Kurs:Modellierung und Numerische Methoden von Finanzderivaten/4 Das Black-Scholes-Modell

4.1 Black-Scholes-Formeln

Unter Verwendung der Vorbereitungen zur stochastischen Analysis und zum Ito-Kalkül können wir die formale Herleitung der Black-Scholes-Gleichung und elementarer Lösungen skizzieren. Es sei der Kurs eines Basiswertes durch eine Zufallsvariable $S_{t},t\geq 0,$ beschrieben. Den Wiener-Prozess bezeichnen wir mit $W_{t}$ und mit $V=V(S_{t},t)$ den Wert einer bestimmten Option. Die wesentliche Voraussetzung ist, dass $S_{t}$ einer geometrischen Brownschen Bewegung (beschrieben in Kapitel 3) entspricht, d.h. es gilt

$\ln S_{t}=\ln S_{0}+\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)t+\sigma W_{t},$

mit Drift $\mu \in \mathbb {R}$ und Volatilität $\sigma \geq 0$ (beide gegeben). Wir behaupten, dass $S_{t}$ ein stochastischer Prozess ist: Schreiben wir nämlich

$d{\Bigl (}\ln S_{t}{\Bigr )}=\left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\,dt+\sigma \,dW_{t},$

so ist auch $\ln S_{t}$ ein Ito-Prozess. Aus dem Lemma von Ito für $f(x)=\exp(x),a=\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}$ und $b=\sigma$ folgt wegen

${\frac {\partial f}{\partial x}}{\Bigl (}\ln S_{t}{\Bigr )}=S_{t},\quad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}{\Bigl (}\ln S_{t}{\Bigr )}=S_{t},\quad {\frac {\partial f}{\partial t}}=0$

die stochastische Differentialgleichung

$dS_{t}=d{\Bigl (}\exp(\ln S_{t}){\Bigr )}=\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)S_{t}\,dt+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}$

oder

(4.1) ${\frac {dS_{t}}{S_{t}}}=\mu \,dt+\sigma \,dW_{t}.$

Eine heuristische Interpretation der Gleichung (4.1) lässt sich wie folgt vornehmen. Es sei $S$ der Kurs des Basiswertes zur Zeit $t$ und $S+dS$ der Kurs zur Zeit $t+dt$. Die relative Änderung des Kurses $dS/S$ ist durch einen deterministischen Anteil $\mu \,dt$ und durch einen zufälligen Anteil $\sigma \,dW$ gegeben. Der Term $dW$ modelliert die Zufälligkeit der Kurswerte. Wir nehmen an, dass die zufälligen Schwankungen durch die Brownsche Bewegung $W$ modelliert werde.

Folgende vereinfachende Modellannahmen für den Finanzmarkt werden getroffen:

Der Aktienkurs $S_{t}$ genüge der stochastischen Differentialgleichung

$dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}$

mit konstanten Parametern $\mu \in \mathbb {R}$ und $\sigma >0$.

Für Geldanlagen und für Kredite wird derselbe und vorgegebene konstante Zinssatz $r\geq 0$ verwendet. Der entsprechende Bond erfüllt die Gleichung Bond

(4.2) $dB_{t}=rB_{t}dt.$

Es werden keine Dividendenzahlungen auf den Basiswert geleistet.

Der Markt ist arbitragefrei und friktionslos, d.h. es gibt keine Transaktionskosten, Steuern usw.

Der Basiswert kann kontinuierlich, d.h. nicht nur zu diskreten Zeitpunkten, gehandelt werden und ist beliebig teilbar (es können also auch Bruchteile gehandelt werden). Leerverkäufe (short selling) sind erlaubt; d.h. es können bzw. dürfen Derivate verkaufen, die wir zum Zeitpunkt des Verkaufs noch gar nicht besitzen.

Alle betrachteten stochastischen Prozesse sind stetig, die Modellierung eines Börsen-Crashs ist unmöglich.

Sei $V(S_{t},t)$ der Wert der Option zum Zeitpunkt $t$. Wir betrachten das folgende Portfolio, das aus $c_{1}(t)$ Anteilen eines Bonds, aus $c_{2}(t)$ Anteilen des Basiswertes und aus einer verkauften Option (vgl. Kap. 2.1) besteht:

$Y_{t}=c_{1}(t)B_{t}+c_{2}(t)S_{t}-V(S_{t},t)$

Aus dem Erlös des Optionsverkaufs können die Bond- und Basiswertanteile finanziert werden (daher das Minuszeichen vor $V(S_{t},t)$). Wir treffen folgende zusätzlichen Annahmen:

Annahme 1:

Das Portfolio $Y_{t}$ unterliegt keinen zufälligen Schwankungen, d.h. es ist ein risikofreies Portfolio. Die Änderung ist dann

$(4.3)dY_{t}=rY_{t}\,dt.$

Annahme 2:

Das Portfolio $Y_{t}$ erfüllt die stochastische Differentialgleichung

(4.4) $dY_{t}=c_{1}(t)\,dB_{t}+c_{2}(t)\,dS_{t}-dV(S_{t},t).$

Das bedeutet, dass die Änderung von $Y_{t}$ zur Zeit $t$ gleich den Änderungen der Bond- und Basiswertanteile und des Optionswertes ist.

