Kurs:Modellierung und Numerische Methoden von Finanzderivaten/6 Numerische Lösung parabolischer Differentialgleichungen

In Kapitel 5 haben wir die Monte-Carlo-Methode zur Lösung stochastischer Differentialgleichungen kennengelernt und gesehen, dass diese Methode im allgemeinen recht zeit- und rechenintensiv ist. Die Preise exotischer Optionen können häufig auch durch die Lösung einer partiellen Differentialgleichung vom Black-Scholes-Typ bestimmt werden. Diese Differentialgleichungen können allerdings im allgemeinen nicht explizit gelöst werden. In diesem Kapitel stellen wir einige Techniken vor, mit denen diese Gleichungen numerisch gelöst werden können.

Als einführendes Beispiel leiten wir eine parabolische Differentialgleichung zur Bewertung asiatischer Optionen her (Abschnitt 6.1). In den folgenden Abschnitten erläutern wir zwei numerische Techniken, mit denen die Gleichung für asiatische Optionen gelöst werden kann: die Methode der Finiten Differenzen (Abschnitt 6.2) und eine Anwendung auf Power-Optionen (Abschnitt 6.3) sowie die (vertikale) Linienmethode (Abschnitt 6.4) und eine Anwendung auf Basket-Optionen (Abschnitt 6.5).

6.1 Asiatische Optionen Bearbeiten

Asiatische Optionen sind Optionen, deren Auszahlungsfunktion von den Kursen des Basiswerts   abhängt, gemittelt über die Laufzeit   der Option. Je nachdem, wie der Mittelwert gebildet wird, gibt es verschiedene Typen asiatischer Optionen:

  • Der Mittelwert   bezieht sich auf diskrete Zeitpunkte   oder auf stetige Zeitpunkte  .
  • Der Mittelwert   ist arithmetisch oder geometrisch.

Außerdem werden die Optionen je nach den Auszahlungsmodalitäten unterschieden:

  • Besitzt die Option die Auszahlungsfunktion   (für einen Call) bzw.   (für einen Put), so nennen wir sie strike option; im Falle eines Payoffs   (Call) bzw.   (Put) mit Ausübungspreis   heißt sie rate option.
  • Die asiatische Option kann vom europäischen oder amerikanischen Typ sein.

Es bleibt der Mittelwert   für die verschiedenen Situationen zu definieren. Im diskreten Fall haben wir:

arithmetisch:  
geometrisch:  

Den stetigen Fall erhalten wir im (formalen) Grenzwert  , wenn wir   für festes   schreiben. Bei der arithmetischen Mittelung erhalten wir ein Integral:

 

Der Grenzwert bei der geometrischen Mittelung ist etwas komplizierter:

 

Die Auszahlungsfunktion eines arithmetic-average-strike calls beispielsweise lautet:

 

Wir betrachten im folgenden nur asiatische Optionen vom europäischen Typ, deren Auszahlungsfunktion nur von   und

(6.1)  

abhängt, d.h.  . Im Falle eines arithmetic-average-strike calls ist   und  . Für derartige Optionen wollen wir den fairen Preis als Lösung einer parabolischen Differentialgleichung bestimmen, indem wir die Duplikationsstrategie aus Abschnitt 4.2 anwenden. Wir machen dieselben Voraussetzungen an den Finanzmarkt wie in Abschnitt 4.2 bei der Herleitung der Black-Scholes-Gleichung. Insbesondere nehmen wir an, dass die Kurswerte   für   unabhängig von   sind. Dies bedeutet, dass der Kurs des Basiswerts nicht von den vergangenen Kursen abhängen soll. Daher können wir   als eine von   unabhängige Variable ansehen. Der Optionspreis wird also im allgemeinen von   und   abhängen.

