Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Eine Krümmungsabschätzung für Minimalflächen

Hilfssatz 1 (Stetiges Randverhalten)

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Die harmonische Abbildung der Klasse erfülle
(1) für alle
mit einem , einem und mit einem . Dann gilt die Abschätzung
(2) für alle .

Aus der Poissonschen Integralformel

erhalten wir für alle

wobei wir noch

für alle

benutzt haben. Nun gilt für alle und alle . Zusammen mit (1) folgt

für alle .

q.e.d.

Satz 1 (Krümmungsabschätzung von Heinz)

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Sei gewählt und erklärt. Dann gibt es eine universelle Konstante , so dass für alle Lösungen der Minimalflächengleichung
(3)
die Abschätzung
(4)
für die Hauptkrümmungen im Punkt des Graphen erfüllt ist.

1. Mit dem Uniformisierungssatz (vgl. den nachfolgenden §8) führen wir isotherme Parameter in die Riemannsche Metrik

(5)

der Klasse ein. Mit der uniformisierenden Abbildung

(6)

betrachten wir die Fläche

(7)

der Klasse . Diese genügt den Differentialgleichungen

(8) in in .

Insbesondere gehört die ebene Abbildung

(9)

der Klasse an. Es gilt nun bzw.

(10)

mit der universellen Konstante .

2. Die Normale an in Richtung bezeichnen wir mit

und wir erklären . Nach Satz 2 aus Kapitel XI, §1 ist dann die Abbildung

(11)

antiholomorph. Vom Südpol aus betrachten wir nun die stereographische Projektion

(12) konform.

Die Abbildung ist antiholomorph und somit harmonisch. Wir finden also eine Konstante , so dass

(13)

erfüllt ist.

3. Mit Hilfe der Betrachtungen aus Kapitel XI, §1 berechnen wir nun

wenn wir noch setzen.

q.e.d.

Satz 2 (Bernstein)

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Sei eine ganze Lösung der Minimalflächengleichung in . Dann gibt es Koeffizienten , so dass
im
erfüllt ist, d. h. ist eine affin-lineare Funktion.

Betrachten wir in (4) den Grenzübergang , so folgt . Da dieses in jedem Punkt des Graphen möglich ist, erhalten wir

(14) im .

Somit ist die Fläche eine Ebene.

q.e.d.