Mit diesen Voraussetzungen können wir die Black-Scholes-Gleichung herleiten. Nach dem Lemma von Ito erfüllt $V$ die stochastische Differentialgleichung

(4.5) $dV=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\,dW.$

Setzen wir noch die stochastischen Differentialgleichungen für $S,B$ und für $V$ in (4.4) ein, so erhalten wir

(4.6) $dY=\left[c_{1}(t)rB+c_{2}(t)\mu S-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\right]\,dt+\left(c_{2}(t)\sigma S-\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)\,dW.$

Die Annahme 1 des Portfolio ohne zufällige Schwankungen führt auf die Forderung

$c_{2}(t)={\frac {\partial V}{\partial S}}(S_{t},t),$

denn mit dieser Wahl verschwindet der Koeffizient vor $dW$. Da das Portfolio $Y$ risikolos sein soll, folgt aus der Arbitrage-Freiheit

(4.7) $dY=rY\,dt.$

Setzen wir (4.6) und (4.7) gleich, so folgt wegen der Wahl von $c_{2}$:

$r\left(c_{1}B+{\frac {\partial V}{\partial S}}S-V\right)\,dt=\left(c_{1}rB+c_{2}\mu S-{\frac {\partial V}{\partial t}}-\mu S{\frac {\partial V}{\partial S}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\,dt=\left(c_{1}rB-{\frac {\partial V}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)\,dt.$

Setzen wir die Koeffizienten gleich, so ergibt sich für die Funktion $V(S,t)$

(4.8) ${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0.$

Diese Gleichung heißt Black-Scholes Gleichung.

Üblicherweise werden die partiellen Ableitungen mit Indizes bezeichnet, wir schreiben folglich

$V_{t}={\frac {\partial V}{\partial t}},\quad V_{S}={\frac {\partial V}{\partial S}},\quad V_{SS}={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}.$

Man beachte, dass die Ableitung $V_{t}=\partial V/\partial t$ nicht mit dem Wert der stochastischen Funktion $V_{t}=V(t)$ verwechselt werden darf; die Gefahr besteht allerdings deshalb kaum, weil nach der Herleitung hier $V$ eine deterministische Funktion und keine Zufallsvariable ist.

Einordnung und Typbestimmung der Black-Scholes-Gleichung:

Es handelt sich um eine parabolische, partielle Differentialgleichung 2. Ordnung. Diese Einteilung wird aus dem sog. Hauptteil der Gleichung, d.h. aus allen Termen mit zweiten partiellen Ableitungen gefolgert. Allgemeiner heißt eine Differentialgleichung in den Variablen $(x,t)$ der Form

$au_{tt}+2bu_{xt}+cu_{xx}+du_{t}+eu_{x}+fu=g$

mit von $x$ und $t$ abhängigen Koeffizientenfunktionen und der rechten Seite parabolisch, wenn die Gleichung

$b^{2}(x,t)-a(x,t)c(x,t)=0\quad \forall x,t$

erfüllt ist. In unserem Falle gilt für (4.8) $a=0,b=0$, d.h. die Differentialgleichung ist parabolisch oder vom parabolischen Typ.

Bemerkung:

(1) In obiger Herleitung konnte der Driftterm $c_{2}\mu S\,dt$ durch die Wahl von $c_{2}$ vollständig eliminiert werden. Damit hängt das Black-Scholes-Modell nicht von der Driftrate $\mu$ ab. Das ist sehr vorteilhaft, da die Bestimmung des Parameters $\mu$ nicht einfach ist. Allerdings enthält (4.8) noch die Volatilität $\sigma$, die nur aus Marktdaten bestimmt werden kann. Der verbleibende Parameter, die Zinsrate $r$, ist aus Marktdaten relativ einfach zu bestimmen und über längere Zeitabschnitte konstant.

(2) Die Bond- und Basiswertanteile für ein selbstfinanzierendes Portfolio (d.h. für $Y_{t}=0$) lauten gemäß obigem Beweis

$c_{2}(t)={\frac {\partial V}{\partial S}},\quad c_{1}(t)={\frac {1}{B_{t}}}\left(V(S_{t},t)-S_{t}{\frac {\partial V}{\partial S}}\right)$

Wir werden noch zeigen, dass für europäische Optionen der Call-Optionspreis $V$ eine strikt konvexe Funktion in $S_{t}$ ist. Falls $S_{t}=0$ gilt, ist es sinnvoll, $V(0,t)=0$ anzunehmen. Dann folgt

$0=V(0,t)=V(S,t)-V_{S}(S,t)S+{\frac {1}{2}}V_{SS}(\xi ,t)S^{2}>V(S,t)-V_{S}(S,t)S,$

d. h., der Bondanteil $c_{1}(t)$ ist negativ.

