- Die harmonische Abbildung
der Klasse
erfülle
(1)
für alle ![{\displaystyle \varphi \in [\vartheta -\delta ,\vartheta +\delta ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6137d1ca34b4fb6b292e8c6274ff450a85bea1)
- mit einem
, einem
und mit einem
. Dann gilt die Abschätzung
(2)
für alle
.
Aus der Poissonschen Integralformel
![{\displaystyle {\mathfrak {z}}(re^{i\vartheta })={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a6b0bc99686398e15a5b463f1d2e82d213d80f)
erhalten wir für alle
![{\displaystyle |{\mathfrak {z}}(re^{i\vartheta })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fc73d90a39788e023f93e77164b3ec946ef2054)
![{\displaystyle ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{-\delta }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\delta }^{\delta }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{\delta }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}|{\mathfrak {z}}(e^{i(\vartheta +\varphi })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\,d\varphi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da26b18814dbb3d040ecbc3480d6cc492568dcdf)
wobei wir noch
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }{\frac {1-r^{2}}{|e^{i\varphi }-r|^{2}}}\,d\varphi =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cde373e0ae2bad03324edc20e7886a17af40267b)
für alle
![{\displaystyle r\in (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a4b886ebc027116073aa6f4728e9b9e1665904)
benutzt haben. Nun gilt
für alle
und alle
. Zusammen mit (1) folgt
![{\displaystyle |{\mathfrak {z}}(re^{i\vartheta })-{\mathfrak {z}}(e^{i\vartheta })|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {1-r^{2}}{\sin ^{2}\delta }}2\cdot 2\pi +\varepsilon \leq 2{\frac {(1-r)(1+r)}{\sin ^{2}\delta }}+\varepsilon \leq {\frac {4}{\sin ^{2}\delta }}(1-r)+\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa429763996deda2539c1884e3da221823837777)
für alle
![{\displaystyle r\in (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00a4b886ebc027116073aa6f4728e9b9e1665904)
.
q.e.d.
Satz 1 (Krümmungsabschätzung von Heinz)
Bearbeiten
- Sei
gewählt und
erklärt. Dann gibt es eine universelle Konstante
, so dass für alle Lösungen der Minimalflächengleichung
(3)
![{\displaystyle {\begin{matrix}z=\zeta (x,y)\in C^{2+\alpha }({\overline {B_{R}}},\mathbb {R} ),\quad \alpha \in (0,1),\\{\mathcal {M}}\zeta (x,y):=(1+\zeta _{y}^{2})\zeta _{xx}-2\zeta _{x}\zeta _{y}\zeta _{xy}+(1+\zeta _{x}^{2})\zeta _{yy}\ in\ B_{R}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ccd12acc4e0d46693c558fb4bc95589483e4d4)
- die Abschätzung
(4)
![{\displaystyle \kappa _{1}(0,0)^{2}+\kappa _{2}(0,0)^{2}\leq {\frac {M}{R^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/774aae52038959c8709df9313c0a5a2960040ce2)
- für die Hauptkrümmungen
im Punkt
des Graphen
erfüllt ist.
1. Mit dem Uniformisierungssatz (vgl. den nachfolgenden §8) führen wir isotherme Parameter in die Riemannsche Metrik
(5)
![{\displaystyle ds^{2}:=|{\mathfrak {y}}_{x}|^{2}dx^{2}+2({\mathfrak {y}}_{x}\cdot {\mathfrak {y}}_{y})dxdy+|{\mathfrak {y}}_{y}|dy^{2}=(1+\zeta _{x})^{2}dx^{2}+\zeta _{x}\zeta _{y}dxdy+(1+\zeta _{y})^{2}dy^{2},\quad (x,y)\in {\overline {B_{R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9fc2228a391f517885b15c10fe495693e7f8bc)
der Klasse
ein. Mit der uniformisierenden Abbildung
(6)
![{\displaystyle f(u,v)=x(u,v)+iy(u,v):{\overline {B}}\to {\overline {B_{R}}}\in C^{2+\alpha }({\overline {B}},{\overline {B_{R}}}),\quad f(0,0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1537cb206d666e2993df0781bb6a1adf78430c87)
betrachten wir die Fläche
(7)
![{\displaystyle {\mathfrak {x}}(u,v)={\mathfrak {y}}\circ f(u,v)(f(u,v),\zeta \circ f(u,v))=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eea95b5853b355a7f7d4cd35e8c02212a84ebdb)
der Klasse
. Diese genügt den Differentialgleichungen
(8)
![{\displaystyle \Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31cc6505fe5bd617ebfa1f662018e47a445c428e)
in
![{\displaystyle B,\quad |{\mathfrak {x}}_{u}|-|{\mathfrak {x}}_{v}|=0={\mathfrak {x}}_{u}\cdot {\mathfrak {x}}_{v}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2652433699616d6c8e4779ebb6aafc6d3e78a30d)
in
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
Insbesondere gehört die ebene Abbildung
(9)
![{\displaystyle g(u,v):={\frac {1}{R}}f(u,v),\quad (u,v)\in {\overline {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc49ce5631fdfc2280cacda6b75a224b2da11158)
der Klasse
an. Es gilt nun
bzw.
