- Das Variationsproblem
(1)
- besitzt für eine Lösung , welche eine -Fläche mit als Berandung darstellt.
Wir erklären
und wählen eine Minimalfolge mit
(2)
Wir gehen über zu einer Folge , die
(3)
erfüllt. Wir können die stetigen Randwerte von eindeutig durch eine Lösung des Rellichschen Systems ergänzen,
(4)
in
,
auf
.
Es gilt die Ungleichung
(5)
Wegen
(6)
für alle
hat die Folge ein gleichmäßig beschränktes Dirichletintegral. Nach dem Courant-Lebesgue-Lemma sind die Randwerte gleichgradig stetig und wir können nach dem Jägerschen Maximumprinzip aus §1 zu einer auf gleichmäßig konvergenten Teilfolge übergehen. Gemäß §2, Satz 2 finden wir eine Grenzfunktion , welche
(7)
in
genügt. Aus (5) erhalten wir wegen der Konvergenz in die Ungleichung
(8)
und somit . Also ist konform parametrisiert und bildet eine -Fläche.
q.e.d.