Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
In einer Familie leben
\mathl{M,P,S}{} und $T$. Dabei ist $M$ dreimal so alt wie
\mathkor {} {S} {und} {T} {}
zusammen, $M$ ist älter als $P$ und $S$ ist älter als $T$, wobei der Altersunterschied von $S$ zu $T$ doppelt so groß wie der von $M$ zu $P$ ist. Ferner ist $P$ siebenmal so alt wie $T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich $83$.
a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.
b) Löse dieses Gleichungssystem.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit $3$ Schneeglöckchen und $4$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}50}{} \euro\ und Jennifer zahlt für einen Strauß aus $5$ Schneeglöckchen und $2$ Mistelzweigen
\mathl{2{,}30}{} \euro . Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und $11$ Mistelzweigen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix}
-4 x
+6 y & = & 0 \\
5 x
+8 y & = & 0 \,
\end{matrix}} { }
nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x+y+z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {x=5,\, 2 y=3,\, 4z+w=3} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} 3 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
+4 w & = & 4 \\ 2 x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 0 \\ 4 x &
+6 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 2 \\ x &
+3 y &
+5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 3 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+2 y &
+3 z &
+4 w & = & 1 \\ 2 x &
+3 y &
+4 z &
+5 w & = & 7 \\ x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x &
+5 y &
+5 z &
+ w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gibt es eine Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c)
}
{ \in }{ \Q^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 11\\2 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 2 \\2\\ 12\\3 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 20\\7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 20\\5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Beispiel 21.1?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu jedem \definitionsverweis {linearen Gleichungssystem}{}{} über $\Q$ ein dazu \definitionsverweis {äquivalentes}{}{} Gleichungssystem mit der Eigenschaft gibt, dass alle Koeffizienten ganzzahlig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bringe das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-4+5y
}
{ =} {8z+7x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2-4x+z
}
{ =} { 2y+3x+6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z-3x +2x +3
}
{ =} { 5x-11y+2z-8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
in Standardgestalt und löse es.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.
}
{} {}
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante, der schon im Kontext der Differentialrechnung aufgetaucht ist.
Zu einer auf einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierten Funktion
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
und zwei verschiedenen Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt die Gerade durch
\mathkor {} {(a,f(a))} {und} {(b,f(b))} {}
die
\definitionswort {Sekante}{}
von $f$ an
\mathkor {} {a} {und} {b} {.}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {-x^3+x^2+2
} {,}
zu den Stellen
\mathbed {3} {und}
{4} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,0)} {} {(0,1,2)} {und} {(2,3,4)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde zu einer
\definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} {a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
{ \mathrm i} x &+y & +(2- { \mathrm i})z & = & 2 \\ & 7y& +2 { \mathrm i} z &=& -1+3 { \mathrm i} \\ & & (2-5 { \mathrm i}) z &=& 1 \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ der in
Beispiel 4.4
eingeführte
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit zwei Elementen. Löse in $K$ das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
x &+y & & = & 1 \\ & y& +z &=& 0 \\ x& +y & +z &=& 0 \, .
\end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene \definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{} nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem \definitionsverweis {äquivalent}{}{} sein muss.
}
{} {}
In den folgenden vier Aufgaben geht es insbesondere darum, ein für die Aufgabenstellung angemessenes Lösungsverfahren zu finden und durchzuführen.
\inputaufgabe
{}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} &
+7 y &
+3 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 4 \\ x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+4 w & = & 9 \\ &
-3 y &
-5 z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 2 \\ -2 x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+3 w & = & 3 \, \end{matrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7y
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4z
}
{ =} {8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2u-3v
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{6x-3y+2z-11u-v+5w
}
{ =} {17
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4u-5v
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z
}
{ =} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3x-67y+14z-123u-51w
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8x-11y+12z-27u-65w
}
{ =} {51
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{66x-67y-77z-u+100w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{8x-11y+12z-27u-65w
}
{ =} {-15
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-301x+44y+33z-31u-18w
}
{ =} {571
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme in Abhängigkeit vom Parameter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
den Lösungsraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_a
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
des linearen Gleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5 x +a y + (1-a) z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2a x +a^2 y + 3 z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+y
}
{ \leq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben. Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3punktsmodell.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 3punktsmodell.svg } {} {Indolences} {Commons} {gemeinfrei} {.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_1x+b_1y
}
{ \geq} {c_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_2x+b_2y
}
{ \geq} {c_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_3x+b3y
}
{ \geq} {c_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein lineares Ungleichungssystem, dessen Lösungsmenge ein Dreieck sei. Wie sieht die Lösungsmenge aus, wenn man in jeder Ungleichung $\geq$ durch $\leq$ ersetzt?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+2 y &
+3 z &
+4 w & = & 1 \\ 2 x &
+3 y &
+4 z &
+5 w & = & 7 \\ x &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ z &
\, \, \, \, \, \, \, \, & = & 9 \\ x &
+5 y &
+5 z &
+ w & = & 0 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Löse das lineare Gleichungssystem in den Variablen
\mathl{x_1,x_2 , \ldots , x_{10}}{,} das durch die beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 +x_2+x_3 +x_4+x_5+x_6+x_7+x_8+x_9 +x_{10}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1 -x_2+x_3 - x_4+x_5-x_6+x_7-x_8+x_9- x_{10}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte im $\R^3$ die beiden Ebenen
\mathdisp {E = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 3x+4y+5z = 2 \right\} } \text{ und } F = { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid 2x-y+3z = -1 \right\} }} { . }
Bestimme die Schnittgerade $E \cap F$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im $\R^3$, auf der die drei Punkte \mathlistdisp {(1,0,2)} {} {(4,-3,2)} {und} {(2,1,-1)} {} liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix}
2 x &-ay & & = & -2 \\
ax & & +3 z &=& 3 \\
-{ \frac{ 1 }{ 3 } }x & +y & + z &=& 2
\end{matrix}} { }
über den
\definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{}
in Abhängigkeit von
\mathl{a \in \R}{.} Für welche
\mathl{a}{} besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass ein lineares Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ax+by
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{cx+dy
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann nur die triviale Lösung
\mathl{(0,0)}{} besitzt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ad-bc
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4 (2+2)}
{
Ein
\definitionsverweis {lineares Ungleichungssystem}{}{}
sei durch die Ungleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y+x
}
{ \geq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1-y
}
{ \leq} {-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5y -2x
}
{ \geq} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
gegeben.
a) Skizziere die Lösungsmenge dieses Ungleichungssystems.
b) Bestimme die Eckpunkte der Lösungsmenge.
}
{} {}