Jedes Derivat, dessen Preis nur vom gegenwärtigen Kurs $S$ und der Zeit $t$ abhängt und das zur Zeit $t=0$ bezahlt werden muss, erfüllt unter den obigen Voraussetzungen die Black-Scholes-Gleichung (4.8). Diese Aussage gilt insbesondere für europäische Optionen. Amerikanische und exotische Optionen betrachten wir etwas später genauer.

Die Differentialgleichung (4.8) ist über der Menge $(S,t)\in (0,\infty )\times (0,T)$ zu lösen. Wir benötigen Rand- und Endbedingungen (letztere anstelle der sonst üblichen Anfangsbedingungen), um eine eindeutige Lösbarkeit zu gewährleisten. Als Endbedingung zur Zeit $T$ (dem Verfallstag der Option) wählen wir

(4.9) $V(S,T)=V_{0}(S),\quad S\geq 0,$

wobei $V_{0}(S)=(S-K)^{+}$ für europäische Calls und $V_{0}(S)=(K-S)^{+}$ für europäische Puts steht. Da $S$ im Intervall $(0,1)$ liegt, schreiben wir Randbedingungen für $S=0$ und für $S\to \infty$ vor.

• Call: $V=C$: Ist der Kurs des Basiswerte $S=0$, so ist der Wert des Calls ebenfalls Null, da das Recht, einen wertlosen Basiswert zu kaufen, ebenfalls wertlos ist. Ist dagegen der Kurs des Basiswertes sehr hoch, so ist es nahezu sicher, dass die Call-Option eingelöst wird. Damit wird der Wert des Calls näherungsweise $S-K$ sein. Für sehr großes $S$ kann der Ausübungspreis $K$ vernachlässigt werden und es folgt

$C(S,t)\sim S$ für $S\to \infty$.

Diese Schreibweise bedeutet, dass

${\frac {C(S,t)}{S}}\to 1$ für $S\to \infty$ und $\forall t\in (0,T]$

gilt.

• Put: $V=P$: Ist der Basiswert sehr groß, wird die Option voraussichtlich nicht eingelöst, d. h.

$P(S,t)\to 0$ für $S\to \infty$.

Für $S=0$ verwenden wir die Put-Call-Parität

$P(0,t)=\left(C(S,t)+Ke^{-r(T-t)}-S\right){\Big |}_{S=0}=Ke^{-r(T-t)}.$

Zusammenfassend gelten die Randbedingungen im Falle europäischer Optionen:

(4.10) Europ. Call: $V(0,t)=0,\quad V(S,t)\sim S(S\to \infty ),$

(4.11) Europ. Put: $V(0,t)=Ke^{-r(T-t)},\quad V(S,t)\sim 0\quad (S\to \infty ).$

Somit ist der Wert einer europäischen Call- (einer europäischen Put-) Option $V(S,t)$ gegeben durch die Lösung der partiellen Differentialgleichung (4.8) mit der Endbedingung (4.9), wobei $V_{0}(S)=(S-K)^{+}$ (bzw. $V_{0}(S)=(K-S)^{+}$) und die Randbedingungen (4.10) (bzw. (4.11)) gelten.

Die Black-Scholes-Gleichung (4.8) mit obigen Rand- und Endbedingungen kann explizit gelöst werden. Wir betrachten zuerst den Fall einer europäischen Call-Option.

Satz 4.1 Black-Scholes-Formel für Call-Optionen

Die Black-Scholes-Gleichung (4.8) mit den Randbedingungen (4.10) und der Endbedingung (4.9) mit $V_{0}(S)=(S-K)^{+}$ besitzt die Lösung

(4.12) $V(S,t)=S\Phi (d_{1})-Ke^{-r(T-t)}\Phi (d_{2}).\quad S>0,\quad 0\leq t\leq T,$

mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

(4.13) $\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-s^{2}/2}\,ds,\quad x\in \mathbb {R}$

und

(4.14) $d_{1,2}={\frac {\ln(S/K)+(r\pm \sigma ^{2}/2)(T-t)}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}.$

Man beachte, dass die Lösung (4.12) mit $t=0$ gleich dem Call-Preis aus dem Binomialmodell im Grenzfall $\Delta t\to 0$ ist.

Beweis:

Man könnte den Satz beweisen, indem man verifiziert, dass Formel (4.12) die Differentialgleichung und die Rand- und Endbedingungen erfüllt. Ein zweiter Weg ist die schrittweise Transformation auf eine reine Diffusions- (Wärmeleitungs-) Gleichung der Form

$u_{t}=u_{xx}.$

Folgende Schritte sind erforderlich:

1. Elimination der nicht-konstanten Koeffizienten durch eine Variablentransformation:

$x=\ln(S/K),\quad \tau ={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\quad v(x,\tau )=V(S/t)/K$.

Man beachte hier $S>0,0\leq t\leq T,V(S,t)\geq 0$. Folglich ist $x\in \mathbb {R} ,0\leq \tau \leq T$ und $v(x,\tau )\geq 0$.

