Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Dirichletproblem für nichtlineare elliptische Systeme

Hilfssatz 1 (A-Priori-Abschätzung)

Seien $\alpha \in (0,1)$ und $a\in [0,+\infty ),M\in (0,+\infty )$ mit $2aM<1$ gewählt. Dann gibt es eine Konstante $C_{1}(a,M,\alpha )$, so dass für alle Lösungen des Problems

(1) ${\begin{matrix}{\mathfrak {z}}={\mathfrak {z}}(u,v)\in C^{2}(B)\cap C^{1}({\overline {B}}),\\\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)={\mathfrak {G}}(w,{\mathfrak {z}}(w),\nabla {\mathfrak {z}}(w))\ f{\ddot {u}}r\ alle\ w\in B,\\{\mathfrak {z}}(w)=0\ f{\ddot {u}}r\ alle\ w\in \partial B\end{matrix}}$

die folgende Abschätzung gilt:

$\|{\mathfrak {z}}\|_{C^{1+\alpha }({\overline {B}},\mathbb {R} ^{n})}\leq C_{1}(a,M,\alpha ).$