???: Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
???: Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen
Es sei
-
eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit
stetigen Funktionen
.
Es sei eine
Stammfunktion
von und es sei
-
eine
Lösung
der zugehörigen
homogenen linearen Differentialgleichung.
Dann sind die Lösungen
(auf )
der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
-
wobei eine Stammfunktion zu ist.
Das
Anfangswertproblem
-
(mit )
besitzt eine eindeutige Lösung.
???: Lösungen für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Es sei
-
eine
Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit
stetigen Funktionen
-
und
-
wobei keine Nullstelle besitze. Es sei eine
Stammfunktion
von und eine Stammfunktion von . Weiter sei
ein Teilintervall mit
.
Dann ist eine
bijektive Funktion
auf sein Bild und die
Lösungen
dieser Differentialgleichung haben die Form
-
Wenn zusätzlich die
Anfangsbedingung
-
gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften
und
erfüllen, so ist
-
die eindeutige
Lösung des Anfangswertproblems.
???: Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz
???: Eigenschaften der Norm zu einem Skalarprodukt
???: Abstandseigenschaften
Es sei ein
Vektorraum
über mit einem
Skalarprodukt
. Dann besitzt der zugehörige
Abstand
die folgenden Eigenschaften
(dabei sind
).
- Es ist
.
- Es ist
genau dann, wenn
.
- Es ist
.
- Es ist
-
???: Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und es sei eine
Basis
von .
Dann gibt es eine
Orthonormalbasis
von mit
-
für alle
.
???: Linearform und Gradient bei Skalarprodukt
Es sei ein
euklidischer Vektorraum und
-
eine
Linearform.
Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor
mit
-
Wenn eine
Orthonormalbasis
von und
ist, so ist dieser Vektor gleich
.
???: Abgeschlossene Mengen und konvergente Folgen
???: Folgenkriterium für Stetigkeit
Es sei
-
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und und sei
ein Punkt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist
stetig
im Punkt .
- Für jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
-
ist.
- Für jede
konvergente Folge
in mit
ist auch die
Bildfolge
konvergent mit dem Grenzwert .
???: Charakterisierung stetiger Abbildungen
Es sei
-
eine
Abbildung
zwischen den
metrischen Räumen
und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- ist
stetig
in jedem Punkt
.
- Für jeden Punkt
und jedes
gibt es ein
mit der Eigenschaft, dass aus
folgt, dass
ist.
- Für jeden Punkt
und jede
konvergente Folge
in mit
ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .
- Für jede
offene Menge
ist auch das
Urbild
offen.
???: Stetigkeit linearer Abbildungen
Es sei mit der
euklidischen Metrik
versehen und sei
-
eine
lineare Abbildung.
Dann ist
stetig.
???: Stetigkeit polynomialer Funktionen
Eine
polynomiale Funktion
-
ist
stetig.
???: Differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen
???: Rechenregeln für differenzierbare Kurven
Es sei ein
reelles Intervall
und ein
euklidischer Vektorraum.
Es seien
-
zwei in
differenzierbare Kurven
und es sei
-
eine in
differenzierbare Funktion. Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Summe
-
ist in differenzierbar mit
-
- Das Produkt
-
ist differenzierbar in mit
-
Insbesondere ist für
auch differenzierbar in mit
-
- Wenn nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion
-
in differenzierbar mit
-
???: Kettenregel für differenzierbare Kurven
Es seien
und
zwei reelle Intervalle, es sei
-
eine in
differenzierbare Funktion
und es sei
-
eine in
differenzierbare Kurve
in einem
euklidischen Vektorraum
.
Dann ist auch die
zusammengesetzte Kurve
-
in differenzierbar und es gilt
-
???: Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine
differenzierbare Kurve.
Dann gibt es ein
mit
-
???: Kurvenlängensatz
Es sei ein
kompaktes Intervall
und
-
eine
stetig differenzierbare
Abbildung.
Dann ist
rektifizierbar
und für die
Kurvenlänge
gilt
-
???: Kurvenlänge eines Graphen
Es sei ein
kompaktes
Intervall
und es sei
-
eine
stetig differenzierbare
Funktion.
Dann ist die
Länge
des
Graphen
von gleich
-
???: Integralabschätzung für stetige Kurven
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine stetige Abbildung.
