Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 3/latex
\setcounter{section}{3}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für die Mengen
\mathdisp {M=\{a,b,c,d,e\},\, N=\{a,c,e\},\, P=\{b\},\, R = \{b,d,e,f\}} { }
die Mengen
\aufzaehlungacht{
\mathl{M \cap N}{,}
}{
\mathl{M \cap N \cap P \cap R}{,}
}{
\mathl{M \cup R}{,}
}{
\mathl{{ \left( N \cup P \right) } \cap R}{,}
}{
\mathl{N \setminus R}{,}
}{
\mathl{{ \left( M \cup P \right) } \setminus { \left( R \setminus N \right) }}{,}
}{
\mathl{{ \left( { \left( P \cup R \right) } \cap N \right) } \cap R}{,}
}{
\mathl{{ \left( R \setminus P \right) } \cap { \left( M \setminus N \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Venn_diagram_gr_la_ru.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Venn_diagram_gr_la_ru.svg } {} {Watchduck} {Commons} {gemeinfrei} {}
Es sei $LA$ die Menge der Großbuchstaben des lateinischen Alphabets, $GA$ die Menge der Großbuchstaben des griechischen Alphabets und $RA$ die Menge der Großbuchstaben des russischen Alphabets. Bestimme die folgenden Mengen.
\aufzaehlungfuenf{
\mathl{GA \setminus RA}{.}
}{
\mathl{{ \left( LA \cap GA \right) } \cup { \left( LA \cap RA \right) }}{.}
}{
\mathl{RA \setminus { \left( GA \cup RA \right) }}{.}
}{
\mathl{RA \setminus { \left( GA \cup LA \right) }}{.}
}{
\mathl{{ \left( RA \setminus GA \right) } \cap { \left( { \left( LA \cup GA \right) } \setminus { \left( GA \cap RA \right) } \right) }}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \cap C \right) }
}
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
$A,\, B$ und $C$
Mengen. Man beweise die folgenden Identitäten.
\aufzaehlungneun{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cup \emptyset
}
{ =} { A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cap \emptyset
}
{ =} { \emptyset
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cap B
}
{ =} { B \cap A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cup B
}
{ =} { B \cup A
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cap (B \cap C)
}
{ =} { (A \cap B) \cap C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cup (B \cup C)
}
{ =} { (A \cup B) \cup C
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cap (B \cup C)
}
{ =} { (A \cap B) \cup (A \cap C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \cup (B \cap C)
}
{ =} { (A \cup B) \cap (A \cup C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A \setminus (B \cup C)
}
{ =} { (A \setminus B) \cap (A \setminus C)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die mengentheoretischen Fassungen einiger aristotelischer Syllogismen. Dabei bezeichnen $A,B,C$ Mengen.
\aufzaehlungfuenf{Modus Barbara: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Modus Celarent: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \cap A
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \subseteq }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C \cap A
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Modus Darii: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C \cap B
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C \cap A
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Modus Ferio: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \cap A
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C \cap B
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ C
}
{ \not \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Modus Baroco: Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \not \subseteq }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \not \subseteq }{ C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Gilt für die Vereinigung von Mengen die \anfuehrung{Abziehregel}{,} d.h. kann man aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \cup C
}
{ = }{B \cup C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schließen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $A,B,C$ Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ \subseteq }{ B \cup C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \setminus B
}
{ \subseteq }{C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \setminus C
}
{ \subseteq }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{\N \times \N}{} als Teilmenge von
\mathl{\R \times \R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe für je zwei \zusatzklammer {einschließlich dem Fall, dass das Produkt mit sich selbst genommen wird} {} {} der folgenden geometrischen Mengen die Produktmengen. \aufzaehlungvier{Ein Geradenstück $I$. }{Eine Kreislinie $K$. }{Eine Kreisscheibe $D$. }{Eine Parabel $P$. } Welche Produktmengen lassen sich als eine Teilmenge im Raum realisieren, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungvier{${ \left\{ (x,y) \mid x = 7 \text{ oder } y = 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid 7x \geq 3y \text{ und } 4x \leq y \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid x^2 +y^2 = 0 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid x^2 + y^2 = 1 \right\} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungzwei {Skizziere die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^ 2 \mid 4x-7y = 3 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ N
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^ 2 \mid 3x+2y = 5 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Bestimme den Durchschnitt
\mathl{M \cap N}{} zeichnerisch und rechnerisch.
