Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Globale Abschätzungen für nichtlineare Systeme

Satz 1 (Globale $C^{1+\alpha }$-Abschätzung)

Sei ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(\xi ,\eta )$ eine Lösung von

(1) ${\begin{matrix}{\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(\zeta )=(x_{1}(\xi ,\eta ),\ldots ,x_{n}(\xi ,\eta ))\in C^{2}(E,\mathbb {R} ^{n})\cap C^{1}({\overline {E}},\mathbb {R} ^{n}),\\|\Delta {\mathfrak {x}}(\xi ,\eta )|\leq a|\nabla {\mathfrak {x}}(\xi ,\eta )|^{2}+b\ f{\ddot {u}}r\ alle\ (\xi ,\eta )\in E,\\|{\mathfrak {x}}(\xi ,\eta )|\leq M\ f{\ddot {u}}r\ alle\ (\xi ,\eta )\in E,\\{\mathfrak {x}}(\xi ,\eta )=0\ f{\ddot {u}}r\ alle\ (\xi ,\eta )\in \partial E\end{matrix}}$

mit $aM<1$ und es sei $\alpha \in (0,1)$ gewählt. Dann gibt es eine Konstante $C=C(a,b,M,\alpha )$, so dass gilt

(2) $\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{1+\alpha }({\overline {E}})}\leq C(a,b,M,\alpha ).$

Beweis

1. Mit der Methode von Satz 1 aus §2 wollen wir $|\nabla {\mathfrak {x}}|$ in ${\overline {E}}$ nach oben abschätzen. Wir betrachten hierzu die Funktion

(3) $\phi (\zeta ):=|{\mathfrak {x}}_{\zeta }(\zeta )|={\frac {1}{2}}|\nabla {\mathfrak {x}}(\zeta )|,\quad \zeta \in {\overline {E}},$

welche in einem Punkt $\zeta _{0}\in {\overline {E}}$ ihr Maximum annimmt. Zu diesem Punkt $\zeta _{0}\in {\overline {E}}$ gibt es ein $\mu \in [0,2\pi )$ und einen Punkt $w_{0}\in J\subset \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {R}$, so dass $g_{\mu }(w_{0})=\zeta _{0}$ richtig ist. Wir halten nun den Winkel $\mu$ fest und unterdrücken den Index. Mit der Abbildung

(4) $g_{\mu }(w):=e^{i\mu }g(w)$

führen wir in ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(\xi ,\eta )$ der neuen Parameter $(u,v)$ ein und spiegeln ${\mathfrak {x}}\circ g(u,v)$ an der Achse $v=0$:

(5) ${\hat {\mathfrak {x}}}(u,v):={\begin{cases}{\mathfrak {x}}\circ g(u,v),&w=u+iv\in \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {R} \\{\mathfrak {x}}\circ g(u,-v),&w=u+iv\in \mathbb {C} ^{-}:=\{{\tilde {w}}\in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \,{\tilde {w}}<0\}\end{cases}}.$

Eine einfache Rechnung zeigt

${\hat {\mathfrak {x}}}(u,v)\in C^{2}(\mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {C} ^{-})\cap C^{1}(\mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {R} )\cap C^{0}(\mathbb {C} )$

$\sup _{u+iv\in \mathbb {C} }|{\hat {\mathfrak {x}}}(u,v)|\leq M,\quad {\hat {\mathfrak {x}}}(u,0)=0$ für alle $u\in \mathbb {R}$,

$|\Delta {\hat {\mathfrak {x}}}(u,v)|\leq a|\nabla {\hat {\mathfrak {x}}}(u,v)|^{2}+{\frac {b}{\beta ^{2}}}$ für alle $w=u+iv\in \Omega ^{+}\cup \Omega ^{-}$,

wobei wir noch $\Omega ^{-}:=\{w\in \mathbb {C} :{\overline {w}}\in \Omega ^{+}\}$ gesetzt haben. Wir wählen nun $R=1$ fest und $\vartheta \in (0,1)$ beliebig. Wie in Hilfssatz 2 aus §2 schätzen wir dann die Energie

$\iint \limits _{B_{\vartheta }(w_{0})}|\nabla {\hat {\mathfrak {x}}}(u,v)|^{2}\,dudv$

ab.

2. Wir gehen nun über zur gespiegelten komplexen Ableitungsfunktion

(6) ${\mathfrak {z}}(w):={\begin{cases}i{\hat {\mathfrak {x}}}_{w}(w),&w\in {\overline {B_{1}(w_{0})\cap \mathbb {C} ^{+}}}\\-i{\hat {\mathfrak {x}}}_{\overline {w}}({\overline {w}}),&w\in {\overline {B_{1}(w_{0})}}\cap \mathbb {C} ^{-}\end{cases}}.$

Diese ist stetig in ${\overline {B_{1}(w_{0})}}$ und genügt der DUGL

(7) $|{\mathfrak {z}}_{\overline {w}}(w)|\leq a|{\mathfrak {z}}(w)|+{\frac {b}{4\beta ^{2}}}$ für alle $w\in B_{1}(w_{0})\setminus \mathbb {R}$.

