Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 7/latex

\setcounter{section}{7}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Für die Zahl
\mathl{1000 000 \pi}{} soll eine rationale Approximation gefunden werden, die vom wahren Wert um höchstens ${ \frac{ 1 }{ 1000 } }$-stel abweicht. Wie gut muss eine Approximation für $\pi$ sein, dass man daraus eine solche gewünschte Approximation erhalten kann?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Was hat die Din-Norm für Papier mit Wurzeln zu tun?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ = }{ 2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{7 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch \zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine positive reelle Zahl und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} die \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{} zur Berechnung von $\sqrt{c}$ mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_0 }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{c \cdot u^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_0 }
{ = }{ u x_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }}{} die Heron-Folge zur Berechnung von $\sqrt{d}$ mit dem Startwert $y_0$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ =} {u x_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 2 }{ 3n+5 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } } , \, { \frac{ 1 }{ 10000 } } , \ldots }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} ab welchem \zusatzklammer {minimalen} {} {} $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine \definitionsverweis {reelle Folge}{}{.} Zeige, dass die Folge genau dann gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} wenn es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0 }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ n_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n-x } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ k } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Negiere die Aussage, dass eine Folge
\mathl{x_n}{} in $\R$ gegen $x$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{,} durch Umwandlung der Quantoren.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { { \frac{ 1 }{ n^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegebene \definitionsverweis {Folge}{}{} \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} auf \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Jemand sagt zur Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq }{ { \frac{ n }{ 2n } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \anfuehrung{Der Zähler und der Nenner gehen hier beide gegen unendlich. Doch der Nenner geht deutlich schneller gegen unendlich, deshalb konvergiert die Folge gegen $0$}{.} Beurteile diese Argumentation.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man untersuche ob die folgenden Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {beschränkt}{}{} sind oder nicht. \aufzaehlungneun{ $\N$, }{ $\left \{\frac{1}{2},\frac{-3}{7} , \frac{-4}{9} , \frac{5}{9} , \frac{6}{13} , \frac{-1}{3}, \frac{1}{4} \right \}$, }{ $]{-5}, 2]$, }{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} }$, }{ ${ \left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \N_+ \right\} } \cup \{0\}$, }{ $\Q_-$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \leq 2 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x \in \Q \mid x^2 \geq 4 \right\} }$, }{ ${ \left\{ x^2 \mid x \in \Z \right\} }$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ > }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {reelle Zahl}{}{.} Zeige, dass die Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq }{x^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {beschränkt}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine reelle Nullfolge und ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ eine beschränkte reelle Folge. Zeige, dass dann auch die Produktfolge $( x_n y_n)_{n \in \N}$ eine Nullfolge ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {} zwei \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \geq }{ y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n }
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }, \, { \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} drei \definitionsverweis {reelle Folgen}{}{.} Es gelte $x_n \leq y_n \leq z_n \text{ für alle } n \in \N$ und \mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( z_n \right) }_{n \in \N }} {} \definitionsverweis {konvergieren}{}{} beide gegen den gleichen Grenzwert $a$. Zeige, dass dann auch ${ \left( y_n \right) }_{n \in \N }$ gegen $a$ konvergiert.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente Folge}{}{} reeller Zahlen mit \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$. Zeige, dass dann auch die Folge
\mathdisp {{ \left( \betrag { x_n } \right) }_{ n \in \N }} { }
konvergiert, und zwar gegen $\betrag { x }$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} { \begin{cases} 1,\, \text{ falls } n \text{ eine Primzahl ist} \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. \aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_{117}}{} und
\mathl{x_{127}}{.} } {Konvergiert die Folge in $\Q$? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise durch Induktion die \stichwort {Binet-Formel} {} für die \definitionsverweis {Fibonacci-Zahlen}{}{.} Diese besagt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f_n }
{ =} { \frac{ { \left( \frac{1+\sqrt{5} }{2} \right) }^n - { \left( \frac{1-\sqrt{5} }{2} \right) }^n}{\sqrt{5} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3,x_4$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $7$ zum Startwert $x_0=2$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Man entwerfe ein Computer-Programm \zusatzklammer {Pseudocode} {} {} zur Berechnung von rationalen Approximationen der Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl mittels der \definitionsverweis {Heron-Folge}{}{.} \auflistungsechs{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können. }{Der Computer kann natürliche Zahlen miteinander vergleichen \zusatzklammer {und abhängig vom Vergleichsergebnis zu Befehlen springen} {} {.} }{Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken. }{Es gibt einen Haltebefehl. } Die Anfangskonfiguration sei
\mathdisp {(a,b,c,d,e,0,0, \ldots )} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,c,e }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dabei ist
\mathl{a/b}{} die Zahl, von der die Quadratwurzel berechnet werden soll,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0 }
{ = }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist das Startglied und
\mathl{d/e}{} ist die gewünschte Genauigkeit. Das Programm soll die Heron-Folge
\mathl{x_0,x_1,x_2 ,\ldots}{} ausrechnen und ausdrucken \zusatzklammer {und zwar wird der Zähler und der Nenner hintereinander ausgedruckt} {} {} und es soll anhalten, wenn das zuletzt ausgedruckte Folgenglied $x_n$ die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n^2 - { \frac{ a }{ b } } } }
{ \leq} { { \frac{ d }{ e } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {Achtung! Alle Operationen sind innerhalb von $\N$ auszuführen!}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme für die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 2n+1 }{ 3n-4 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10 } } , \, { \frac{ 1 }{ 100 } } , \, { \frac{ 1 }{ 1000 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} ab welchem \zusatzklammer {minimalen} {} {} $n$ die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_n - { \frac{ 2 }{ 3 } } } }
{ \leq} { \epsilon }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Es sei ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ eine \definitionsverweis {konvergente}{}{} \definitionsverweis {reelle Folge}{}{} mit \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} $x$. Zeige, dass dann auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y_n }
{ \defeq} { \frac{ x_0 + x_1 + \cdots + x_n }{n+1} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definierte Folge gegen $x$ konvergiert.

}
{} {Tipp: reduziere zuerst auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mathdisp {{ \left( \frac{n}{2^n} \right) }_{ n \in \N }} { }
gegen $0$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {Tipp: Finde eine geeignete Abschätzung für $2^n$ mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes.}




\inputaufgabe
{5}
{

Es seien $(x_n)_{n \in \N}$ und $(y_n)_{n \in \N}$ Folgen reeller Zahlen und sei die Folge $(z_n)_{n \in \N}$ definiert durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_{2n-1} }
{ \defeq }{ x_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_{2n} }
{ \defeq }{ y_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $(z_n)_{n \in \N}$ genau dann konvergiert, wenn $(x_n)_{n \in \N}$ und $(y_n)_{n \in \N}$ gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

}
{} {}