Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex
\setcounter{section}{42}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sin t & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\sin t \\t^5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zum Vektorfeld
\maabbeledisp {F} { { \left( \R \setminus \{0\} \right) } \times \R^2} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { F(t,x,y) = \begin{pmatrix} x \sin t - \sin t \\ { \frac{ y }{ t } } +t^5 \end{pmatrix}
} {}
aus
Aufgabe 42.1
das
transformierte Vektorfeld
zur durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix}}{} gegebenen linearen Abbildung $\varphi$. Bestimme die Lösungen zu diesem transformierten Vektorfeld.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} t & 1-t \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{t
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & t^3-t \\ 0 & { \frac{ 1 }{ t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & t^2-t+5 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reelles Intervall}{}{}
und seien
\maabbdisp {f_{11},f_{12},f_{21},f_{22}} {I} { \R
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_{11}(t)f_{22}(t)- f_{21}(t)f_{12}(t)
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ f'_{11} f_{22} -f'_{12} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f'_{11} f_{12} + f'_{12} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \\ { \frac{ f'_{21} f_{22} - f'_{22} f_{21} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } & { \frac{ -f_{12} f'_{21} + f'_{22} f_{11} }{ f_{11} f_{22} - f_{21} f_{12} } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass sowohl
\mathl{\begin{pmatrix} f_{11} \\f_{21} \end{pmatrix}}{} als auch
\mathl{\begin{pmatrix} f_{12} \\f_{22} \end{pmatrix}}{} Lösungen des Differentialgleichungssystems sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(t)
}
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {variable} {} {}
$n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
\maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R
} {}
seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \det { \left( M(t) \right) }
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die einzige konstante Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Nulllösung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{}
auf
\mathl{I \times \R^n}{}
\zusatzklammer {$I$ ein reelles Intervall} {} {}
mit einer Funktionenmatrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein
\definitionsverweis {Zentralfeld}{}{}
sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ =} { \varphi(t) \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer geeigneten Funktion
\maabbdisp {\varphi} {I} {\R
} {}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M(t)=(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}}{} eine
\zusatzklammer {variable} {} {} $n \times n$-Matrix, deren Einträge Funktionen
\maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R
} {} seien. Es sei
\mathl{u \in \R^n}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda$ für alle
\mathl{t \in I}{.} Zeige, dass
\mathl{e^{\lambda t} \cdot u}{} eine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mathl{v'=Mv}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M(t)
}
{ = }{ (a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {variable} {} {}
$n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
\maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R
} {}
seien. Es sei
\mathl{u \in \R^n}{} ein
\zusatzklammer {konstanter} {} {}
Eigenvektor von $M(t)$ zum \zusatzklammer {variablen, von $t$ differenzierbar abhängigen} {} {}
Eigenwert $\lambda(t)$. Zeige durch ein Beispiel, dass
\mathl{e^{\lambda(t) t} \cdot u}{} keine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M(t)
}
{ =} {(a_{ij}(t))_{1 \leq i,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\zusatzklammer {variable} {} {}
$n \times n$-Matrix, deren Einträge stetige Funktionen
\maabbdisp {a_{ij}} {I} {\R
} {}
seien. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u(t)
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\zusatzklammer {variabler, von $t$ differenzierbar abhängiger} {} {}
Eigenvektor von $M(t)$ zum konstanten Eigenwert $\lambda$. Zeige durch ein Beispiel, dass
\mathl{e^{\lambda t} \cdot u(t)}{} keine Lösung der linearen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {lineares Differentialgleichungssystem}{}{}
auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ und
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {bijektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass die
transformierte Differentialgleichung
auf $W$ ebenfalls linear ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse mit einem
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} t^2-1 & t^3+t+2 \\ t+3 & t^2+t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} (0)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bis zur fünften Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die Menge aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $\R$ nach $\R$ und $D$ die Ableitung, aufgefasst als Operator\zusatzfussnote {Eine Abbildung, die Funktionen in Funktionen überführt, nennt man häufig Operator} {.} {}
\maabbeledisp {D} {M} {M
} {f} {D(f) = f'
} {.}
Zu einem Polynom
\mathl{P \in \R[X]}{,}
\mathl{P=a_nX^n + \cdots + a_2X^2+ a_1 X +a_0}{,} betrachten wir den Operator
\maabbeledisp {P(D)} {M } {M
} {f} { (P(D))(f) = a_nD^n(f) + \cdots + a_2D^2(f) + a_1D (f) + a_0 f
} {.}
Berechne $(P(D))(f)$ für
\mathl{P=2X^3-4X^2+7X-3}{} und
\mathl{f=x^4, e^x, e^{2x}, \sin x}{.} Zeige, dass $P(D)$ eine lineare Abbildung auf $M$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{\lambda \in \R}{} und
\mathl{n \in \N_+}{.} Zeige, dass der
Differentialoperator
\mathl{(D- \lambda)^n}{} die Funktionen
\mathl{x^j e^{\lambda x }}{} mit
\mathl{0 \leq j < n}{} auf die Nullfunktion abbildet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme alle Lösungen des
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} -2 & -t^2-3t+4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{8 (2+2+4)}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} \cos t & - \sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Differentialgleichung in einer Variablen, die die Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z(t)
}
{ = }{ x^2(t)+y^2(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer Lösung
\mathl{(x,y)}{} erfüllen muss.
}{Finde eine Lösung für $z(t)$ aus Teil (1).
}{Finde eine nichttriviale Lösung des Differentialgleichungssystems.
}
}
{} {Bemerkung: Im ersten und zweiten Teil wird untersucht, wie sich bei einer Lösung des Systems der Abstand zum Nullpunkt
\zusatzklammer {bzw. dessen Quadrat} {} {}
verhält. Es liegt nahe, sich für den dritten Teil zu überlegen, wie sich bei einer Lösung der Winkel zur $x$-Achse verhält
\zusatzklammer {Polarkoordinaten} {} {.}}
\inputaufgabe
{4}
{
Finde eine nichttriviale Lösung
\zusatzklammer {für \mathlk{t>1}{}} {} {}
zum
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 4t^4 -1 }{ t^5-t } } & { \frac{ -3t }{ t^4 - 1 } } \\ { \frac{ -t }{ t^4 - 1 } } & { \frac{ 3t^4-2 }{ t^5-t } } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe von
Aufgabe 42.8.
}
{} {}
Die für
\mathbed {t \in \R} {}
{-1 < t< 1} {}
{} {} {} {,} und ein
\mathl{n\in \N}{} definierte
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichung}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} - \frac{2t}{1-t^2}y'+ \frac{n(n+1)}{1-t^2} y =0} { }
heißt \definitionswort {Legendresche Differentialgleichung}{} zum Parameter $n$.
\inputaufgabe
{5}
{
Zeige, dass das $n$-te \stichwort {Legendre-Polynom} {\zusatzfussnote {Hier bedeutet das hochgestellte \mathlk{(n)}{} die $n$-te Ableitung} {.} {}}
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 2^n (n!) } } ((t^2-1)^n)^{(n)}} { }
eine Lösung der
\definitionsverweis {Legendreschen Differentialgleichung}{}{}
zum Parameter $n$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Löse mit einem
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} t & t^2 \\ t^3 & t^4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^5 \\t^6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} (0)
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bis zur sechsten Ordnung.
}
{} {}