2. Elimination der $v_{x}$- und $v$-Terme durch

$v(x,\tau )=\exp(\alpha x+\beta \tau )u(x,\tau ).$

Man erhält Bedingungen an die Wahl von $\alpha$ und $\beta$.

3. Schließlich bestimmt man die analytische Lösung des entstandenen Problems

(4.15) $u_{\tau }-u_{xx}=0,\quad x\in \mathbb {R} ,\quad \tau \in (0,T_{0}],$

mit der Anfangsbedingung

(4.16) $u(x,0)=u_{0}(x)=\left(e^{(k+1)x/2}-e^{(k-1)x/2}\right)^{+},\quad x\in \mathbb {R}$

Diese lautet

$u(x,\tau )={\frac {1}{\sqrt {4\pi \tau }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }u_{0}(s)\exp \left(-{\frac {(x-s)^{2}}{4\tau }}\right)\,ds$

Eine Vereinfachung dieses Integrals erhält man mit der Transformation $y=(s-x)/{\sqrt {2\tau }}$:

(4.17) $u(x,\tau )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }u_{0}\left({\sqrt {2\tau }}y+x\right)e^{-y^{2}/2}\,dy.$

4. Die analytische Lösung der Wärmeleitungsgleichung wird nun in die ursprünglichen Variablen zurück transformiert.

5. Im letzten Schritt überprüfen wir die Rand- und Endbedingungen.

Nach Ausführung aller Schritte ist der Satz vollständig bewiesen.

q.e.d.

Bemerkung:

Die als Zwischenschritt entstehende Formel (4.17) gestattet es, den Optionspreis als diskontierten Erwartungswert

(4.18) $V(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}E(V(S_{T},T))=e^{-r(T-t)}E(V_{0}(S_{t}))$

zu interpretieren. Wir führen zu diesem Zweck die Rücktransformation aus Gleichung (4.17) durch. Dann folgt nach einiger Rechnung mit der Transformation ${\tilde {S}}=\exp \left({\sqrt {2\pi }}y\right)S$:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle V(S, t) = \frac{K}{\sqrt{2\pi}} e^{-(k-1) x/2 - (k+1)^2 \tau/4} \int\limits_{\mathbb{R}} u_0 \left( \sqrt{2\tau} y + x \right) e^{-y^2/2}\, dy= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_\mathbb{R} e^{-(k+1)^2 \tau/4 + (k-1) \sqrt{2\tau} y/2 - y^2/2 \left( e^{\sqrt{2\tau} y} S - K \right)^+\, dy = e^{-\tau (T-t)} E(V_0(S)),}

wobei

$E(V_{0}(S))=\int \limits _{0}^{\infty }{\tilde {S}}f({\tilde {S}};S,t)V_{0}({\tilde {S}})\,{\frac {d{\tilde {S}}}{\tilde {S}}}$

der Erwartungswert von $V_{0}(S)$ bzgl. der Dichtefunktion

$f({\tilde {S}};S,t)={\frac {{\tilde {S}}\sigma {\sqrt {2\pi (T-t)}}}{\exp }}\left({\frac {(\ln({\tilde {S}}/S)-(\tau -\sigma ^{2}/2)(T-t))^{2}}{2\sigma ^{2}(T-t)}}\right)$

der sog. Lognormalverteilung ist. Damit sind zwei verschiedene Darstellungsformen des Optionspreises gefunden:

• eine Lösung der partiellen Differentialgleichung (4.8),
• ein Erwartungswert nach (4.18).

Der Zusammenhang wird im sog. Feynman-Kac-Formalismus behandelt.

Die Black-Scholes-Formel für europäische Put-Optionen folgt aus der Put-Call-Parität und Satz 4.1.

Satz 4.2 Black-Scholes-Formel für Put-Optionen

Die Black-Scholes-Gleichung (4.8) mit den Randbedingungen (4.11) und der Endbedingung (4.9) mit $V_{0}(S)=(K-S)^{+}$ besitzt die Lösung

(4.19) $V(S,t)=Ke^{-r(T-t)}\Phi (-d_{2})-S\Phi (-d_{1}),\quad S>0,\quad 0\leq t\leq T$

mit der Verteilungsfunktion $\Phi$ und $d_{1,2}$ entsprechend (4.13) bzw. (4.14).

Beweis:

Unter Verwendung der Notation $V=P$ und von Satz 4.1 mit $\Phi (d)+\Phi (-d)=1$ für alle $d\in \mathbb {R}$ ergibt sich

$P(S,t)=C(S,t)-S+Ke^{-r(T-t)}=S(\Phi (d_{1})-1)-Ke^{-r(T-t)}(\Phi (d_{2})-1)=Ke^{-r(T-t)}\Phi (-d2)-S\Phi (-d_{1}).$

q.e.d.

