Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Maximumprinzipipien für das H-Flächensystem

Satz 1 (Jägersches Maximumprinzip)

Die Funktion $H=H(w,{\mathfrak {x}})\in C^{0}({\overline {B}}\times \mathbb {R} ^{3})$ genüge den Ungleichungen

(1) $|H(w,{\mathfrak {x}})|\leq h_{0},\quad |H(w,{\mathfrak {x}})-H(w,{\mathfrak {y}})|\leq h_{1}|{\mathfrak {x}}-{\mathfrak {y}}|$ für alle $w\in B,\quad {\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}}\in \mathbb {R} ^{3}$

und ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v),{\mathfrak {y}}={\mathfrak {y}}(u,v)$ seien zwei Lösungen des H-Flächensystems

(2) ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)\in C^{2}(B,\mathbb {R} ^{3})\cap C^{0}({\overline {B}},\mathbb {R} ^{3}),\quad \Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=2H(w,{\mathfrak {x}}(w)){\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v},\quad w\in B.$

Wir setzen

(3) $F(u,v):={\frac {|{\mathfrak {x}}(u,v)-{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2})}},\quad (u,v)\in {\overline {B}}.$

Dabei gelte $|{\mathfrak {x}}(u,v)|<M,|{\mathfrak {y}}(u,v)|<M$ für alle $(u,v)\in {\overline {B}}$ mit

$M={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.$

Behauptung: Dann genügt $F$ der linearen, elliptischen Differentialgleichung

${\mathcal {L}}F:={\Bigl \{}(M^{2}-|{\mathfrak {x}}|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}|^{2})F_{u}{\Bigr \}}_{u}+{\Bigl \{}(M^{2}-|{\mathfrak {x}}|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}|^{2})F_{v}{\Bigr \}}_{v}\geq 0$ in $B$.

Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)

Sei die Funktion ${\mathfrak {x}}(u,v)=(x_{1}(u,v),\ldots ,x_{n}(u,v)):{\overline {B}}\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$ eine Lösung der Differentialgleichung

(4) $|\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2},\quad (u,v)\in B.$

Die Kleinheitsbedingung

(5) $|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq M,\quad (u,v)\in B$

sei erfüllt und es gelte

(6) $aM\leq 1$ für die Konstanten $a\in [0,+\infty ),M\in (0,+\infty )$.

Behauptung: Dann folgt

$\sup _{(u,v)\in B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq \sup _{(u,v)\in \partial B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|.$

Beweis

Die Hilfsfunktion $f(u,v):=|{\mathfrak {x}}(u,v)|^{2},(u,v)\in {\overline {B}}$ genügt der Differentialungleichung

$\Delta f(u,v)=2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}+{\mathfrak {x}}(u,v)\cdot \Delta {\mathfrak {x}}(u,v){\Bigr )}\geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)||\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|{\Bigr )}$

$\geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-a|{\mathfrak {x}}(u,v)||\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}{\Bigr )}\geq 2|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}(1-aM)\geq 0$ in $B$.

Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Jägersche Abschätzung)

Die Funktion $H=H(w,{\mathfrak {x}}):{\overline {B}}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \in C^{0}({\overline {B}}\times \mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} )$ genüge (1) und wir setzen

$M:={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.$

Weiter seien ${\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}}$ zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit

(7) $|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq M,\quad |{\mathfrak {y}}(u,v)|\leq M$ für alle $(u,v)\in {\overline {B}}$.

Zusätzlich gelte $\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}:=\sup _{w\in \partial B}|{\mathfrak {x}}(w)|<M$ und $\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M$.

Behauptung: Dann haben wir für alle $w\in {\overline {B}}$ die Ungleichung

(8) ${\frac {|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {y}}(w)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(w)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(w)|^{2})}}\leq {\frac {\|{\mathfrak {x}}-{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2}}{(M^{2}-\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})(M^{2}-\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})}}.$

Beweis

Wir wollen auf die Funktionen ${\mathfrak {x}}$ und ${\mathfrak {y}}$ das geometrische Maximumprinzip mit $a=h_{0}$ anwenden. Dazu bemerken wir, dass $aM\leq 1$ genau dann gilt, wenn

${\frac {h_{0}^{2}(h_{0}^{2}+2h_{1})}{(h_{0}^{2}+h_{1})^{2}}}\leq 1$

bzw. $h_{0}^{4}+2h_{1}h_{0}^{2}\leq h_{0}^{4}+2h_{1}h_{0}^{2}+h_{1}^{2}$ richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also

$\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M$ und $\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M$

Auf die Hilfsfunktion $F(u,v)$ aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).