(10)
![{\displaystyle |\nabla f(0,0)|\geq \Theta R}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98186db9320311b1cd8f336d25f255a4d6807a4b)
mit der universellen Konstante
.
2. Die Normale an
in Richtung
bezeichnen wir mit
![{\displaystyle {\mathfrak {Y}}(x,y):={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla \zeta (x,y)|^{2}}}}(-\zeta _{x}(u,v),-\zeta _{y}(u,v),1),\quad (x,y)\in {\overline {B_{R}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b323d5cb05c380ff6f2f6d175cfd05df91a3237)
und wir erklären
. Nach Satz 2 aus Kapitel XI, §1 ist dann die Abbildung
(11)
![{\displaystyle {\mathfrak {X}}:B\to S^{+}:={\Bigl \{}{\mathfrak {z}}=(z_{1},z_{2},z_{3})\in \mathbb {R} ^{3}:|{\mathfrak {z}}|=1,z_{3}>0{\Bigr \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c88113a43ed9480d874e9508d7d384f5cd34902)
antiholomorph. Vom Südpol
aus betrachten wir nun die stereographische Projektion
(12)
![{\displaystyle \sigma =\sigma ({\mathfrak {z}}):S^{+}\to B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99267d213be5c441ed8e6bed502745b421340616)
konform.
Die Abbildung
ist antiholomorph und somit harmonisch. Wir finden also eine Konstante
, so dass
(13)
![{\displaystyle |\nabla {\mathfrak {X}}(0,0)|\leq \Lambda }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8517b4563e66285266cfa88554e91edb8f2b9b4a)
erfüllt ist.
3. Mit Hilfe der Betrachtungen aus Kapitel XI, §1 berechnen wir nun
![{\displaystyle \kappa _{1}(0,0)^{2}+\kappa _{2}(0,0)^{2}=-2\kappa _{1}(0,0)\kappa _{2}(0,0)=-2K(0,0)=2|K(0,0)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459c1cfe30af868f17299cad996f9dca1dca7cef)
![{\displaystyle =2{\frac {|{\mathfrak {X}}_{u}\wedge {\mathfrak {X}}_{v}(0,0)|}{|{\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v}(0,0)|}}=2{\frac {|\nabla {\mathfrak {X}}(0,0)|^{2}}{|\nabla {\mathfrak {x}}(0,0)|^{2}}}\leq 2{\frac {|\nabla {\mathfrak {X}}(0,0)|^{2}}{|\nabla f(0,0)|^{2}}}\leq 2{\frac {\Lambda ^{2}}{\Theta ^{2}R^{2}}}={\frac {M}{R^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3bf5c87699cde0749651ebde70079ce39bc75c)
wenn wir noch
setzen.
q.e.d.
- Sei
eine ganze Lösung der Minimalflächengleichung
in
. Dann gibt es Koeffizienten
, so dass
im ![{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)
- erfüllt ist, d. h.
ist eine affin-lineare Funktion.
Betrachten wir in (4) den Grenzübergang
, so folgt
. Da dieses in jedem Punkt des Graphen möglich ist, erhalten wir
(14)
![{\displaystyle \kappa _{1}(x,y)=0=\kappa _{2}(x,y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081eee10c5e7ca903b871cf05ca03b6a2cc349d8)
im
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e150115ab9f63023215109595b76686a1ff890fd)
.
Somit ist die Fläche
eine Ebene.
q.e.d.