% Berechnung einer europaeischen Call-Option
function result = call(S,t,K,r,sigma,T)
 d1 = (log(S/K)+(r+0.5*sigma^2)*(T−t))/(sigma*sqrt(T−t));
 d2 = d1 − sigma*sqrt(T−t);
 n1 = 0.5*(1+erf (d1/sqrt(2)));
 n2 = 0.5*(1+erf (d2/sqrt(2)));
 result = S*n1 − K*exp(r*(t−T))*n2;

Die numerische Auswertung der Black-Scholes-Formeln erfordert die Berechnung der Werte der Verteilungsfunktion $\Phi (x)$. Wegen $\Phi (0)={\frac {1}{2}}$ und

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-s^{2}/2}\,ds={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x/{\sqrt {2}}}e^{-t^{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x/{\sqrt {2}}}e^{-t^{2}}\,dt\right)$

ist dies äquivalent zur Aufgabe, das Gaußsche Fehlerintegral

$\operatorname {erf} \,(z):={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt$

zu berechnen. Diese Funktion ist tabelliert und auch in Matlab (oder in anderen Systemen) implementiert. Die Abbildungen sind mittels der Fehlerfunktion ’erf’ und den folgenden Matlab-Programmen erzeugt worden.

% Auswertung der Black-Scholes-Formeln
% Initialisierung
K = 100; T = 1; r = 0.1; sigma = 0.4;
compute_call = 1;
    % compute ’Call’, if compute_call = 1, else ’Put’
t = 0;
hold on, box on
% Berechnung der Optionspreise mittels der Black-Scholes-Formel
for t=0:0.2:1
  for S=1:1:200 10
    C(S) = call(S,t,K,r,sigma,T); 
    P(S) = put (S,t,K,r,sigma,T);
  end
  if compute call
    figure(1)
    plot(C)
    axis([0 200 0 120])
    title(’European Call’,’FontSize’,15)
    xlabel(’Basiswert’), ylabel(’Optionswert’)
    text(110,50,[’t=0’],’FontSize’,12), text(130,20,[’t=1’],’FontSize’,12) 20
  else
    figure(2)
    plot(P)
    axis([0 200 0 100])
    title(’European Put’,’FontSize’,15)
    xlabel(’Basiswert’), ylabel(’Optionswert’)
    text(40,30,[’t=0’],’FontSize’,12), text(50,70,[’t=1’],’FontSize’,12)
  end
end

% Berechnung einer europaeischen Put-Option
function result = put(S,t,K,r,sigma,T)
 d1 = (log(S/K)+(r+0.5*sigma^2)*(T−t))/(sigma*sqrt(T−t));
 d2 = d1 − sigma*sqrt(T−t);
 n1 = 0.5*(1+erf (−d1/sqrt(2)));
 n2 = 0.5*(1+erf (−d2/sqrt(2)));
 result = K*exp(−r*(T−t))*n2 − S*n1;

4.2 Numerische Auswertung der Black-Scholes-Formeln

Um die Formeln (4.12) und (4.19) auszuwerten, muss die Verteilungsfunktion

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{x}e^{-s^{2}/2}\,ds$

berechnet werden. Wir geben im folgenden zwei Methoden an, um dies effizient zu tun. Wegen

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} \,\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right)$

genügt es, das Fehlerintegral

$\operatorname {erf} \,(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{x}e^{-s^{2}}\,ds$

für beliebige $x\in [0,\infty )$ zu berechnen. Hierzu gibt es

• spezielle Approximationsformeln, die es erlauben, die Funktion $erf$ mit hoher Genauigkeit zu berechnen. Diese Formeln sind recht aufwändig und in der Auswertung langsam (man vgl. etwa die Implementierung in Matlab);
• rationale Bestapproximationen, die zwar nur eine geringe Genauigkeit liefern (ca. 4 Dezimalstellen), dafür aber leicht implementierbar sind;
• den kubischen Interpolationsansatz, der auf einer Tabelle von wenigen hochgenauen $erf$-Auswertungen beruht.

Zur rationalen Bestapproximation: Es wird das asymptotische Verhalten der Fehlerfunktion für $x\to \infty$ im Ansatz verwendet:

$\lim _{x\to \infty }\operatorname {erf} \,(x)=1,$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {1-\operatorname {erf} \,(x)}{\operatorname {erf} '(x)}}=\lim _{x\to \infty }\int \limits _{x}^{\infty }e^{x^{2}-t^{2}}\,dt=0.$

Hier ist $\operatorname {erf} '(x)$ die erste Ableitung der Fehlerfunktion, die sich übrigens explizit berechnen lässt:

$\operatorname {erf} '(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}$

Wir suchen nun eine Funktion $erf^{*}$ mit der Eigenschaft, dass $(1-\operatorname {erf} ^{*}\,(x))/\operatorname {erf} '\,(x))$ ein Polynom in der Variablen $\eta =1/(1+px)$ mit noch zu bestimmendem $p\geq 0$ ist, wobei dieser Quotient Für $x\to \infty$ (d. h. $\eta \to 0$) verschwinden soll:

${\frac {1-\operatorname {erf} ^{*}\,(x)}{\operatorname {erf} '\,(x)}}=\alpha _{1}\eta +\alpha _{2}\eta ^{2}+\alpha _{3}\eta ^{3}+\ldots .$

Approximieren wir bis zur dritten Potenz in \eta und machen wir den Ansatz

(4.20) $\operatorname {erf} ^{*}(x)=1-(\alpha _{1}\eta +\alpha _{2}\eta ^{2}+\alpha _{3}\eta ^{3})\operatorname {erf} '(x)mit\eta :={\frac {1}{1+px}}$

so können die freien Parameter $p,\alpha _{k},k=1,2,3$, so gewählt werden, dass der maximale Fehler

$\sup _{0\leq x\leq \infty }{\Bigl |}\operatorname {erf} ^{*}(x)-\operatorname {erf} \,(x){\Bigr |}\leq \varepsilon$

für vorgegebenes $\varepsilon >0$ minimiert wird.

