Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/10/f in a/Studentenfrage

Frage zu

„

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und sei ${}a\in \mathbb {R}$ ein Punkt. Es sei

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann heißt ${}b\in \mathbb {R}$ Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$ konvergiert. In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in ${}T$ gibt, die gegen ${}a$ konvergieren. Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}a\in I$ sei ein Punkt darin und es sei ${}T=I\setminus \{a\}$. Die Funktion sei auf ${}T$, aber nicht im Punkt ${}a$ definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man ${}f$ zu einer sinnvollen Funktion ${}{\tilde {f}}$ auf ganz ${}I$ fortsetzen kann. Dabei soll ${}{\tilde {f}}(a)$ durch ${}f$ bestimmt sein.“

Was bedeutet in dem Zusammenhang "${}f$ in ${}a$"? Also die Funktion ${}f$ im Punkt ${}a$? Ist die gesamte Definition so zu verstehen, dass ${}a$ der Grenzwert der Folge ist und ${}b$ der Grenzwert der entsprechenden Bildfolge?

Was bedeutet in der weiteren Erklärung ${}\{a\}$ und das ${}{\tilde {f}}$?

Zur Antwort, Alternative Antwort erstellen