Kurs:Mathematik für Anwender II/Teiltest 1/Klausur/latex
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungacht{Ein \stichwort {Skalarprodukt} {} auf einem reellen Vektorraum $V$.
}{Die
\stichwort {Stetigkeit} {}
einer Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
zwischen
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {}
in einem Punkt
\mathl{x \in L}{.}
}{Eine \stichwort {differenzierbare Kurve} {}
\maabbdisp {\gamma} {I} {\R^n
} {}
auf einem reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Der \stichwort {Eigenraum} {} zu $\lambda \in K$ und einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Eine \stichwort {trigonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {V } {,} wobei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.
}{Ein \stichwort {homogenes lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten} {.}
}{Die
\stichwort {Jacobi-Matrix} {}
zu einer partiell differenzierbaren Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} { \R^m
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}
}{Das \stichwort {totale Differential} {} in einem Punkt
\mathl{P \in V}{} einer in diesem Punkt total differenzierbaren Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
\zusatzklammer {dabei seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
endlichdimensionale reelle Vektorräume} {} {.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungvier{Die
\stichwort {Formel für die Länge} {}
einer Kurve
\maabbdisp {f} {[a,b]} {\R^n
} {.}}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}{Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Die \stichwort {Kettenregel} {} zu zwei total differenzierbaren Abbildungen
\maabbdisp {f} { \R^n} {\R^m
} {}
und
\maabbdisp {g} {\R^m} {\R^k
} {}
in einem Punkt
\mathl{P \in \R^n}{.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{.} Zeige, dass jede endliche Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die differenzierbare Kurve \maabbeledisp {f} {[0, \pi]} { \R^2 } {t} {(t, \sin t) } {.}
a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge $L$ dieser Kurve die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ \leq} { \sqrt{2} \pi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Kurve}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.}
Beweise die Längengleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L(\gamma)
}
{ =} {L( \varphi \circ \gamma)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Es sei
\maabbeledisp {\gamma} {[-1,1]} {\R^3
} {t} {{ \left( t^2,-t^2+1,t \right) }
} {,}
gegeben. Berechne das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
längs dieses Weges zum
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(x,y,z)
}
{ =} { { \left( y^2-xz,xyz,5x^2z-yz \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {y^{\prime \prime} =3yy'+y^2 \text{ mit } y(0)=0 \text{ und } y'(0) =2} { }
durch einen
\definitionsverweis {Potenzreihenansatz}{}{}
bis zur vierten Ordnung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & 0 \\8 & 0 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {v} {Mv
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3
} {,}
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2+ { \mathrm i} \\ 0 & { \mathrm i} & 1+ { \mathrm i} \\0 & 0 & -1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von $A$.
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für $\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Anfangswertproblem}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix} \text{ mit } \begin{pmatrix} v_1(0) \\v_2(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (5+2)}
{
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Löse das Anfangswertproblem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Anfangsbedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} x(0) \\y(0) \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2 \\7 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme zur Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {t^2 } {,} die Richtungsableitung in Richtung $3$ für jeden Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung \maabbeledisp {f} {\R^2 \setminus\{(0,0)\}} {\R^3 } {(x,y)} { \left( { \frac{ \sin x }{ x^2+y^4 } } , \, { \frac{ x^2y }{ x^2+y^2 } } , \, \ln (x^2+y^2) \right) } {,} in jedem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestätige die Kettenregel für
\mathl{g \circ f}{} für die beiden differenzierbaren Abbildungen
\maabbeledisp {f} {\R} {\R^2
} {t} {(t^3-t,-t^2)
} {,} und
\maabbeledisp {g} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {xy+x+y
} {.}
}
{} {}