Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex

\setcounter{section}{42}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \sin t & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\sin t \\t^5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne zum Vektorfeld \maabbeledisp {F} { { \left( \R \setminus \{0\} \right) } \times \R^2} {\R^2 } { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { F(t,x,y) = \begin{pmatrix} x \sin t - \sin t \\ { \frac{ y }{ t } } +t^5 \end{pmatrix} } {} aus Aufgabe 42.1 das transformierte Vektorfeld zur durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}}{} gegebenen linearen Abbildung $\varphi$. Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t & 1-t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen \zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{t }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & t^3-t \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t^2-t+5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{} und seien \maabbdisp {f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}} {I} { \R } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_{11}(t)f_{22}(t)- f_{21}(t)f_{12}(t) }
{ \neq} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ f'_{11} f_{22} -f'_{12} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f'_{11} f_{12} + f'_{12} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \\ { \frac{ f'_{21} f_{22} - f'_{22} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f_{12} f'_{21} + f'_{22} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass sowohl
\mathl{\begin{pmatrix} f_{11} \\f_{21} \end{pmatrix}}{} als auch
\mathl{\begin{pmatrix} f_{12} \\f_{22} \end{pmatrix}}{} Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(t) }
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen \maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R } {} seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det { \left( M(t) \right) } }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t }
{ \in }{ I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v' }
{ = }{Mv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Nulllösung ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {Mv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{} auf
\mathl{I \times \R^n}{} \zusatzklammer {$I$ ein reelles Intervall} {} {} mit einer Funktionenmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t) }
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein \definitionsverweis {Zentralfeld}{}{} sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t) }
{ =} { \varphi(t) \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer geeigneten Funktion \maabbdisp {\varphi} {I} {\R } {} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{M(t)=(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}}{} eine \zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge Funktionen \maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R } {} seien. Es sei
\mathl{u \in \R^n}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ für alle
\mathl{t \in I}{.} Zeige, dass
\mathl{e^{\lambda t} \cdot u}{} eine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mathl{v'=Mv}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M(t) }
{ = }{ (a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen \maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R } {} seien. Es sei
\mathl{u \in \R^n}{} ein \zusatzklammer {konstanter} {} {} Eigenvektor von $M(t)$ zum \zusatzklammer {variablen, von $t$ differenzierbar abhängigen} {} {} Eigenwert $\lambda(t)$. Zeige durch ein Beispiel, dass
\mathl{e^{\lambda(t) t} \cdot u}{} keine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v' }
{ = }{Mv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein muss.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(t) }
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen \maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R } {} seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u(t) }
{ \in }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \zusatzklammer {variabler, von $t$ differenzierbar abhängiger} {} {} Eigenvektor von $M(t)$ zum konstanten Eigenwert $\lambda$. Zeige durch ein Beispiel, dass
\mathl{e^{\lambda t} \cdot u(t)}{} keine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v' }
{ = }{Mv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v' }
{ = }{Mv }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{} auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und \maabb {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die transformierte Differentialgleichung auf $W$ ebenfalls linear ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Löse mit einem \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t^2-1 & t^3+t+2 \\ t+3 & t^2+t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} (0) }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bis zur fünften Ordnung.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$ und $D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator\zusatzfussnote {Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator} {.} {} \maabbeledisp {D} {M} {M } {f} {D(f) = f' } {.} Zu einem Polynom
\mathl{P \in \R[X]}{,}
\mathl{P=a_nX^n + \cdots + a_2X^2+ a_1 X +a_0}{,} betrachten wir den Operator \maabbeledisp {P(D)} {M } {M } {f} { (P(D))(f) = a_nD^n(f) + \cdots + a_2D^2(f) + a_1D (f) + a_0 f } {.} Berechne $(P(D))(f)$ für
\mathl{P=2X^3-4X^2+7X-3}{} und
\mathl{f=x^4, e^x, e^{2x}, \sin x}{.} Zeige, dass $P(D)$ eine lineare Abbildung auf $M$ ist.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\lambda \in \R}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der Differentialoperator
\mathl{(D- \lambda)^n}{} die Funktionen
\mathl{x^j e^{\lambda x }}{} mit
\mathl{0 \leq j < n}{} auf die Nullfunktion abbildet.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme alle Lösungen des \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & -t^2-3t+4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{8 (2+2+4)}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z(t) }
{ = }{ x^2(t)+y^2(t) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu einer Lösung
\mathl{(x,y)}{} erfüllen muss. }{Finde eine Lösung für $z(t)$ aus Teil (1). }{Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems. }

}
{} {Bemerkung: Im ersten und zweiten Teil wird untersucht, wie sich bei einer Lösung des Systems der Abstand zum Nullpunkt \zusatzklammer {bzw. dessen Quadrat} {} {} verhält. Es liegt nahe, sich für den dritten Teil zu überlegen, wie sich bei einer Lösung der Winkel zur $x$-Achse verhält \zusatzklammer {Polarkoordinaten} {} {.}}




\inputaufgabe
{4}
{

Finde eine nichttriviale Lösung \zusatzklammer {für \mathlk{t>1}{}} {} {} zum \definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 4t^4 -1 }{ t^5-t } } & { \frac{ -3t }{ t^4 - 1 } } \\ { \frac{ -t }{ t^4 - 1 } } & { \frac{ 3t^4-2 }{ t^5-t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit Hilfe von Aufgabe 42.8.

}
{} {}


Die für
\mathbed {t \in \R} {}
{-1 < t< 1} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n\in \N}{} definierte \definitionsverweis {lineare Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} - \frac{2t}{1-t^2}y'+ \frac{n(n+1)}{1-t^2} y =0} { }
heißt \definitionswort {Legendresche Differentialgleichung}{} zum Parameter $n$.





\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass das $n$-te \stichwort {Legendre-Polynom} {\zusatzfussnote {Hier bedeutet das hochgestellte \mathlk{(n)}{} die $n$-te Ableitung} {.} {}}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2^n (n!) } } ((t^2-1)^n)^{(n)}} { }
eine Lösung der \definitionsverweis {Legendreschen Differentialgleichung}{}{} zum Parameter $n$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Löse mit einem \definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{} das \definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} t & t^2 \\ t^3 & t^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^5 \\t^6 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} (0) }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} bis zur sechsten Ordnung.

}
{} {}