Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 23/latex

\setcounter{section}{23}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Drücke in ${\mathbb C}^2$ den Vektor
\mathdisp {(1,0)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(3+5 { \mathrm i} ,-3+2{ \mathrm i} ) \text{ und } (1-6{ \mathrm i} ,4-{ \mathrm i} )} { }
aus.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Beweise folgende Aussagen. \aufzaehlungzwei {Zu einer Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} von Elementen in $V$ ist der \definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{} ein Untervektorraum. } {Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i\in I \rangle }
{ =} { V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mathbed {w_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine weitere Familie von Vektoren in $V$. Dann gilt für die \definitionsverweis {aufgespannten Untervektorräume}{}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i \in I \rangle }
{ \subseteq }{ \langle w_j ,\, j \in J \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_i }
{ \in }{ \langle w_j ,\, j \in J \rangle }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ ist und dass sich $w$ als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein Erzeugendensystem von $V$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten im $\Q^3$ die \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 11 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 4 \\3\\ 0\\2 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\7\\ 0\\-1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 \\1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-5\\ 8 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe im $\R^3$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungsechs{Wenn die Familie \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J }
{ \subseteq }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Familie
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig. }{Die leere Familie ist linear unabhängig. }{Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig. }{Ein Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Zwei Vektoren \mathkor {} {v} {und} {u} {} sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei
\mathbed {\lambda_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} \zusatzklammer {ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$} {} {} ist, wenn dies für die Familie
\mathbed {\lambda_i v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme eine \definitionsverweis {Basis}{}{} für den \definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+7 { \mathrm i} \\3- { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 15+26 { \mathrm i} \\13-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \in K^n} { }
ein von $0$ verschiedener Vektor. Man finde ein \definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{} in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher \definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n }
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$. }{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[X]$ der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad
\mathl{\leq d}{} ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} von
\mathl{K[X]}{} ist. Was ist seine \definitionsverweis {Dimension}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge aller reellen \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) } }
{ = }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( W \right) } }
{ = }{ m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Welche Dimension besitzt der \definitionsverweis {Produktraum}{}{} $V \times W$?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über den \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{,} und sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n \text{ und } { \mathrm i} v_1 , \ldots , { \mathrm i} v_n} { }
eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} mit $q$ Elementen und sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{v_1,v_2,v_3, \ldots}{} eine Aufzählung \zusatzklammer {ohne Wiederholung} {} {} der Elemente aus $V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ sind?

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Drücke in $\Q^3$ den Vektor
\mathdisp {(2,5,-3)} { }
als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren
\mathdisp {(1,2,3), (0,1,1) \text{ und } (-1,2,4)} { }
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten im $\Q^4$ die \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\1\\ -5\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\-2\\ 4\\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3\\2 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W }
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\-1\\ 2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\-2\\ -2\\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\2\\ -1\\10 \end{pmatrix} \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ = }{W }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-7 { \mathrm i} \\-3+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 5+6 { \mathrm i} \\3-17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine \definitionsverweis {Basis}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $\Q^n$ der $n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{} Standardraum über $\Q$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n }
{ \in }{\Q^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Familie von $n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine $\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{} des $\Q^n$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im $\R^n$ eine $\R$-Basis des $\R^n$ bildet.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die Menge aller reellen \definitionsverweis {Polynome}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ =} {\langle v_i ,\, i = 1 , \ldots , m \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der davon \definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass die Familie genau dann \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Dimension}{}{} von $U$ gleich $m$ ist.

}
{} {}