Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Eine Krümmungsabschätzung für Minimalflächen

Hilfssatz 1 (Stetiges Randverhalten)

Die harmonische Abbildung ${\mathfrak {z}}={\mathfrak {z}}(w)$ der Klasse $\Gamma (B,0,0,+\infty )$ erfülle

(1) $|{\mathfrak {z}}(e^{i\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\leq \varepsilon$ für alle $\varphi \in [\vartheta -\delta ,\vartheta +\delta ]$

mit einem $\vartheta \in [0,2\pi )$, einem $\delta \in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)$ und mit einem $\varepsilon >0$. Dann gilt die Abschätzung

(2) $|{\mathfrak {z}}(re^{i\vartheta })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\leq \varepsilon +{\frac {4}{\sin ^{2}\delta }}(1-r)$ für alle $r\in (0,1)$.

Beweis

Aus der Poissonschen Integralformel

${\mathfrak {z}}(re^{i\vartheta })={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })\,d\varphi$

erhalten wir für alle $r\in (0,1)$

$|{\mathfrak {z}}(re^{i\vartheta })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi$

$={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{-\delta }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\delta }^{\delta }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{\delta }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi ,$

wobei wir noch

${\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}\,d\varphi =1$ für alle $r\in (0,1)$

benutzt haben. Nun gilt $|e^{i\varphi }-r|\geq \sin \delta$ für alle $\varphi \in [-\pi ,-\delta ]\cup [\delta ,\pi ]$ und alle $r\in (0,1)$. Zusammen mit (1) folgt

$|{\mathfrak {z}}(re^{i\vartheta })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-r^{2}}{\sin ^{2}\delta }}2\cdot 2\pi +\varepsilon \leq 2{\frac {(1-r)(1+r)}{\sin ^{2}\delta }}+\varepsilon \leq {\frac {4}{\sin ^{2}\delta }}(1-r)+\varepsilon$ für alle $r\in (0,1)$.

q.e.d.

Satz 1 (Krümmungsabschätzung von Heinz)

Sei $R\in (0,+\infty )$ gewählt und $B_{R}:=\{z=x+iy\in \mathbb {C} :|z|<R\}$ erklärt. Dann gibt es eine universelle Konstante $M\in (0,+\infty )$, so dass für alle Lösungen der Minimalflächengleichung

(3) ${\begin{matrix}z=\zeta (x,y)\in C^{2+\alpha }({\overline {B_{R}}},\mathbb {R} ),\quad \alpha \in (0,1),\\{\mathcal {M}}\zeta (x,y):=(1+\zeta _{y}^{2})\zeta _{xx}-2\zeta _{x}\zeta _{y}\zeta _{xy}+(1+\zeta _{x}^{2})\zeta _{yy}\ in\ B_{R}\end{matrix}}$

die Abschätzung

(4) $\kappa _{1}(0,0)^{2}+\kappa _{2}(0,0)^{2}\leq {\frac {M}{R^{2}}}$

für die Hauptkrümmungen $\kappa _{j}(0,0),j=1,2$ im Punkt ${\mathfrak {y}}(0,0)$ des Graphen ${\mathfrak {y}}(x,y):=(x,y,\zeta (x,y)),(x,y)\in {\overline {B_{R}}}$ erfüllt ist.

Beweis

1. Mit dem Uniformisierungssatz (vgl. den nachfolgenden §8) führen wir isotherme Parameter in die Riemannsche Metrik

(5) $ds^{2}:=|{\mathfrak {y}}_{x}|^{2}dx^{2}+2({\mathfrak {y}}_{x}\cdot {\mathfrak {y}}_{y})dxdy+|{\mathfrak {y}}_{y}|dy^{2}=(1+\zeta _{x})^{2}dx^{2}+\zeta _{x}\zeta _{y}dxdy+(1+\zeta _{y})^{2}dy^{2},\quad (x,y)\in {\overline {B_{R}}}$

der Klasse $C^{1+\alpha }({\overline {B_{R}}})$ ein. Mit der uniformisierenden Abbildung

(6) $f(u,v)=x(u,v)+iy(u,v):{\overline {B}}\to {\overline {B_{R}}}\in C^{2+\alpha }({\overline {B}},{\overline {B_{R}}}),\quad f(0,0)=0$

betrachten wir die Fläche

(7) ${\mathfrak {x}}(u,v)={\mathfrak {y}}\circ f(u,v)(f(u,v),\zeta \circ f(u,v))=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

der Klasse $C^{2+\alpha }({\overline {B}},\mathbb {R} ^{3})$. Diese genügt den Differentialgleichungen

(8) $\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=0$ in $B,\quad |{\mathfrak {x}}_{u}|-|{\mathfrak {x}}_{v}|=0={\mathfrak {x}}_{u}\cdot {\mathfrak {x}}_{v}$ in $B$.