Seien wie in Abschnitt 4.2   ein Bond mit risikofreier Zinsrate   und   der Optionspreis. Ferner sei   ein risikoloses Portfolio mit infinitesimaler Änderung

(6.2)  

Der Basiswert und der Bond ändern sich nach Voraussetzung gemäß

 

und die stochastische Differentialgleichung für   lautet wegen Gleichung (6.1):

 

Nach einer Variante des Lemmas 3.1 von Itô wird die Änderung von   beschrieben durch

 

wobei von nun an   die partielle Ableitung von   nach   bezeichnet und   Terme von ”kleinerer” Größenordnung als   sind. (Genauer gilt   für   genau dann, wenn   für  .) Setzen wir die stochastischen Differentialgleichungen für   und   ein, benutzen die Merkregel   und vernachlässigen Terme höherer Ordnung, so erhalten wir

 

Diese Formel ist das Analogon zu Gleichung (4.5).

Wir sind nun in der Lage, die stochastischen Differentialgleichungen für   und   in (6.2) einzusetzen:

 

Setzen wir wie in Abschnitt 4.2  , so wird das Portfolio   risikofrei. Andererseits gilt aus Arbitrage-Gründen, dass

 

Gleichsetzen der beiden letzten Gleichungen und Identifizieren der Koeffizienten vor dt ergibt eine parabolische Differentialgleichung für den Optionspreis  :

(6.3)  

Die Gleichung ist zu vervollständigen mit End- und Randbedingungen:

 
  und
  und
  und
 

Die Definitionen von   und   hängen vom speziellen Optionstyp ab. Für arithmetic-average-strike calls gilt etwa  .

Im Vergleich zur Black-Scholes-Gleichung (4.8) erhalten wir eine Differentialgleichung mit partiellen Ableitungen in   und  . Diese Gleichung (mit geeigneten End- und Randbedingungen) ist im allgemeinen nicht explizit lösbar. Die numerische Lösung von (6.3) ist recht aufwendig, da die Ableitung   fehlt und ein Problem in drei Variablen gelöst werden muss. Für eine spezielle Klasse von Auszahlungsfunktionen und für arithmetische Mittelungen kann Gleichung (6.3) jedoch in eine Differentialgleichung in zwei Variablen transformiert werden.

Satz 6.1 Bearbeiten

Sei   eine Lösung der Gleichung (6.3) mit   und sei die Auszahlungsfunktion   durch
 
für ein   und eine Funktion   mit   gegeben. Dann löst die Funktion   die Gleichung
(6.4)  

Beweis: Bearbeiten

Aus der Definition   folgt durch Differenzieren:

 
 
 
 
 
 

Aus (6.3) folgt mit  :

 

Damit ist der Beweis komplett.

q.e.d.

Beispiel 6.1 Bearbeiten

Im Falle eines arithmetic-average-strike calls können wir die Gleichung (6.3) mittels Satz 6.1 vereinfachen. Die Voraussetzung des Satzes ist wegen

 

mit   und   erfüllt. Der Preis der Call-Option lautet also  , wobei   die Differentialgleichung

(6.5)  

erfüllt. Die Endbedingung lautet

(6.6)  

Wir spezifizieren nun geeignete Randbedingungen an   und für  . Im Falle   und für festes   muss   gelten. Die Call-Option wird dann nicht ausgeübt und ist wertlos an  :

(6.7)   für  

Für die Randbedingung an   können wir nicht einfach   wählen (was sich naiv aus  ,   endlich, also   für   und damit   für alle   ergäbe). Um dies heuristisch einzusehen, leiten wir eine stochastische Differentialgleichung für   her. Nach dem Lemma 3.1 von Itô und der Definition des Itô-Prozesses   ist

 

Aus der Definition   und   folgt

 
 
 

und daher

 

Interpretieren wir   als infinitesimale Änderung von  , so gilt für  , d. h., wir haben  , selbst wenn   ist. Es muss also nicht   bis zum Verfallstag gelten, wenn   gilt. Der Wert   ist dann aber nicht klar.

Wir leiten eine Randbedingung für   her, indem wir annehmen, dass die Differentialgleichung (6.5) auch für   gilt. Genauer gesagt muss der Grenzwert   in (6.5) gelten. Wir setzen voraus, dass   zweimal stetig differenzierbar in   ist (gemeint ist der rechtsseitige Grenzwert). Dann ergibt sich für   in (6.5):

(6.8)  

Der Wert V eines arithmetic-average-strike calls ergibt sich also aus  , wobei   die Lösung von (6.5)-(6.8) ist. Üblicherweise diskretisieren wir das Problem (6.5)-(6.8) nicht auf der gesamten positiven Zahlenachse  , sondern nur in dem beschränkten Intervall   mit genügend ”großem”  ; man vergleiche hierzu Abschnitt 6.2.

