Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 18/latex
\setcounter{section}{18}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Diciembre.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!} }
\bildlizenz { Diciembre.jpg } {} {Lumentzaspi} {Commons} {PD} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
über
\mathl{[-3,+4]}{} zur
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(t)
}
{ =} { \begin{cases} 5 , \text{ falls } -3 \leq t \leq -2 \, , \\ -3 , \text{ falls } -2 < t \leq -1 \, , \\ \frac{3}{7} , \text{ falls } -1 < t < -\frac{1}{2} \, , \\ 13 , \text{ falls } t = - \frac{1}{2} \, , \\ \pi , \text{ falls } - \frac{1}{2} < t < e \, , \\ 0 , \text{ falls } e \leq t \leq 3 \, , \\ 1 , \text{ falls } 3 < t \leq 4 \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Unterteile das Intervall
\mathl{[-4,5]}{} in sechs gleichgroße Teilintervalle.
b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf
\mathl{[-4,5]}{,} die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte
\mathl{2}{} und $-1$ annimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabb {f} {[a,b]} {\R } {} an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine \definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\aufzaehlungvier{
\mathl{f+g}{,}
}{
\mathl{f \cdot g}{,}
}{
\mathl{{\max { \left( f , g \right) } }}{,}
}{
\mathl{{\min { \left( f , g \right) } }}{,}
}
Treppenfunktionen sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {f} {[a,b]} { [c,d]
} {}
eine
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
und
\maabbdisp {g} {[c,d]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} ebenfalls eine Treppenfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel einer
\definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {[a,b]} {[c,d]
} {}
und einer
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{}
\maabbdisp {g} {[c,d]} {\R
} {}
derart, dass die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} keine Treppenfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 0 }^{ 1 } t \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 1 }^{ 2 } t^3 \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ 3 }^{ 5 } 7t^3+4t \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige
\zusatzklammer {ohne Stammfunktionen zu verwenden} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_0^1 e^x dx
}
{ =} { e-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {} {[1,2]} { \R
} {t} {g(t) = { \frac{ 1 }{ t } }
} {.}
\aufzaehlungzwei {Beschreibe den Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Abhängigkeit von $x$.
} {
Bestimme dasjenige $x$ zwischen
\mathkor {} {1} {und} {2} {,}
für das der Flächeninhalt zur unteren maximalen Treppenfunktion zu $g$ zur Intervallunterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{x
}
{ \leq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
maximal wird. Welchen Wert hat dieser Flächeninhalt?
}
}
{} {}
Bei der vorstehenden Aufgabe kann man sich fragen, wie bei einer feineren Unterteilung, beispielsweise mit zwei Zwischenpunkten, das optimale untere Treppenintegral aussieht. Dies wird im zweiten Semester beantwortet, siehe Aufgabe *****.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $I =[a,b]$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Es gebe eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
von
\definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{}
\mathbed {{ \left( s_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{s_n \leq f} {}
{} {} {} {}
und eine Folge von Treppenfunktionen
\mathbed {{ \left( t_n \right) }_{ n \in \N }} {mit}
{t_n \geq f} {}
{} {} {} {.}
Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale
\definitionsverweis {konvergieren}{}{}
und dass ihre
\definitionsverweis {Grenzwerte}{}{}
übereinstimmen. Zeige, dass dann $f$
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{}
ist und dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } s_n ( x) \, d x
}
{ =} { \int_{ a }^{ b } f ( x) \, d x
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{ a }^{ b } t_n ( x) \, d x
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {beschränktes Intervall}{}{} und \maabb {f} {I} { \R } {} eine nach unten beschränkte \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Es sei vorausgesetzt, dass das \definitionsverweis {Supremum}{}{} über alle \definitionsverweis {Treppenintegrale}{}{} zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen \zusatzklammer {also das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{}} {} {} existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $I =[a,b]$ ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist
\definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{.}
}{Es gibt eine Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{a_0
}
{ < }{a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
derart, dass die einzelnen Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar sind.
}{Für jede Unterteilung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{a_0
}
{ < }{a_1
}
{ < }{ \cdots
}
{ < }{a_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ = }{ b
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
{}{}
}{}{}
sind die Einschränkungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \defeq }{ f |_{[a_{i-1},a_i]}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Riemann-integrierbar.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{I =[a,b] \subseteq \R}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{}
und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Ist
\mathl{m \leq f(x) \leq M}{} für alle
\mathl{x \in I}{,} so ist
\mathl{m(b-a) \leq \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \leq M(b-a)}{.}
}{Ist
\mathl{f(x) \leq g(x)}{} für alle
\mathl{x \in I}{,} so ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t \leq \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t}{.}
}{Es ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } f(t)+g(t) \, d t = \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t + \int_{ a }^{ b } g ( t) \, d t}{.}
}{Für
\mathl{c \in \R}{} ist
\mathl{\int_{ a }^{ b } (cf)(t) \, d t = c \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes}{}{}
\definitionsverweis {Intervall}{}{}
und
\maabb {f} {I} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {\betrag { \int_{ a }^{ b } f ( t) \, d t } \leq \int_{ a }^{ b } \betrag { f(t) } \, d t} { }
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass auch ${\max { \left( f , g \right) } }$ Riemann-integrierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{I=[a,b]}{} ein
\definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und es seien
\maabb {f,g} {I} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Riemann-integrierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktionen}{}{.}
Zeige, dass auch $fg$ Riemann-integrierbar ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie}
\inputaufgabe
{}
{
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
\mathdisp {1,\,11,\, 21,\, 1211,\, 111221,\, 312211,\, ...} { }
zugrunde?
}
{} {(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
zwei
\definitionsverweis {Treppenfunktionen}{}{.}
Zeige, dass dann auch
\mathl{f+g}{} eine Treppenfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ a }^{ b } t^2 \, d t} { }
in Abhängigkeit von
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathdisp {\int_{ -2 }^{ 7 } -t^3+3t^2-2t+5 \, d t} { }
explizit über
\definitionsverweis {obere}{}{}
und
\definitionsverweis {untere Treppenfunktionen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass für die Funktion \maabbeledisp {} {]0,1]} {\R } {x} { \frac{1}{x} } {,} weder das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} noch das \definitionsverweis {Oberintegral}{}{} existiert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zeige, dass für die Funktion \maabbeledisp {} {]0,1]} {\R } {x} { \frac{1}{ \sqrt{x} } } {,} das \definitionsverweis {Unterintegral}{}{} existiert, aber nicht das \definitionsverweis {Oberintegral}{}{.}
}
{} {Tipp: Verwende
Aufgabe 9.7.}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei $I$ ein \definitionsverweis {kompaktes Intervall}{}{} und sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine monotone \definitionsverweis {Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {Riemann-integrierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {f} {\N} {\N } {,} die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 18.19 entspricht \zusatzklammer {die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen} {} {.} \aufzaehlungvier{Ist $f$ wachsend? }{Ist $f$ surjektiv? }{Ist $f$ injektiv? }{Besitzt $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{?} }
}
{} {}