Kurs:Mathematik zu Mechanik/Harmonischer Oszillator

Geplanter Inhalt

• Komplexe Zahlen
• Taylor-Reihen
• Harmonischer Oszillator

Übersicht
Der Harmonische Oszillator (HO) ist wichtig, weil:

• er ein einfaches Problem darstellt
• er analytisch vollständig lösbar ist (und Vieles, das auch nur etwas komplizierter ist, ist nicht mehr analytisch lösbar)
• jedes Potential in der Umgebung eines Minimums (Maximums) durch ein quadratisches Potential annäherbar ist, also durch einen HO
• er ein beliebtes Übungsbeispiel ist
• ...

Themen:

• Einfachstes Modell: ungedämpfter, ungetriebener HO
• Gedämpfter HO
• Getriebener, gedämpfter HO (erzwungene Schwingungen)
• HO im Lagrange-Formalismus
• HO im Hamilton-Formalismus
• “Verschieben” des Potentials (-> quadratisch erweitern)
• Fourier-Entwicklung
• Green's Funktionen
• Beispiele (Pendel, Feder, ...)

Definitionen, Schreibweisen, ...
Ein Punkt über einer Größe bedeutet selbstverständlich eine zeitliche Ableitung:
${\dot {x}}\equiv {\dot {x}}(t)\equiv {\frac {\partial }{\partial t}}x(t)$

Ungedämpfter, ungetriebener HO

Bewegungsgleichung:

${\ddot {x}}+\omega ^{2}\,x=0$

Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung. Weil sie zweiter Ordnung ist muss sie zwei linear unabhängige Lösungen haben sowie zwei „Integrationskonstanten“. Finden („erraten“) wir also einen Ansatz, also zwei linear unabhängige Funktionen, die Lösungen der Gleichung sind, so sind die Linearkombinationen dieser beiden Funktionen die Lösungen des Problems. Die beiden Integrationskonstanten werden durch die Anfangsbedinungen gegeben.

Lösen mit dem Ansatz:

$x(t)=A\cdot e^{k_{1}\,t}+B\cdot e^{k_{2}\,t}$

Bemerkungen: dieser Ansatz funktioniert beim (ungetriebenen) HO immer. Da sich hier die Terme, in denen $k_{1}$ bzw. $k_{2}$ vorkommen, sonst nicht unterscheiden, genügt es, eine Funktion in die Differentialgleichung einzusetzen, es sollten sich zwei Lösungen für dieses k ergeben (zum Beispiel durch eine quadratische Gleichung, die ja bekanntlich zwei Lösungen hat (die im schlimmsten Fall identisch sind)).

$x(t)=e^{k\,t},\;{\dot {x}}(t)=k\cdot e^{k\,t}=k\cdot x(t),\;{\ddot {x}}(t)=k^{2}\cdot e^{k\,t}=k^{2}\cdot x(t)$

Einsetzen in die Bewegungsgleichung:

${\ddot {x}}+\omega ^{2}\,x=0$

$k^{2}\,x+\omega ^{2}x=0\Leftrightarrow k^{2}=-\omega ^{2}\Leftrightarrow k=\pm i\,\omega$

Es ergeben sich also tatsächlich zwei Werte für k. Die allgemeinste Lösung ist:

$x(t)=A\cdot e^{i\,\omega \,t}+B\cdot e^{-i\,\omega \,t}$

Dies ist nur eine "Schreibweise" der Lösung, aufgrund der Euler'schen Formel

$e^{i\,x}=\cos(x)+i\,\sin(x)$

mit den Beziehungen

$A={\frac {C}{2\,i}}+{\frac {D}{2}},\;B=-{\frac {C}{2\,i}}+{\frac {D}{2}}$

ist sie identisch zu (z.B.):

$x(t)=C\,\sin(\omega \,t)+D\cos(\omega \,t)$

Gedämpfter, ungetriebener HO

Vollkommen analog zum ungedämpften, nur mit dem Dämpfungsterm $2\,\gamma \,{\dot {x}}$:

${\ddot {x}}+2\,\gamma \,{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}\,x=0$

Wieder der Ansatz $\exp(\alpha \,t)$, der auf eine quadratische Glg. mit zwei Lösungen führt.

$x(t)=e^{\alpha t},\;{\dot {x}}(t)=\alpha \,e^{\alpha t},\;{\ddot {x}}(t)=\alpha ^{2}\,e^{\alpha t}$

Einsetzen:

$\left[\alpha ^{2}+2\gamma \alpha +\omega _{0}^{2}\right]e^{\alpha t}=0$

Die Exponentialfunktion ist immer ungleich 0, es muss also der Klammerausdruck 0 sein (damit die Gleichung erfüllt ist):

$\alpha ^{2}+2\gamma \alpha +\omega _{0}^{2}=0$

$\alpha =-\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

Hier kommen jetzt ganz natürlich komplexe Zahlen ins Spiel: ist der Ausdruck in der Wurzel negativ, also wenn $\left|\gamma \right|<\left|\omega _{0}\right|$, so ist das Ergebnis komplex. Es müssen drei Fälle unterschieden werden:

• $\gamma ^{2}<\omega _{o}^{2}$ : Schwingfall
• $\gamma ^{2}=\omega _{o}^{2}$ : Asymptotischer Grenzfall
• $\gamma ^{2}>\omega _{o}^{2}$ : Kriechfall

Im Schwingfall ist die Lösung die gleiche wie beim ungedämpften Oszillator, jedoch mit etwas geringerer Frequenz. Für $\gamma =0$ ergibt sich der ungedämpfte Oszillator.

Im asymptotischen Grenzfall sind beide Lösungen der quadratischen Gleichung identisch. Es muss also noch eine weitere Lösung existieren (eine Differentialgleichung 2. Ordnung hat zwei linear unabhängige Lösungen). Diese ist $x(t)=t\cdot e^{-\gamma \,t}$.

Im Kriechfall schwingt der Oszillator gar nicht mehr sondern "kriecht" nur mehr in Richtung 0-Punkt.