Insbesondere gehört die ebene Abbildung

(9) $g(u,v):={\frac {1}{R}}f(u,v),\quad (u,v)\in {\overline {B}}$

der Klasse $\Gamma (B,0,0,+\infty )$ an. Es gilt nun $|\nabla g(0,0)|\geq \Theta$ bzw.

(10) $|\nabla f(0,0)|\geq \Theta R$

mit der universellen Konstante $\Theta >0$.

2. Die Normale an ${\mathfrak {y}}(x,y)$ in Richtung ${\mathfrak {e}}=(0,0,1)$ bezeichnen wir mit

${\mathfrak {Y}}(x,y):={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla \zeta (x,y)|^{2}}}}(-\zeta _{x}(u,v),-\zeta _{y}(u,v),1),\quad (x,y)\in {\overline {B_{R}}}$

und wir erklären ${\mathfrak {X}}(u,v):={\mathfrak {Y}}\circ f(u,v),(u,v)\in {\overline {B}}$. Nach Satz 2 aus Kapitel XI, §1 ist dann die Abbildung

(11) ${\mathfrak {X}}:B\to S^{+}:={\Bigl \{}{\mathfrak {z}}=(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:|{\mathfrak {z}}|=1,z_{3}>0{\Bigr \}}$

antiholomorph. Vom Südpol $(0,0,-1)$ aus betrachten wir nun die stereographische Projektion

(12) $\sigma =\sigma ({\mathfrak {z}}):S^{+}\to B$ konform.

Die Abbildung $h(u,v):=\sigma \circ {\mathfrak {X}}(u,v),(u,v)\in {\overline {B}}$ ist antiholomorph und somit harmonisch. Wir finden also eine Konstante $\Lambda \in (0,+\infty )$, so dass

(13) $|\nabla {\mathfrak {X}}(0,0)|\leq \Lambda$

erfüllt ist.

3. Mit Hilfe der Betrachtungen aus Kapitel XI, §1 berechnen wir nun

$\kappa _{1}(0,0)^{2}+\kappa _{2}(0,0)^{2}=-2\kappa _{1}(0,0)\kappa _{2}(0,0)=-2K(0,0)=2|K(0,0)|$

$=2{\frac {|{\mathfrak {X}}_{u}\wedge {\mathfrak {X}}_{v}(0,0)|}{|{\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v}(0,0)|}}=2{\frac {|\nabla {\mathfrak {X}}(0,0)|^{2}}{|\nabla {\mathfrak {x}}(0,0)|^{2}}}\leq 2{\frac {|\nabla {\mathfrak {X}}(0,0)|^{2}}{|\nabla f(0,0)|^{2}}}\leq 2{\frac {\Lambda ^{2}}{\Theta ^{2}R^{2}}}={\frac {M}{R^{2}}},$

wenn wir noch $M:={\frac {\Lambda ^{2}}{\Theta ^{2}}}$ setzen.

q.e.d.

Satz 2 (Bernstein)

Sei $z=\zeta (x,y):\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \in C^{2+\mu }(\mathbb {R} ^{2}),\mu \in (0,1)$ eine ganze Lösung der Minimalflächengleichung ${\mathcal {M}}\zeta (x,y)=0$ in $\mathbb {R} ^{2}$. Dann gibt es Koeffizienten $\alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb {R}$, so dass

$\zeta (x,y)=\alpha x+\beta y+\gamma$ im $\mathbb {R} ^{2}$

erfüllt ist, d. h. $\zeta$ ist eine affin-lineare Funktion.

Beweis

Betrachten wir in (4) den Grenzübergang $R\to +\infty$, so folgt $\kappa _{1}(0,0)=0=\kappa _{2}(0,0)$. Da dieses in jedem Punkt des Graphen möglich ist, erhalten wir

(14) $\kappa _{1}(x,y)=0=\kappa _{2}(x,y)$ im $\mathbb {R} ^{2}$.

Somit ist die Fläche ${\mathfrak {y}}(x,y)=(x,y,\zeta (x,y)),(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ eine Ebene.

q.e.d.