Einen historischen Lösungsvorschlag liefert Hastings [6]. Die Approximationsformeln werden iterativ durch sog. ”Best-Fits” verbessert:

(1) Wähle Stützstellen $x_{0}<x_{1}<x_{2}<x_{3}$ und löse damit das nichtlineare Gleichungssystem

$\operatorname {erf} ^{*}(x_{k})=\operatorname {erf} \,(x_{k})$ für $k=0,1,2,3.$

Dies liefert die Parameter $p,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$.

(2) Plotte die Fehlerkurve $y(x):=\operatorname {erf} ^{*}(x)-\operatorname {erf} \,(x)$ zu den berechneten Parametern $p,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$. Daraus erkennt man Fehlermaxima in $x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},\ldots$.

(3) Man verteile die Fehler gewichtet auf vier der Extrema:

${\begin{pmatrix}y({\tilde {x}}_{4})\\y({\tilde {x}}_{5})\\y({\tilde {x}}_{6})\\y({\tilde {x}}_{7})\end{pmatrix}}\rightsquigarrow {\begin{pmatrix}y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{pmatrix}}.$

(4) Man löse das Ausgleichsproblem

$\operatorname {erf} ^{*}({\tilde {x}}_{k})-\operatorname {erf} \,({\tilde {x}}_{k})=y_{k},\quad k=4,5,6,7.$

Das ergibt neue Werte $p,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$. Damit kann ein weiterer Iterationsschritt ab Punkt (2) angefügt werden, um die Formel weiter zu verbessern.

Nach Hastings ergeben sich folgende Werte:

$p=0.47047,$

$\alpha _{1}=0.3088723233811960,$

$\alpha _{2}=-0.08605310845200509,$

$\alpha _{3}=0.6634219859238490.$

Als Matlab-Funktion kann man $erf^{*}$ folgendermaßen definieren:

% Berechnung der Fehlerfunktion mit ’BestFit’ nach Hastings
function result = erf1(x)
eta = 1/(1 + 0.47047*abs(x));
result = sign(x)*(1 − (((0.663422*eta−0.0860531)*eta ... + 0.308872)*eta)*1.128379*exp(−abs(x)^2));
return

Kubischer Interpolationsansatz: Die Idee des Ansatzes besteht darin, eine Approximation $erf^{**}$ durch Interpolation aus (sehr genau bekannten) Werten an einigen Stützstellen zu bestimmen. Die Vorgehensweise ist folgende:

(1) Vorgabe einer Fehlergröße $\varepsilon >0$ für die Approximation.

(2) Bestimmung einer Stützstelle $x_{\max }$ mit der Eigenschaft, dass $\operatorname {erf} \,(x)\geq 1-\varepsilon$ für alle $x\geq x_{\max }$ gilt. Diese Wahl ist immer möglich, da $\operatorname {erf}$ monoton wachsend und $\lim _{x\to \infty }=1$ ist.

(3) Berechnung der Stützwerte an den Stellen $x_{1},\ldots ,x_{n}$:

$e_{1}=\operatorname {erf} \,(x_{1}),\ldots ,e_{n}=\operatorname {erf} \,(x_{n}).$

Durch Symmetriebetrachtungen folgt übrigens $e_{-1}:=\operatorname {erf} \,(-x_{1})=-e_{1}$ und $e_{0}:=\operatorname {erf} \,(0)=0$.

(4) Abspeichern der dividierten Differenzen (siehe Numerik I):

$e[x_{k}]:=e_{k},\quad e[x_{k},\ldots ,e_{m}]:={\frac {e[x_{k+1},\ldots ,e_{m}]-e[x_{k},\ldots ,e_{m-1}]}{x_{k-m}-x_{k}}}$

und Berechnung des gesuchten Näherungswertes $\operatorname {erf} ^{**}(x)$ über Steigungsspiegel und Horner-Schema.

Für $x>x_{\max }$ setzt man $\operatorname {erf} ^{**}(x)=1$ und im Falle negativer Argumente benutzt an $\operatorname {erf} ^{**}(x)=-\operatorname {erf} ^{**}(-x)$.

