Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Ein Ausblick auf das Plateausche Problem

Satz 1 (Plateauproblem)

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Das Variationsproblem
(1)
besitzt für eine Lösung , welche eine -Fläche mit als Berandung darstellt.

Wir erklären

und wählen eine Minimalfolge mit

(2)

Wir gehen über zu einer Folge , die

(3)

erfüllt. Wir können die stetigen Randwerte von eindeutig durch eine Lösung des Rellichschen Systems ergänzen,

(4) in , auf .

Es gilt die Ungleichung

(5)

Wegen

(6) für alle

hat die Folge ein gleichmäßig beschränktes Dirichletintegral. Nach dem Courant-Lebesgue-Lemma sind die Randwerte gleichgradig stetig und wir können nach dem Jägerschen Maximumprinzip aus §1 zu einer auf gleichmäßig konvergenten Teilfolge übergehen. Gemäß §2, Satz 2 finden wir eine Grenzfunktion , welche

(7) in

genügt. Aus (5) erhalten wir wegen der Konvergenz in die Ungleichung

(8)

und somit . Also ist konform parametrisiert und bildet eine -Fläche.

q.e.d.