}
}
{} {}
Es empfiehlt sich, die in den folgenden Aufgaben formulierten Mengenidentitäten zu veranschaulichen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A \times N \right) } \cap { \left( M \times B \right) }
}
{ =} { A \times B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_1,A_2
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B_1,B_2
}
{ \subseteq }{ N
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
Teilmengen. Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A_1 \times B_1 \right) } \cap { \left( A_2 \times B_2 \right) }
}
{ =} { { \left( A_1 \cap A_2 \right) } \times { \left( B_1 \cap B_2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $P$ eine Menge von Personen und $V$ die Menge der Vornamen von diesen Personen und $N$ die Menge der Nachnamen von diesen Personen. Definiere natürliche Abbildungen von $P$ nach $V$, nach $N$ und nach $V \times N$ und untersuche sie in Hinblick auf die relevanten Abbildungsbegriffe.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {ProbabilityDensityFunctionWindpowerGeneration.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { ProbabilityDensityFunctionWindpowerGeneration.png } {Dr. Peter Klamser} {} {Commons} {GNU} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {DOE_2016._Cost_Reductions_Since_2008.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { DOE_2016._Cost_Reductions_Since_2008.jpg } {} {Andol} {Commons} {Public domain} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Stromgestehungskosten_Deutschland_2018.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Stromgestehungskosten_Deutschland_2018.png } {} {Fraka} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arbeit-windenergie.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Arbeit-windenergie.jpg } {} {Lindaholm} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wind-generation.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Wind-generation.svg } {} {Delphi234} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Stromerzeugung_aus_Windenergie_in_Deutschland_2015.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Stromerzeugung_aus_Windenergie_in_Deutschland_2015.png } {} {Lindaholm} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Bestimme für die folgenden Diagramme, welche empirischen Abbildungen in ihnen dargestellt werden \zusatzklammer {sollen} {} {.} Was sind jeweils die Definitionsmengen, die Wertemengen, mit welchen Einheiten wird gearbeitet? Wird \zusatzklammer {pro Bild} {} {} nur eine Abbildung dargestellt oder mehrere? Handelt es sich überhaupt um Abbildungen? Welche Informationen werden über die Abbildung hinaus gegeben? Werden die empirischen Abbildungen mathematisiert?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe Beispiele für \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {\N} {\N } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{,} aber nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, und dass $\psi$ surjektiv, aber nicht injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man beschreibe eine \definitionsverweis {Bijektion}{}{} zwischen \mathkor {} {\N} {und} {\Z} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^n
} {,}
auf
\definitionsverweis {Injektivität}{}{}
und
\definitionsverweis {Surjektivität}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie sehen die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der Funktionen \maabb {f} {\R} { \R } {} aus, die Sie in der Schule kennengelernt haben?
}
{} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Non-injective function.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Non-injective function.svg } {} {Fulvio314} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}
\inputaufgabe
{}
{
Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} einer Abbildung \maabbdisp {f} {\R} { \R } {,} ob $f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} bzw. \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche \definitionsverweis {bijektiven}{}{} Funktionen \maabb {f} {\R} {\R } {} \zusatzklammer {oder zwischen Teilmengen von $\R$} {} {} kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die \definitionsverweis {Umkehrabbildungen}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\tau} {L \times M} { M \times L } {(x,y)} { (y,x) } {,} eine \definitionsverweis {bijektive Abbildung}{}{} zwischen den Produktmengen \mathkor {} {L \times M} {und} {M \times L} {} festlegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und es sei \maabbdisp {F} {L} {M} {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Es sei \maabbdisp {G} {M} {L } {} eine Abbildung, die \mathkor {} {F \circ G = \operatorname{Id}_{ M } \,} {und} {G \circ F = \operatorname{Id}_{ L } \,} {} erfüllt. Zeige, dass dann $G$ die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} von $F$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Mengen
\mathdisp {L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\},\, M= \{a,b,c,d,e,f,g,h,i \} \text{ und } N= \{ R, S,T,U, V,W,X,Y,Z \}} { }
und die Abbildungen
\maabb {\varphi} {L} {M
} {}
und
\maabb {\psi} {M} {N
} {,}
die durch die Wertetabellen
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {c} {i} {a} {g} {d} }
{\mazeileunddrei {e} {h} {b} }
und
\wertetabelleneunausteilzeilen { $y$ }
{\mazeileundfuenf {a} {b} {c} {d} {e} }
{\mazeileundvier {f} {g} {h} {i} }
{ $\psi(y)$ }
{\mazeileundfuenf {X} {Z} {Y} {S} {Z} }
{\mazeileundvier {S} {T} {W} {U} }
gegeben sind.