(5) Den Fehler kann man abschätzen über

$\operatorname {erf} \,(x)-\operatorname {erf} ^{**}(x)=\omega _{4}{\frac {\operatorname {erf} ^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}},\quad \xi \in [x_{1},\ldots ,x_{n}].$

Hier bezeichnen $\omega _{0}(x):=1,\omega _{k}(x):=\prod _{j=1}^{k-1}(x-x_{j})$ jeweils die Basis-Polynome, $\operatorname {erf} ^{(n+1)}(\xi )$ die $(n+1)$-te Ableitung der Fehlerfunktion an der Stelle $\xi$.

4.3 Kennzahlen und Volatilität

Um Optionsscheine untereinander vergleichen zu können, werden sog. statische und dynamische Kennzahlen verwendet. Statische Kennzahlen ermöglichen eine qualitative Beurteilung der Preise zu einem bestimmten Zeitpunkt. Ihre Aussagekraft ist begrenzt.

Dynamische Kennzahlen erlauben eine zeitpunkt-bezogene Abschätzung von Preisentwicklungen von Optionen. Sie heißen auch ’Greeks’, da sie mit griechischen Buchstaben definiert werden.

Definition 4.1

Sei $V$ eine Call- oder eine Put-Option. Wir definieren

• Delta: $\Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}}$,
• Gamma: $\Gamma ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$,
• Vega (Kappa): $\kappa ={\frac {\partial V}{\partial \sigma }}$,
• Theta: $\theta ={\frac {\partial V}{\partial t}}$,
• Rho: $\rho ={\frac {\partial V}{\partial \nu }}$.

Ist der Optionspreis durch die Black-Scholes-Formeln (4.12) bzw. (4.19) gegeben, können wir die partiellen Ableitungen entsprechend der Definition explizit ausrechnen.

Proposition 4.1

Sei der Preis einer europäischen Call-Option durch (4.12) gegeben. Dann gilt:

$\Delta =\Phi (d_{1})>0,$

$\Gamma ={\frac {\Phi '(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}},$

$\kappa =S{\sqrt {T-t}}\Phi '(d_{1}),$

$\theta ={\frac {S\sigma \Phi '(d_{1})}{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}\Phi (d_{2}),$

$\rho =(T-t)Ke^{-r(T-t)}\Phi (d_{2}),$

wobei $S=S_{t}$ und $\Phi '(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(-x^{2}/2)$ gilt.

Beweis:

Übungsaufgabe. Man beginne mit $S\Phi '(d_{1})=Ke^{-r(T-t)}\Phi '(d_{2})$.

Folgerung 4.1

Zwischen den Kennzahlen $\Delta ,\Gamma$ und $\theta$ besteht folgender Zusammenhang:

$\theta ={\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}\Gamma +rS\Delta -rV.$

Beweis:

Die Behauptung folgt unmittelbar aus der Black-Scholes-Gleichung (4.8) und aus der Definition 4.1.

Weitere Bemerkungen zu Greeks: (d.h. zu Kennzahlen von Optionen)

Vorzeichen:

${\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline &{\text{Delta}}&{\text{Gamma}}&{\text{Theta}}&{\text{Vega}}&{\text{Rho}}\\\hline {\text{Aktie long}}&+&0&0&0&0\\{\text{Call long}}&+&+&-&+&+\\{\text{Call short}}&-&-&+&-&-\\{\text{Put long}}&-&+&-&+&-\\{\text{Put short}}&+&-&+&-&+\\\hline \end{array}}$

$\Delta ={\frac {\partial V}{\partial S}},\quad \Gamma ={\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}},$

$V$: Optionspreis, $S$: Preis des Underlyings
Basispreis steigt um 1,–€, Optionspreis steigt um $\Delta$ €

$\Theta ={\frac {\partial V}{\partial t}}$

$V$: Optionspreis, $t$: Restlaufzeit
Restlaufzeitverkürzung um 1 Tag, Optionspreisänderung um $\Theta /360$ €

$\kappa ={\frac {\partial V}{\partial \sigma }},$

$V$: Optionspreis, $\sigma$: Volatilität
Volatilität steigt um 1 Prozentpunkt, Optionspreis steigt um Vega Prozentpunkte

$\rho ={\frac {\partial V}{\partial r}}.$

$V$: Optionspreis, $r$: (risikoloser) Zinssatz

Zur Bestimmung der Optionsprämie eines Calls muss die Volatilität $\sigma$ bekannt sein. Nun gibt $\sigma$ die durchschnittlichen Kursschwankungen des Basiswertes an, die nur für die Vergangenheit vorliegen. In die Black-Scholes-Gleichung müssen jedoch die Werte der Volatilität für zukünftige Zeiten $t\geq 0$ eingesetzt werden. Um möglichst präzise Werte für die Optionspreise zu erhalten, ist eine gute Schätzung der Volatilität notwendig.