Dann gilt
-
???: Wegintegrale bei Umparametrisierung
Es sei
eine
offene Teilmenge,
-
ein
stetiges Vektorfeld
und
-
eine
stetig differenzierbare Kurve.
Es sei
-
eine
bijektive,
monoton wachsende,
stetig differenzierbare Funktion
und sei
.
Dann gilt
-
???: Lösungsansatz für Zentralfelder
Es sei
eine
offene Teilmenge
in einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
. Es sei
-
ein
stetiges
Zentralfeld
zur stetigen Funktion
-
Es sei
und es sei
-
eine
Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung
-
Dann ist
-
eine
Lösung des Anfangswertproblems
-
???: Differentialgleichung höherer Ordnung und Systeme
Es sei
ein
Intervall,
eine
offene Menge
und
-
eine
Funktion.
Dann ist die
Differentialgleichung höherer Ordnung
-
über die Beziehung
-
äquivalent zum
Differentialgleichungssystem
-
???: Lösungsverfahren für lineare Differentialgleichungssysteme in Dreiecksgestalt
Es sei
ein
offenes Intervall
und es liege eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
der Form
-
mit
stetigen Funktionen
und
und den Anfangsbedingungen
-
vor.
Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die
inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen,
nämlich
-
-
-
-
-
löst.
???: Lösung zu einem Eigenvektor
???: Lineare Differentialgleichungssysteme in oberer Dreiecksgestalt
Es sei
-
mit
ein
homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.
Dann gibt es eine
invertierbare Matrix
derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
-
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
-
(mit
)
ist.
Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem
Lösungsverfahren
für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen
für
gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.
???: Lösungsraum im diagonalisierbaren Fall
???: Fundamentalsystem für lineare Differentialgleichung höherer Ordnung
Es sei
-
eine lineare
gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung
mit konstanten Koeffizienten und das
charakteristische Polynom zerfalle in Linearfaktoren,
wobei die verschieden seien.
Dann bilden die Funktionen
-
ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.
???: Gramsche Matrix bei Basiswechsel (Bilinearform)
Es sei ein
Körper,
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum
und eine
Bilinearform
auf . Es seien
und
zwei
Basen
von und es seien
bzw.
die
Gramschen Matrizen
von bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen
-
die wir durch die
Übergangsmatrix
ausdrücken.
Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung
-
???: Trägheitssatz von Sylvester
???: Minorenkriterium
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis. Die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
-
seien für
von verschieden. Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
-
Dann ist vom
Typ
.
???: Minorenkriterium für Definitheit
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis und es seien die
Determinanten
der
quadratischen
Untermatrizen
-
Dann gelten folgende Aussagen.
- Genau dann ist
positiv definit,
wenn alle positiv sind.
- Genau dann ist
negativ definit,
wenn das Vorzeichen in der Folge an jeder Stelle wechselt.
???: Eigenwertkriterium für den Typ
Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis.
Dann besitzt der
Typ
der Form folgende Interpretation: ist die Summe der Dimensionen der
Eigenräume
zu zu positiven
Eigenwerten
und ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu negativen Eigenwerten.
???: Eindeutigkeit des totalen Differentials
???: (Totale) Differenzierbarkeit von Kurven
???: Stetigkeit und Differenzierbarkeit
???: Totale Differenzierbarkeit und Richtungsableitung
???: Stetige partielle Ableitungen und totale Differenzierbarkeit
Es sei
offen und
eine Abbildung. Es seien
, ,
die Koordinaten von und
ein Punkt. Es sei angenommen, dass alle
partiellen Ableitungen
von in einer
offenen Umgebung
von existieren und in
stetig
sind.
Dann ist in
(total) differenzierbar.
Ist die Abbildung bezüglich der
Standardbasis
des durch die
Koordinatenfunktionen
gegeben, so wird unter diesen Bedingungen das totale Differential in durch die
Jacobi-Matrix
-
beschrieben.
???: Die Kettenregel (Jacobimatrix)
???: Taylor-Formel
Es sei
offen,
-
eine
-mal
stetig differenzierbare
Funktion,
ein Punkt und
derart, dass
ist.
Dann gilt für alle mit
die Beziehung
-
wobei
-
ist.
???: Notwendiges Kriterium für Extrema
???: Definitheit und Extrema
???: Der Satz über die Umkehrabbildung
???: Der Satz über implizite Abbildungen