Welche Möglichkeiten gibt es, die Differentialgleichung (6.5) zu diskretisieren? Wir stellen drei Vorgehensweisen vor.

  • Finite Differenzen: Wir versehen das Gebiet   mit einem Gitter
 
Ferner ersetzen wir die partiellen Ableitungen von   durch finite Differenzen, etwa
 
und definieren Approximationen   von  . Dann erhalten wir ein System von Differenzengleichungen bzw. ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten   für  . Im allgemeinen ist dieses Gleichungssystem sehr groß. Wir diskutieren die Methode in Abschnitt 6.2 näher.
  • (Vertikale) Linienmethode: Wir approximieren nur die Ableitungen nach der Variablen   durch Differenzenquotienten, d. h. wir überziehen das Gebiet   mit vertikalen Linien
 
und approximieren   durch eine Funktion  . Wir erhalten ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen für  . Zur Dikussion ist Abschnitt 6.4 vorgesehen.
  • (Horizontale) Linienmethode oder Rothe-Methode: Wir überziehen das Gebiet mit horizontalen Linien
 
und approximieren   durch die Funktion  , indem wir die partielle Ableitung von   nach   durch einen Differenzenquotient ersetzen. Dies ergibt unter Beachtung der Randbedingungen bei   ein lineares Randwertproblem gewöhnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung für die Funktionen  .

Die beiden zuerst genannten Methoden sind für vorliegende Aufgabe gebräuchlicher, deshalb gehen wir nicht näher auf die letztgenannte Technik ein.

6.2 Methode der finiten Differenzen Bearbeiten

Die Idee der Methode der Finiten Differenzen ist es, Differentialquotienten durch Differenzenquotienten zu ersetzen. Wir illustrieren diese Methode nur kurz anhand der einfachen Diffusionsgleichung

(6.9)  

die aus der Black-Scholes-Gleichung durch Variablentransformation entsteht (vgl. (4.15)).

Für die numerische Approximation grenzen wir das Problem auf ein beschränktes Intervall   mit   ein. Wir setzen

(6.10)  

mit geeigneten approximativen Randfunktionen  , deren Gestalt von der zu berechnenden Option abhängt. Man kann zeigen, dass die Einschränkung des Problems auf das Intervall   die Lösung nicht stark verändert, wenn nur   groß genug ist.

Wir geben nun einige Schritte zur Gewinnung der (6.9) entsprechenden Differenzengleichung an. Zunächst führt man Gitterpunkte   mit

 

und den konstanten Schrittweiten   und   ein. Dann werden die Funktionen   nach der Taylorformel bzgl.   entwickelt, die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt (man verwendet sog. Vorwärts-, Rückwärts- und zentrale Differenzenquotienten) und in die Differentialgleichung eingesetzt. Meist nutzt man Kombinationen verschiedener vorwärtiger und rückwärtiger Differenzenquotienten und erhält so rekursiv aufgeschriebene Differenzengleichungen, die ”schichtweise” bzgl. der Zeitschichten   gelöst werden können. Wir bezeichnen die approximierende Funktion für   in den Gitterpunkten durch  , man erhält unter Verwendung der Abkürzung   etwa folgende Darstellung:

(6.11)  

Der Parameter   kann hier beliebig aus dem Intervall   gewählt werden, die Indizes laufen wie folgt:  .

Die Rand- und Anfangsbedingungen müssen noch verarbeitet werden:

(6.12)  
(6.13)  

Wir können das diskrete System (6.11)-(6.12) kompakt als lineares Gleichungssystem auffassen:

(6.14)  

  sind Tridiagonalmatrizen,   ein Vektor, der die Randbedingungen enthält. Der Startvektor ist durch die Anfangswerte in (6.12) gegeben.