Die Integraldarstellung von Pompeiu-Vekua aus Kapitel IV, §5, Satz 1 gilt dann auch für ${\mathfrak {z}}$, d. h. wir haben

(8) ${\mathfrak {z}}(w_{0})={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial B_{\vartheta \lambda }(w_{0})}{\frac {{\mathfrak {z}}(w)}{w-w_{0}}}\,dw-{\frac {1}{\pi }}\iint \limits _{B_{\vartheta \lambda }(w_{0})}{\frac {{\mathfrak {z}}_{\overline {w}}(w)}{w-w_{0}}}\,dudv$

mit beliebigen $\vartheta ,\lambda \in (0,1)$. Zur Herleitung dieser Formel integriert man getrennt in $\mathbb {C} ^{\pm }$; da ${\mathfrak {z}}$ stetig auf $\mathbb {R}$ ist, heben sich die Kurvenintegrale auf der reellen Achse gegenseitig weg.
Es gibt nun ein $\lambda =\lambda (\vartheta )\in \left[{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right]$, so dass das Cauchyintegral von ${\mathfrak {z}}$ wie folgt abgeschätzt werden kann:

(9) $\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}{\frac {{\mathfrak {z}}(w)}{w-w_{0}}}\,dw\right|\leq {\frac {c_{1}(a,b,M)}{\vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {b}{8\beta ^{2}}}+{\frac {a}{2}}\vartheta \sup _{w\in B_{\vartheta }(w_{0})}|{\mathfrak {z}}(w)|^{2}$

mit der Konstante

$c_{1}(a,b,M):={\frac {8{\sqrt {M^{2}+{\frac {b}{8\beta ^{2}}}M}}}{{\sqrt {\log 4}}{\sqrt {1-aM}}}}.$

Wir ermitteln aus der DUGL (7) die Ungleichung

(10) $\left|{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{B_{\lambda \vartheta }(w_{0})}{\frac {{\mathfrak {z}}_{\overline {w}}(w)}{w-w_{0}}}\,dw\right|\leq a\vartheta \sup _{w\in B_{\vartheta }(w_{0})}|{\mathfrak {z}}(w)|^{2}+{\frac {b}{4\beta ^{2}}}.$

3. Wegen

$|{\mathfrak {z}}(w)|=|{\hat {\mathfrak {x}}}_{w}(w)|=|{\mathfrak {x}}_{\zeta }\circ g(w)||g'(w)|,\quad w\in \mathbb {C} ^{+}\cup \mathbb {R}$

entnehmen wir

(11) $\beta \leq |g'_{\mu }(w)|\leq {\frac {1}{\beta }}$ für alle $w\in \Omega ^{+}$ und alle $\mu \in [0,2\pi )$

die Ungleichung

(12) $\beta |{\mathfrak {z}}(w)|\leq \phi (g(w))\leq {\frac {1}{\beta }}|{\mathfrak {z}}(w)|$ für alle $w\in {\overline {B_{\vartheta }(w_{0})\cap \mathbb {C} ^{+}}}$.

Aus (8)-(10) erhalten wir die dann die Abschätzung

$\phi (\zeta _{0})=\phi (g(w_{0}))\leq {\frac {1}{\beta }}|{\mathfrak {z}}(w_{0})|\leq {\frac {c_{1}(a,b,M)}{\beta \vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {3b}{8\beta ^{3}}}+{\frac {3a}{2\beta }}\vartheta \sup _{w\in B_{\vartheta }(w_{0})}|{\mathfrak {z}}(w)|^{2}$

$\leq {\frac {c_{1}(a,b,M)}{\beta \vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {3b}{8\beta ^{3}}}+{\frac {3a}{2\beta ^{3}}}\vartheta \sup _{w\in {\overline {B_{\vartheta }(w_{0})\cap \mathbb {C} ^{+}}}}\phi (g(w))^{2}\leq {\frac {c_{1}(a,b,M)}{\beta \vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {3b}{8\beta ^{3}}}+{\frac {3a}{2\beta ^{3}}}\vartheta \phi (\zeta _{0})^{2}.$

Wir haben also die Ungleichung

(13) $\phi (\zeta _{0})\leq {\frac {c_{1}(a,b,M)}{\beta \vartheta {\sqrt {-\log \vartheta }}}}+{\frac {3b}{8\beta ^{3}}}+{\frac {3a}{2\beta ^{3}}}\vartheta \phi (\zeta _{0})^{2}$ für alle $0<\vartheta <1$.

4. Wie in Teil 3 des Beweises von Satz 1 aus §2 ermittelt man aus (13) eine Konstante $C_{1}=C_{1}(a,b,M)$, so dass

(14) $\sup _{\zeta \in E}|\nabla {\mathfrak {x}}(\zeta )|=2\sup _{\zeta \in E}\phi (\zeta )\leq C_{1}(a,b,M)$

erfüllt ist. Wendet man auf ${\mathfrak {x}}_{w}$ die in ${\overline {E}}$ gültige Darstellungsformel (8) an, so findet man wie im Beweis von Satz 2 aus §2 zu gegebenem $\alpha \in (0,1)$ eine Konstante $C_{(}a,b,M,\alpha )$, so dass

(15) $|\nabla {\mathfrak {x}}(\zeta _{1})-\nabla {\mathfrak {x}}(\zeta _{2})|\leq C_{2}|\zeta _{1}-\zeta _{2}|^{\alpha }$ für alle $\zeta _{1},\zeta _{2}\in {\overline {E}}$

gültig ist. Die Behauptung (2) entnehmen wir nun den Ungleichungen (14) und (15).