}$. Die Produktmenge ${}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ kann man sich als eine Menge von Gitterpunkten vorstellen.

Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke

Beispiel

Ein Zylindermantel ist die Produktmenge aus einem Kreis und einer Strecke

Es sei ${}S$ ein Kreis, worunter wir die Kreislinie verstehen, und ${}I$ eine Strecke. Der Kreis ist eine Teilmenge einer Ebene ${}E$ und die Strecke ist eine Teilmenge einer Geraden ${}G$, sodass für die Produktmenge die Beziehung

${}S\times I\subseteq E\times G\,$

gilt. Die Produktmenge ${}E\times G$ stellt man sich als einen dreidimensionalen Raum vor, und darin ist die Produktmenge ${}S\times I$ ein Zylindermantel.

Abbildungen

Definition

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen. Eine Abbildung ${}F$ von ${}L$ nach ${}M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge ${}L$ genau ein Element der Menge ${}M$ zugeordnet wird. Das zu ${}x\in L$ eindeutig bestimmte Element wird mit ${}F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F\colon L\longrightarrow M,\,x\longmapsto F(x),$

aus.

Bei einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$ heißt ${}L$ die Definitionsmenge (oder Definitionsbereich) der Abbildung und ${}M$ die Wertemenge (oder Wertevorrat oder Zielbereich) der Abbildung. Zu einem Element ${}x\in L$ heißt das Element ${}F(x)\in M$ der Wert von ${}F$ an der Stelle ${}x$. Statt Stelle sagt man auch häufig Argument.

Zwei Abbildungen ${}F\colon L_{1}\rightarrow M_{1}$ und ${}G\colon L_{2}\rightarrow M_{2}$ sind gleich, wenn die Definitionsmengen und die Wertemengen übereinstimmen und wenn für alle ${}x\in L_{1}=L_{2}$ die Gleichheit ${}F(x)=G(x)$ in ${}M_{1}=M_{2}$ gilt. Die Gleichheit von Abbildungen wird also zurückgeführt auf die Gleichheit von Elementen in einer Menge.

Abbildungen werden häufig auch Funktionen genannt. Wir werden den Begriff Funktion für solche Abbildungen reservieren, deren Wertemenge die reellen Zahlen ${}\mathbb {R}$ sind.

Zu jeder Menge ${}L$ nennt man die Abbildung

$L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x,$

also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst schickt, die Identität (auf ${}L$). Sie wird mit ${}\operatorname {Id} _{L}$ bezeichnet. Zu einer weiteren Menge ${}M$ und einem fixierten Element ${}c\in M$ nennt man die Abbildung

$L\longrightarrow M,\,x\longmapsto c,$

die also jedem Element ${}x\in L$ den konstanten Wert ${}c$ zuordnet, die konstante Abbildung (mit dem Wert ${}c$). Sie wird häufig wieder mit ${}c$ bezeichnet.

Für eine Abbildung gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten, z.B. Wertetabelle, Balkendiagramm, Kuchendiagramm, Pfeildiagramm, den Graph der Abbildung. Dabei sind die Übergänge zwischen der formalen Definition einer Abbildung und den visuellen Realisierungen fließend. In der Mathematik wird eine Abbildung zumeist durch eine Abbildungsvorschrift beschrieben, die es erlaubt, die Werte der Abbildung zu berechnen.

Die Rechenoperationen Addition und Multiplikation innerhalb der reellen Zahlen fassen wir als eine Abbildung

$\mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

auf, d.h. es wird dem Paar

${}(x,y)\in \mathbb {R} \times \mathbb {R} \,$

die reelle Zahl ${}x+y$ (bzw. $x\cdot y$) zugeordnet. Eine solche Abbildung heißt eine Verknüpfung.

Definition

Eine Verknüpfung ${}\circ$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Abbildung

$\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto \circ (x,y)=x\circ y.$

Der Definitionsbereich ist also die Produktmenge von ${}M$ mit sich selbst und der Wertebereich ist ebenfalls ${}M$. Addition, Multiplikation und Subtraktion (auf ${}\mathbb {Z}$, auf ${}\mathbb {Q}$ oder auf ${}\mathbb {R}$) sind Verknüpfungen. Auf ${}\mathbb {Q}$ und ${}\mathbb {R}$ ist die Division keine Verknüpfung, da sie nicht definiert ist, wenn die zweite Komponente gleich ${}0$ ist (und schon gar nicht auf ${}\mathbb {Z}$). Allerdings ist die Division eine Verknüpfung auf ${}\mathbb {R} \setminus \{0\}$. In der nächsten Vorlesung werden wir die algebraischen Eigenschaften der Addition und der Multiplikation auf den reellen Zahlen im Begriff des „Körpers“ zusammenfassen.

Fußnoten

Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I | >> PDF-Version dieser Vorlesung Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF) (PDF englisch)