\aufzaehlungdrei{Erstelle eine Wertetabelle für
\mathl{\psi \circ \varphi}{.}
}{Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ injektiv?
}{Sind die Abbildungen $\varphi$, $\psi$, $\psi \circ \varphi$ surjektiv?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {}
für die
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^4+3x^2-2x+5 \text{ und } \psi(x)=2x^3-x^2+6x-1} { }
definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\aufzaehlungdrei{Kann eine konstante Abbildung bijektiv sein? }{Ist die Hintereinanderschaltung einer konstanten Abbildung mit einer beliebigen Abbildung \zusatzklammer {also die konstante Abbildung zuerst} {} {} konstant? }{Ist die Hintereinanderschaltung einer beliebigen Abbildung mit einer konstanten Abbildung \zusatzklammer {also die konstante Abbildung zuletzt} {} {} konstant? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
$L, M, N$ und $P$
Mengen und es seien
\maabbeledisp {F} {L} {M
} {x} {F(x)
} {,} \maabbeledisp {G} {M} {N
} {y} {G(y)
} {,}
und
\maabbeledisp {H} {N} {P
} {z} {H(z)
} {,}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H \circ (G \circ F)
}
{ =} { (H \circ G) \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
$L,\, M$ und $N$
Mengen und
\maabbeledisp {F} {L} {M
} {x} {F(x)
} {,}
und
\maabbeledisp {G} {M} {N
} {y} {G(y)
} {,}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbdisp {G \circ F} {L} {N
} {.}
Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungdrei{Wenn
\mathkor {} {F} {und} {G} {}
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
sind, so ist auch
\mathl{G \circ F}{} injektiv.
}{Wenn
\mathkor {} {F} {und} {G} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
sind, so ist auch
\mathl{G \circ F}{} surjektiv.
}{Wenn
\mathkor {} {F} {und} {G} {}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
sind, so ist auch
\mathl{G \circ F}{} bijektiv.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
ist, so ist auch $f$ injektiv.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
Mengen. Zeige, dass die folgenden Aussagen zueinander äquivalent sind.
\aufzaehlungsechs{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ \subseteq }{B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cap B
}
{ = }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \cup B
}
{ = }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A \setminus B
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Es gibt eine Menge $C$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ A \cup C
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{Es gibt eine Menge $D$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ B \cap D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Skizziere die folgenden Teilmengen im $\R^2$. \aufzaehlungvier{${ \left\{ (x,y) \mid 2x = 5 \text{ und } y \geq 3 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid -3x \geq 2y \text{ und } 4x \leq -5y \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid y^2-y+1 \leq 4 \right\} }$, }{${ \left\{ (x,y) \mid xy = 0 \right\} }$. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\maabbeledisp {g \circ f} {L} {N
} {x} {g(f(x))
} {.}
Zeige: Wenn $g \circ f$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist, so ist auch $g$ surjektiv.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten einen Computer, der nur zwei Speicher besitzt, in denen jeweils eine natürliche Zahl stehen kann. Zu Beginn eines jedes Programms
\zusatzklammer {also einer Aneinanderreihung von Befehlen} {} {}
lautet die Belegung $(0,0)$. Der Computer kann einen Speicher leeren, einen Speicher um $1$ erhöhen, zu Befehlen springen
\zusatzklammer {unbedingter Sprungbefehl} {} {}
und die beiden Inhalte der Speicher der Größe nach miteinander vergleichen. Ferner kann es zu einem Befehl wechseln, wenn die Vergleichsbedingung erfüllt ist
\zusatzklammer {bedingter Sprungbefehl} {} {.}
Schließlich gibt es einen Druckbefehl, bei dem das momentane Belegungspaar ausgedruckt wird. Schreibe ein Computerprogramm, das jedes Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (n,m)
}
{ \in }{ \N^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau einmal ausdruckt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {\varphi \circ \psi} {und} {\psi \circ \varphi} {}
für die
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{}
\maabb {\varphi,\psi} {\R} {\R
} {,}
die durch
\mathdisp {\varphi(x)=x^3+2x +1 \text{ und } \psi(x)=x^2-5} { }
definiert sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Betrachte auf der Menge $M=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {M} {M
} {x} {\varphi(x)
} {,}
die durch die Wertetabelle
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8} }
{ $\varphi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {6} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {3} {7} {7} }
gegeben ist. Berechne $\varphi^{1003}$, also die $1003$-te
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\zusatzklammer {oder \stichwort {Iteration} {}} {} {}
von $\varphi$ mit sich selbst.
}
{} {}