Für   ist   die Einheitsmatrix und die Approximationen   können direkt berechnet werden. Daher nennt man das Differenzenverfahren mit   ein explizites Verfahren. Für   erhalten wir implizite Verfahren, bei denen   nur durch Lösen eines linearen Gleichungssystems berechnet werden kann. Das Verfahren mit   heißt (voll) implizit. Ist  , so sprechen wir vom Crank-Nicolson-Verfahren und für allgemeine Werte von   von einem  -Verfahren.

Wie können die linearen Gleichungssysteme (6.14) gelöst werden? Eine sehr effiziente Methode ist das LR-Verfahren. Eine einfache Rechnung zeigt, dass die Matrix   die Zerlegung   besitzt. Die Koeffizienten sind rekursiv definiert, das lineare Gleichungssystem   ist dann äquivalent zu

 

und beide Systeme können einfach aufgelöst werden.

Bemerkung: Bearbeiten

Im allgemeinen ist das Cholesky-Verfahren für lineare Gleichungssysteme um den Faktor 2 effizienter als die LR-Zerlegung, für Systeme mit tridiagonaler Matrix gilt dies allerdings nicht.

 

Damit die Folge linearer Gleichungssysteme eine sinnvolle Approximation liefert, müssen zwei Eigenschaften erfüllt sein:

  • Für jedes feste, aber beliebige   sollte eine eindeutige Lösung   exisiteren.
  • Die approximierte Lösung   sollte gegen die Lösung   der Differentialgleichung (6.9) konvergieren, wenn die Diskretisierungsparrameter   und   gegen Null gehen.

Ein Hauptresultat der Numerik linearer Finite-Differenzen-Schemata besagt, dass Konvergenz äquivalent zu Konsistenz und Stabilität des numerischen Schemas ist. Ein Differenzenverfahren heißt konsistent von der Ordnung  , wenn es eine Konstante   gibt, so dass für alle genügend kleinen Parameter   gilt

 

wobei   der Differenzenoperator ist:

 

Für die Stabilität eines Differenzenverfahrens gibt es verschiedene Definitionen. Wir nennen das beschriebene Verfahren stabil, wenn alle Eigenwerte der Matrix   betragsmäßig kleiner als Eins sind.

Bezüglich Existenz und Eindeutigkeit der Lösung verweisen wir auf eine Fortgeschrittenen-Vorlesung über numerische Methoden für Differentialgleichungen oder auf die zahlreiche Literatur.

Wir weisen zum Abschluss der Betrachtungen noch auf einen interessanten Zusammenhang hin, nämlich den

Zusammenhang mit der Binomialmethode: In Abschnitt 2.5 haben wir gezeigt, dass der mit der Binomialmethode berechnete Preis einer europäischen Option im Grenzwert verschwindender Zeitschrittweiten gegen die Lösung der Black-Scholes-Differentialgleichung konvergiert. Wir zeigen nun ein in gewisser Weise umgekehrtes Resultat: Das explizite Differenzenverfahren kann als Binomialmethode interpretiert werden. Dazu betrachten wir die Black-Scholes-Gleichung (4.8), in der wir die Transformationen   und   durchführen. Aus

 
 

folgt

(6.15)  

Den Term   diskretisieren wir mit zentralen finiten Differenzen,   einseitig (vorwärts oder rückwärts) oder zentral. Eine Variante der expliziten Finite-Differenzen-Approximation von (6.15) lautet also

(6.16)  

oder nach   aufgelöst:

 

Man beachte, dass hier rückwärts gerechnet wird:   ist gegeben und   wird berechnet.

Die Identifikation dieses Finite-Differenzen-Schemas mit der Binomialmethode basiert auf der Bedingung

 

Man kann nun zeigen, dass das explizite Verfahren stabil ist, wenn   gilt, wobei in unserem Fall der Diffusionskoeffizient den Wert   besitzt. Die obige Annahme kann also als eine Stabilitätsbedingung interpretiert werden. Mit dieser Voraussetzung ergibt sich für das Schema:

(6.17)  

wobei

 

Der Preis einer europäischen Option lautet gemäß der Binomialmethode im Ein-Perioden-Modell (siehe (2.1)):

 

Setzen wir wie in Abschnitt 2.5   und  , so folgt aus   für  :

 
 

denn    . Mit der obigen Definition von   folgt

 

und wegen  

 

Diese Gleichung ist bis auf einen Fehler der Ordnung   gleich der Finite-Differenzen-Approximation (6.17). Wir haben bewiesen:

Proposition 6.1 Bearbeiten

Seien
  und  .
Dann kann das explizite Finite-Differenzen-Verfahren (6.16) bis auf einen Fehler der Ordnung   als Binomialmethode interpretiert werden.