Satz 1 (Jägersches Maximumprinzip)

Die Funktion $H=H(w,{\mathfrak {x}})\in C^{0}({\overline {B}}\times \mathbb {R} ^{3})$ genüge den Ungleichungen

(1) $|H(w,{\mathfrak {x}})|\leq h_{0},\quad |H(w,{\mathfrak {x}})-H(w,{\mathfrak {y}})|\leq h_{1}|{\mathfrak {x}}-{\mathfrak {y}}|$ für alle $w\in B,\quad {\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}}\in \mathbb {R} ^{3}$

und ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v),{\mathfrak {y}}={\mathfrak {y}}(u,v)$ seien zwei Lösungen des H-Flächensystems

(2) ${\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)\in C^{2}(B,\mathbb {R} ^{3})\cap C^{0}({\overline {B}},\mathbb {R} ^{3}),\quad \Delta {\mathfrak {x}}(u,v)=2H(w,{\mathfrak {x}}(w)){\mathfrak {x}}_{u}\wedge {\mathfrak {x}}_{v},\quad w\in B.$

Wir setzen

(3) $F(u,v):={\frac {|{\mathfrak {x}}(u,v)-{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(u,v)|^{2})}},\quad (u,v)\in {\overline {B}}.$

Dabei gelte $|{\mathfrak {x}}(u,v)|<M,|{\mathfrak {y}}(u,v)|<M$ für alle $(u,v)\in {\overline {B}}$ mit

$M={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.$

Behauptung: Dann genügt $F$ der linearen, elliptischen Differentialgleichung

${\mathcal {L}}F:={\Bigl \{}(M^{2}-|{\mathfrak {x}}|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}|^{2})F_{u}{\Bigr \}}_{u}+{\Bigl \{}(M^{2}-|{\mathfrak {x}}|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}|^{2})F_{v}{\Bigr \}}_{v}\geq 0$ in $B$.

Satz 2 (Geometrisches Maximumprinzip von E. Heinz)

Sei die Funktion ${\mathfrak {x}}(u,v)=(x_{1}(u,v),\ldots ,x_{n}(u,v)):{\overline {B}}\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$ eine Lösung der Differentialgleichung

(4) $|\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2},\quad (u,v)\in B.$

Die Kleinheitsbedingung

(5) $|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq M,\quad (u,v)\in B$

sei erfüllt und es gelte

(6) $aM\leq 1$ für die Konstanten $a\in [0,+\infty ),M\in (0,+\infty )$.

Behauptung: Dann folgt

$\sup _{(u,v)\in B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq \sup _{(u,v)\in \partial B}|{\mathfrak {x}}(u,v)|.$

Beweis

Die Hilfsfunktion $f(u,v):=|{\mathfrak {x}}(u,v)|^{2},(u,v)\in {\overline {B}}$ genügt der Differentialungleichung

$\Delta f(u,v)=2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}+{\mathfrak {x}}(u,v)\cdot \Delta {\mathfrak {x}}(u,v){\Bigr )}\geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-|{\mathfrak {x}}(u,v)||\Delta {\mathfrak {x}}(u,v)|{\Bigr )}$

$\geq 2{\Bigl (}|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}-a|{\mathfrak {x}}(u,v)||\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}{\Bigr )}\geq 2|\nabla {\mathfrak {x}}(u,v)|^{2}(1-aM)\geq 0$ in $B$.

Das Maximumprinzip für subharmonische Funktionen liefert die Behauptung.

q.e.d.

Satz 3 (Jägersche Abschätzung)

Die Funktion $H=H(w,{\mathfrak {x}}):{\overline {B}}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \in C^{0}({\overline {B}}\times \mathbb {R} ^{3},\mathbb {R} )$ genüge (1) und wir setzen

$M:={\frac {\sqrt {h_{0}^{2}+2h_{1}}}{h_{0}^{2}+h_{1}}}.$

Weiter seien ${\mathfrak {x}},{\mathfrak {y}}$ zwei Lösungen des H-Flächensystems (2) mit

(7) $|{\mathfrak {x}}(u,v)|\leq M,\quad |{\mathfrak {y}}(u,v)|\leq M$ für alle $(u,v)\in {\overline {B}}$.

Zusätzlich gelte $\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}:=\sup _{w\in \partial B}|{\mathfrak {x}}(w)|<M$ und $\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M$.

Behauptung: Dann haben wir für alle $w\in {\overline {B}}$ die Ungleichung

(8) ${\frac {|{\mathfrak {x}}(w)-{\mathfrak {y}}(w)|^{2}}{(M^{2}-|{\mathfrak {x}}(w)|^{2})(M^{2}-|{\mathfrak {y}}(w)|^{2})}}\leq {\frac {\|{\mathfrak {x}}-{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2}}{(M^{2}-\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})(M^{2}-\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}^{2})}}.$

Beweis

Wir wollen auf die Funktionen ${\mathfrak {x}}$ und ${\mathfrak {y}}$ das geometrische Maximumprinzip mit $a=h_{0}$ anwenden. Dazu bemerken wir, dass $aM\leq 1$ genau dann gilt, wenn

${\frac {h_{0}^{2}(h_{0}^{2}+2h_{1})}{(h_{0}^{2}+h_{1})^{2}}}\leq 1$

bzw. $h_{0}^{4}+2h_{1}h_{0}^{2}\leq h_{0}^{4}+2h_{1}h_{0}^{2}+h_{1}^{2}$ richtig ist und letzteres ist offenbar immer erfüllt. Satz 2 liefert also

$\|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {x}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M$ und $\|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}({\overline {B}})}\leq \|{\mathfrak {y}}\|_{C^{0}(\partial B)}<M$

Auf die Hilfsfunktion $F(u,v)$ aus Satz 1 wenden wir nun das Hopfsche Maximumprinzip an und erhalten (8).

q.e.d.