Folgende zwei Ansätze werden benutzt:

Historische Volatilität: Die historische Volatilität $\sigma _{\text{hist}}$ ist durch die Kurswerte des Basiswertes aus der Vergangenheit gegeben. Mathematisch gesehen ist $\sigma _{\text{hist}}$ die annullierte Standardabweichung der logarithmischen Kursänderungen. Seien die Kurse $S_{1},\ldots ,S_{n}$ eines Basiswertes gegeben und definiere

$y_{k}=\ln {\frac {S_{k+1}}{S_{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,n-1,\quad {\bar {y}}={\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n-1}y_{k}.$

Dann ist die historische Volatilität definiert durch

$\sigma _{\text{hist}}={\sqrt {N}}\left({\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n-1}(y_{k}-{\bar {y}})^{2}\right)^{1/2},$

wobei $N$ die durchschnittliche Anzahl der Börsentage ist. Diese Definition ist nicht eindeutig. Man kann z. B. Kurswerte aus der jüngeren Vergangenheit stärker wichten als ältere Werte. Nimmt man an, dass sich die Kursschwankungen des Basiswertes in der Zukunft ähnlich verhalten wie in der Vergangenheit, so ist die Wahl $\sigma =\sigma _{\text{hist}}$e in der Black-Scholes-Gleichung ein möglicher Ansatz.

Implizite Volatilität: Ist der Optionspreis $V_{C,0}$ zur Zeit $t<T$ bekannt, so kann die Volatilität $\sigma _{\text{impl}}$ aus der Black-Scholes-Formel berechnet werden, sofern die anderen Parameter bekannt sind. Die so bestimmte Volatilität wird implizite Volatilität genannt.

Es bleibt zu klären, ob diese Berechnung ein eindeutiges Ergebnis liefert. Die Black-Scholes-Formel (4.12) für Call-Optionen zeigt, dass die Parameter $d_{1/2}$ von $\sigma$ abhängen, d. h. $d_{1/2}=d_{1/2}(\sigma )$ und

$V_{C}(\sigma )=S\Phi (d_{1}(\sigma ))-Ke^{-r(T-t)}\Phi (d_{2}(\sigma )).$

Wir suchen $\sigma _{\text{impl}}>0$, so dass $V_{C}(\sigma _{\text{impl}})=V_{C,0}$ erfüllt ist.

Dieses Problem hat eine eindeutige Lösung, da $\partial V_{C}/\partial \sigma$ stets positiv, d. h. $\sigma \mapsto V_{C}(\sigma )$ streng monoton wachsend ist. Die so erhaltene Volatilität $\sigma _{\text{impl}}$ kann als Orientierung zukünftiger Werte von \sigma verwendet werden.

Das Problem $V_{C}(\sigma )=V_{C,0}$ kann mit dem Newton-Verfahren gelöst werden. Man findet die (eindeutig bestimmte) Nullstelle der Funktion $f(\sigma ):=V_{C}(\sigma )-V_{C,0}$ durch Iteration; die Folge $\sigma _{k}$ konvergiert gegen $\sigma _{\text{impl}}$ für $k\to \infty$.

Beispiel:

Wir betrachten eine europäische Call-Option auf den DAX-Index mit

$K=3800,T=3$ Monate, $C=106$.

Es gelte $S=3607.1$ zur Zeit $t=0$ (DAX-Index am 01.09.2003). Wir nehmen an, dass $r=0.025$ an diesem Tag galt (Tageszinssatz am 01.11.03 ist 2.5 %). Wir erhalten mit Hilfe des folgenden Matlab-Programms die Werte

C = 146.555948, sigma = 0.242140
C = 106.425553, sigma = 0.241518
C = 106.000076, sigma = 0.241518
C = 106.000000, sigma = 0.241518

Die implizite Volatilität beträgt $\sigma _{\text{impl}}=0.2415$.

% Berechnung der impliziten Volatilitaet mit dem Newton-Verfahren
S = 3607.71; t = 0; r = 0.025; T = 3/12; K = 3800; C = 106;
sigma = 0; sigma0 = 0.3; error = 1e−8;
while abs(sigma0 − sigma) > error
  sigma = sigma0;
  C0 = call(S,t,K,r,sigma,T);
  d1 = (log(S/K)+(r+0.5*sigma^2)*(T−t))/(sigma*sqrt(T−t));
  kappa = S*sqrt(T)*exp(−d1^2/2)/sqrt(2*pi);
  sigma0 = sigma − (C0 − C)/kappa;
  fprintf(’C = %f, sigma = %f\n’, C0, sigma0);
end

Beispiel:

Wir wollen noch die implizite Volatilität für andere Calls auf den DAX-Index bestimmen, die Optionsprämien, Verfallsdaten und berechneten impliziten Volatilitäten sind unten angegeben. Die Werte gelten für den 01.09.2003, der DAX-Index zeichnete an diesem Tag mit 3607.71.

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{Ausübungspreis}}&{\text{Optionspreis (Call)}}&{\text{Verfallstag}}&{\text{impl. Volatilität}}\\\hline 3700&126&18.11.03&0.2410\\3900&82&25.11.03&0.2515\\4100&46&24.11.03&0.2603\\4300&26&30.11.03&0.2558\\\hline \end{array}}$

Die implizite Volatilität ist vom Ausübungspreis abhängig. Das deutet an, dass die Black-Scholes-Formel nicht perfekt modelliert. Zahlreiche Forschungsarbeiten beschäftigen sich derzeit mit Modellverbesserungen.

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