6.3 Beispiel: Power-Optionen Bearbeiten

Ein European-capped-symmetric-power call ist durch die Auszahlfunktion

  mit  

definiert. Der Zusatz ”capped” zeigt an, dass die Auszahlung durch die Schranke   nach oben begrenzt ist. Es gibt übrigens auch unsymmetrische Power-Calls; diese haben den Payoff  . Ein Spezialfall ist   und  ; dieser entspricht dem europäischen Plain-Vanilla-Call.

Da wir eine europäische Power-Option betrachten, ist der Optionswert   durch die Lösung der Black-Scholes-Gleichung mit Endbedingung sowie mit geeigneten Randbedingungen für   und für   gegeben. Die Suche geeigneter Randbedingungen liefert:

Der Power-Call ist wertlos, wenn   ist, d.h. es gilt

  für  .

Anstelle von   kann auch der dikontierte Wert   vorgeschrieben werden. Nun wird die Black-Scholes-Gleichung mit den angegebenen Rand- und Anfangsbedingungen gelöst.

Resultate findet man mit dem Matlab-Programm powercall.m

% Berechnung eines europaeischen Power-Calls
% Parameter und Abkuerzungen
K = 100; r = 0.04; sigma = 0.2; T = 1; L = 150; p = 1.2;
a = 3; theta = 0.5; N = 100; M = 20; T0 = sigma^2*T/2;
h = 2*a/N; % Ortsschrittweite
s = T0/M; % Zeitschrittweite
alpha = s/h^2; k = 2*r/sigma^2;
x = [−a:h:a]; S = K*exp(x);
% Anfangswerte
C0 = min(L,max(0,S−K).^p);
u0 = exp(0.5*(k−1)*x).*C0/K;
% LR-Zerlegung von A
A = (2*alpha*theta+1)*eye(N−1);
for i=1:N−2
  A(i,i+1) = −alpha*theta;
  A(i+1,i) = −alpha*theta;
end
[LL,RR] = lu(A);
% Loesung der Differentialgleichung
u = u0;
for t=s:s:T0
  b(1:N−1) = alpha*(1−theta)*(u(3:N+1)+u(1:N−1)) . . .
  − (2*alpha*(1−theta)−1)*u(2:N);
  y = LL\b’;
  u(2:N) = RR\y;
  if ((t >= T0/2) & (t <= T0/2+s))
    u1 = u;
  end
end
% Ruecktransformation
C1 = K*exp(−0.25*(k+1)^2*T0/2)*exp(−0.5*(k−1)*x).*u1;
C2 = K*exp(−0.25*(k+1)^2*T0)*exp(−0.5*(k−1)*x).*u;
plot(S,C0,’-.’), hold on
plot(S,C1,’--’), plot(S,C2)

6.4 Amerikanische Optionen Bearbeiten

Amerikanische Optionen können zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb der Laufzeit ausgeübt werden. Wegen dieses zusätzlichen Rechtes sind sie im allgemeinen teurer als europäische Optionen. Da der Ausübungszeitpunkt vorab nicht bekannt ist, muss dieser als sog. freier Rand zusätzlich bestimmt werden, zu lösen ist im mathematischen Sinne eine ”Freie Randwertaufgabe”.

Wir untersuchen eine amerikanische Put-Option vom Preis   und vergleichen diese mit der entsprechenden europäischen Option  . Bekanntlich gilt

  für  .

Aus   und der Stetigkeit von   in einer Umgebung von   folgt dann

 

für hinreichend kleines   mit   und  .

