Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 38/latex
\setcounter{section}{38}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Länge}{}{}
der
\definitionsverweis {affin-linearen}{}{}
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
\maabbeledisp {} {[a,b]} {\R^n
} {t} {tv+w
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Kurve}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {rektifizierbar}{}{}
ist, wenn die beiden Einschränkungen von $f$ auf
\mathl{[a,c]}{} und auf
\mathl{[c,b]}{} rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_a^b(f)
}
{ =} { L_a^c(f) + L_c^b(f)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-5x^2+3x-2 } {,} von $-5$ nach $5$.
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Helix2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Helix2.png } {} {Siebrand} {nl Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Länge}{}{}
der durch
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^3
} {t} {(\cos t,\sin t,t)
} {,}
gegebenen
\betonung{Schraubenlinie}{} für $t$ zwischen
\mathkor {} {0} {und} {b} {,}
wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \R_{\geq 0}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die Länge der archimedischen Spirale
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} {\left( t \cos t , \, t \sin t \right)
} {,}
für die Umdrehung zwischen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{2 \pi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {Neilschen Parabel}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(t^2,t^3) } {,} von \mathkor {} {0} {bis} {b} {,} wobei $b \in \mathbb{R}_{>0}$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Länge}{}{}
des
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
des
\definitionsverweis {cosinus hyperbolicus}{}{}
\mathl{\cosh t}{} von
\mathkor {} {a} {nach} {b} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die Länge des Graphen der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2-x+13 } {,} zwischen \mathkor {} {4} {und} {8} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die differenzierbare Kurve \maabbeledisp {f} {[0, \pi]} { \R^2 } {t} {(t, \sin t) } {.}
a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge $L$ dieser Kurve die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ \leq} { \sqrt{2} \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die reelle Ebene $\R^2$ ohne den offenen Kreis mit Mittelpunkt $M=(0,0)$ und Radius $3$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid \sqrt{x^2+y^2} \geq 3 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine Person befindet sich im Punkt
\mathl{A=(5,0)}{} und möchte zum Punkt
\mathl{B=(-5,0)}{,} wobei sie sich nur in $T$ bewegen darf.
a) Zeige, dass die Person von $A$ nach $B$ entlang von zwei geraden Strecken kommen kann, deren Gesamtlänge $12,5$ ist.
b) Zeige, dass die Person von $A$ nach $B$ entlang eines stetigen Weges kommen kann, dessen Gesamtlänge maximal $11,9$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass $f$ genau dann
\definitionsverweis {rektifizierbar}{}{}
ist, wenn sämtliche
\definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{}
rektifizierbar sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {bijektiven Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {[0,1]} {[0,1] \subseteq \R
} {,}
die
\definitionsverweis {rektifizierbar}{}{}
ist, deren Länge aber
\mathl{> 1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {bijektiven Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {[0,1]} {[0,1] \subseteq \R } {,} die nicht \definitionsverweis {rektifizierbar}{}{} ist.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben diskutieren, inwiefern höherdimensional ein \anfuehrung{Mittelwertsatz}{} gelten kann.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
mit
\mathl{f(a) \neq f(b)}{.} Zeige, dass es kein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart geben muss, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c)
}
{ =} {s \cdot { \left( f(b)-f(a) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathbed {s \in \R} {}
{s \neq 0} {}
{} {} {} {,}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
mit
\mathl{f'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in [a,b]}{} und mit
\mathl{f(a) \neq f(b)}{.} Zeige, dass es kein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart geben muss, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c)
}
{ =} {s \cdot { \left( f(b)-f(a) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mathbed {s \in \R} {}
{s > 0} {}
{} {} {} {,}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^3
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
mit
\mathl{f'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in [a,b]}{} und mit
\mathl{f(a) \neq f(b)}{.} Zeige, dass es kein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart geben muss, dass
\mathkor {} {f'(c)} {und} {f(b)-f(a)} {}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabb {h} {I} {V
} {}
eine zweimal differenzierbare Kurve in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h'(t)
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert { h'(t)} \Vert'
}
{ =} { { \frac{ \left\langle h'(t) , h^{\prime \prime} (t) \right\rangle }{ \left\langle h'(t) , h'(t) \right\rangle } } \Vert { h'(t)} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Zykloide aus
Beispiel 38.14,
also die
\definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R^2
} {t} { (x(t),y(t)) = (t- \sin t , 1- \cos t )
} {.}
\aufzaehlungvier{Zeige, dass
\mathl{x(t)}{}
\definitionsverweis {streng wachsend}{}{}
ist.
}{Zeige, dass
\maabbeledisp {x} {[0,2 \pi]} { [0,2\pi ]
} {t} { x(t)
} {,}
bijektiv ist.
}{Es sei
\mathl{h(x)}{} die Umkehrfunktion zu $x(t)$ aus Teil (2). Zeige, dass $h$ in
\mathkor {} {0} {und in} {2 \pi} {}
nicht
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist.
}{Drücke $y(t)$ als Funktion von $x$ aus. Wie verhält sich der Graph zu dieser Funktion zu der Zykloide? Ist diese Funktion differenzierbar?
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt $0$ von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit $v$ abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve
\mathl{f(t)}{} des Körpers und die zurückgelegte Strecke
\mathl{s(t)}{} in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne die \definitionsverweis {Länge}{}{} des \definitionsverweis {Graphen}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ 3 } } x^2-4x+11 } {,} zwischen \mathkor {} {2} {und} {9} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Länge}{}{} der \definitionsverweis {differenzierbaren Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {t} { { \left( { \frac{ t^3 }{ 3 } }, { \frac{ 4t^5 }{ 5 } } , { \frac{ 8t^7 }{ 7 } } \right) } } {,} von \mathkor {} {a} {nach} {b} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Länge}{}{}
des
\definitionsverweis {Graphen}{}{}
der
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
\mathl{\exp t}{} von
\mathkor {} {a} {nach} {b} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (3+2)}
{
Person $A$ befindet sich im Punkt
\mathl{(0,-5)}{} und will nach
\mathl{(0,5)}{.} Im Punkt
\mathl{(0,0)}{} befindet sich eine weitere unbewegliche Person $B$. Da die Abstandsregel von $2$ einzuhalten ist, muss $A$ um $B$ herumlaufen.
\aufzaehlungzwei {Was ist die minimale Länge eines Weges, mit dem $A$ an ihr Ziel gelangt?
} {Man gebe eine Parametrisierung dieses kürzesten Weges an, wobei die Geschwindigkeit konstant gleich $1$ sein soll.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{8}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
mit
\mathl{f'(t) \neq 0}{} für alle
\mathl{t \in [a,b]}{.} Zeige, dass es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} derart gibt, dass
\mathkor {} {f'(c)} {und} {f(b)-f(a)} {}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}
{} {}