Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 50/latex
\setcounter{section}{50}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}}{} ein
\definitionsverweis {Monom}{}{}
und es sei
\mathl{D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n}}{} eine Hintereinanderschaltung von
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D_i
}
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ > }{ r_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $j$ ist.
} {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) }
}
{ =} { { \frac{ r_1! \cdots r_n! }{ (r_1-s_1) ! \cdots (r_n-s_n)! } } X_1^{r_1-s_1} \cdots X_n^{r_n-s_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ \leq }{ r_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n}}{} ein
\definitionsverweis {Monom}{}{}
und es sei
\mathl{D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n}}{} eine Hintereinanderschaltung von
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D_i
}
{ = }{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{s_1} \cdots D_n^{s_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } \left( 0 , \, \ldots , \, 0 \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
falls
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_j
}
{ \neq }{ r_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für ein $j$ ist.
} {Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( D_1^{r_1} \cdots D_n^{r_n} \right) } { \left( X_1^{r_1} \cdots X_n^{r_n} \right) } \left( 0 , \, \ldots , \, 0 \right)
}
{ =} { r_1! \cdots r_n!
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
Satz 50.1
für
\mathl{f(x,y)=x^ay^b}{} in
\mathl{(0,0)}{} und
\mathl{v=(2,3)}{} bis zur dritten Ableitung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^2} {\R } {(x,y)} {x^2 -y \cdot \sin x } {,}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {f(x,y) = e^{x-y^2}
} {,}
im Punkt
\mathl{(1,1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} {f(x,y,z) = e^{x } yz^2 -xy
} {,}
im Punkt
\mathl{(1,0,-1)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {f(x,y) = e^{ \sin x - \cos y }
} {,}
im Punkt
\mathl{\left( 0 , \, { \frac{ \pi }{ 2 } } \right)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Notiere das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
für eine
\zusatzklammer {hinreichend oft
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}} {} {} Funktion in
\mathkor {} {2} {oder} {3} {}
Variablen für die Grade
\mathl{k=1,2,3}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vierter Ordnung der Funktion \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x,y) = x \sin y - e^{ xy } } {,} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {x^2y-3xy+5y^2+4x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ im Punkt
\mathl{P=(1,-2)}{} algebraisch
\zusatzklammer {d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen
\mathl{u=x-1,v=y+2}{} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab} {} {}
und über Ableitungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $f$ ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
in $n$ Variablen vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass $f$ mit dem
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vom Grad
\mathl{\leq k}{} von $f$ im Nullpunkt übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}}{} ein
\definitionsverweis {Monom}{}{}
vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \, r \, }
}
{ = }{ \sum_{j = 1}^n r_j
}
{ > }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n} }{ \Vert {x} \Vert^k } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {G} {\R
} {}
zwei zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{.}
Zeige durch ein Beispiel, dass das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
zum Produkt $fg$ im Punkt $P$ vom Grad $\leq 2$ nicht das Produkt der beiden Taylor-Polynome von
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
in
\mathl{P}{} vom Grad $\leq 1$ sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\maabbdisp {R} {G} {\R} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, falls für eine Konstante
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle $v$ in einer
\definitionsverweis {offenen Umgebung}{}{}
von $0$ die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {R(v)} \Vert
}
{ \leq }{ c \Vert {v} \Vert^{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, \tfrac{ \Vert {R(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
Zeige umgekehrt durch ein Beispiel, dass aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ v \rightarrow 0 } \, \tfrac{ \Vert {R(v)} \Vert }{ \Vert {v} \Vert^k }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Allgemeinen nicht die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {R(v)} \Vert
}
{ \leq }{ c \Vert {v} \Vert^{k+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestätige
Satz 50.1
anhand des folgenden Beispiels.
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} { x^2y^3- \cos \left( x-y^2 \right)
} {,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,-3)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{(5,-2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $\leq 3$ für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} { \R^3} {\R } {(x,y,z)} {z \cdot \exp (xy) } {,}
im Nullpunkt
\mathl{(0,0,0)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x,y)
}
{ =} {-2xy^3-5x^2y^2+4xy^2-7y+3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Berechne das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ im Punkt
\mathl{P=(-3,4)}{} algebraisch
\zusatzklammer {d.h. man drücke das Polynom in den neuen Variablen
\mathl{u=x+3,v=y-4}{} aus und lese daraus das Taylor-Polynom ab} {} {}
und über Ableitungen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mathl{G \subseteq V}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mathl{P \in G}{} und seien
\maabbdisp {f,g} {G} {\R
} {}
zwei $k$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Taylor-Polynomen}{}{}
\mathkor {} {T_k(f)} {und} {T_k(g)} {}
in $P$ vom Grad
\mathl{\leq k}{.} Zeige, dass das Produkt $fg$ ebenfalls $k$-mal
\definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{}
ist, und dass für das Taylor-Polynom
\mathl{T_k(fg)}{} von $fg$ in $P$ vom Grad $\leq k$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T_k(fg)
}
{ =} { ( T_k(f) \cdot T_k(g) )_{\leq k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besteht, wobei der Subskript
\mathl{{\leq k}}{} bedeutet, dass das Polynom bis zum Grad $k$ genommen wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es maximal ein Polynom
\mathl{p(x_1 , \ldots , x_n)}{} vom Grad $\leq k$ mit der Eigenschaft geben kann, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \rightarrow 0 } \, { \frac{ \Vert {f(x)-p(x)} \Vert }{ \Vert {x} \Vert^k } }
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}