Wir definieren nun einen Kontaktpunkt   von der Zeit   abhängt, d. h.  . Charakterisiert wird der Kontaktpunkt   durch die Beziehungen

(6.19)  

Die Lage der Mannigfaltigkeit  , ist zunächst unbekannt. Den Stoppzeitpunkt   und damit die Lage des Kontaktpunktes bestimmt der Halter der Option durch seine Ausübungsentscheidung; mathematisch ist der Schnittpunkt zwischen einem Pfad und der Lösung (6.19) ausschlaggebend. Daraus wird eine Randbedingung gewonnen.

Randbedingung: Der Anstieg  , mit dem die Funktion   die Gerade   tangential berührt, nimmt den folgenden Wert an:

(6.20)  

Andererseits gilt für   die Abklingbedingung. Dazu gilt im Gebiet für   und in   die Differentialgleichung

(6.21)  

Bemerkung: Bearbeiten

Mit   wird eine (stetige) Dividendenausschüttung bezeichnet. Man kann zeigen, dass im Fall eines Calls und für   eine vorzeitige Ausübung der Option keinen Gewinneffekt liefert.

Das beschriebene Problem kann auch als Black-Scholes-Ungleichung beschrieben werden. Wir geben die Beziehungen nur für den Fall einer Put-Option an:

  für   (stop)
  löst Gleichung (6.21) für   (hold)

Eine analytische Lösung des asymptotischen Problems für   wurde in den Jahren 1986/87 von MacMillan, Barone-Adesi und Whaley (MBAW-Methode) konstruiert. Später (1992) wurde eine genauere Lösung unter Verwendung der Laplace-Transformation und einer quadratischen Approximation der Lösung der verbleibenden gewöhnlichen Differentialgleichung von Carr, Jarrow und Myneni (CJM-Methode) beschrieben.

Wir gehen kurz auf die MBAW-Methode ein:

Wegen   können wir eine Funktion   definieren, so dass gilt

(6.23)  

Für   ist die zeit-unabhängige Gleichung

(6.24)  

die als Eulersche Differentialgleichung behandelt werden kann, zu lösen. Wir setzen der Einfachheit halber   und erhalten für eine der Lösungen, die für   die Eigenschaft   besitzt, den Ausdruck

(6.25)   bel. Konstante.

Nun gilt auf dem freien Rand die Stetigkeitsbedingung für den Optionspreis und wir errechnen mittels der oben formulierten Randbedingung

(6.26)  

so dass sich eine Bestimmungsgleichung für   mit der Bezeichnung   für die Ableitung der Lösung der europäischen Put-Option (Greek ”Delta”) gerade zu

(6.27)  

ergibt. Zum Beispiel lassen sich mit Hilfe eines Formelmanipulationssystems (Maple, Mathematica, ...) der Wert   und schließlich auch die Lösungen   und   des nichtlinearen Gleichungssystems im asymptotischen Fall   bestimmen.

Eine Abänderung des Modells durch Einführung bzw. Abspaltung einer asymptotisch fallenden Funktion   und für die Zeit   führt auf kompliziertere, nichtlineare Ausdrücke. Die Zahlenrechnung ergibt dann

AmericanPutMBAW[100, 100, 0.3, 0.03, 0, 1] = 10.6010
BlackScholesPut[100, 100, 0.3, 0.03, 0, 1] = 10.3279

Zum Vergleich erhält man bei 5-jähriger Laufzeit:

AmericanPutMBAW[100, 100, 0.3, 0.03, 0, 5] = 20.2494
AmericanPutCJM[100, 100, 0.3, 0.03, 0, 5] = 20.0304

(Methode von Carr, Jarrow, Myneni)

Auf eine Beschreibung von Differenzenmethoden (FDM - Finite Difference Methods) sei an dieser Stelle verzichtet, obwohl dies eine praktisch gut realisierbare Methode zur approximativen Berechnung freier Randwertprobleme ist.

6.5 Vertikale Linienmethode Bearbeiten

(– numerische Methode zur Abspaltung des Zeit-Anteils einer parabolischen, partiellen Differentialgleichung, siehe unter dem Stichwort ”Numerik partieller Differetialgleichungen” –)

6.6 Beispiel: Basket-Optionen Bearbeiten

Untersuchung der Zusammenfassung mehrerer Aktien zu einem Aktienpaket (”Basket”). Bei einer größeren Anzahl werden meist stochastische Pfadsimulationen angewendet.