Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare elliptische Systeme/Verzerrungsabschätzungen für ebene elliptische Systeme

Satz 1 (Heinzsche Ungleichung)

Wir betrachten auf der Einheitskreisscheibe $B:=\{w=u+iv\in \mathbb {C} :|w|<1\}$ die ebene Abbildung ${\mathfrak {z}}(u,v)=(x(u,v),y(u,v))\in C^{2}(B,\mathbb {R} ^{2})$. Diese genüge der DUGL

(1) $|\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|^{2}+b|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|$ in $B$

mit Konstanten $a,b\in [0,+\infty )$, erfülle

(2) $|{\mathfrak {z}}(u,v)|\leq m$ in $B$

mit einer Konstante $m\in (0,+\infty )$ und sei gemäß

(3) $J_{\mathfrak {z}}(u,v):={\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}>0$ für alle $(u,v)\in B$

positiv orientiert. Schließlich sei $am<1$ erfüllt. Zu jedem $r\in (0,1)$ gibt es dann Konstanten $C^{\pm }(a,m,b,r)>0$, so dass gilt

(4) $C^{-}(a,b,m,r)|\nabla {\mathfrak {z}}(0)|^{\frac {1+3r}{1-r}}\leq |\nabla {\mathfrak {z}}(w)|\leq C^{+}(a,b,m,r)|\nabla {\mathfrak {z}}(0)|^{\frac {1-r}{1+3r}},\quad w\in {\overline {B_{r}}}.$

Beweis

1. Zum Parameter $\lambda \in (0,+\infty )$ erhalten wir aus (1) die Abschätzung

(5) $|\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|^{2}+2\lambda |\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|{\frac {b}{2\lambda }}\leq (a+\lambda ^{2})|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|^{2}+{\frac {b^{2}}{4\lambda ^{2}}}$ in $B$.

Wir wählen $\lambda =\lambda (a,m)>0$ so klein, dass $(a+\lambda ^{2})m<1$ erfüllt ist. In der Kreisscheibe $B_{R}$ vom Radius $R:={\frac {1+r}{2}}\in (r,1)$ entnehmen wir §2, Satz 1 die Abschätzung

(6) $|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|\leq C_{1}(a,b,m,r),\quad w\in B_{R}.$

Einsetzen in (1) liefert die lineare DUGL

(7) $|\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)|\leq (aC_{1}(a,b,m,r)+b)|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|=C_{2}(a,b,m,r)|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|$ in ${\overline {B_{R}}}$.

2. Wir betrachten die Hilfsfunktion $f(w):=x_{w}(w)+iy_{w}(w):B\to \mathbb {C}$ und berechnen

$|f(w)|^{2}=f(w){\overline {f(w)}}=(x_{w}+iy_{w})(x_{\overline {w}}-iy_{\overline {w}})=|x_{w}|^{2}+|y_{w}|^{2}-i(x_{w}y_{\overline {w}}-x_{\overline {w}}y_{w})$

$={\frac {1}{4}}|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|^{2}-{\frac {i}{4}}{\Bigl \{}(x_{u}-ix_{v})(y_{u}+iy_{v})-(x_{u}+ix_{v})(y_{u}-iy_{v}){\Bigr \}}={\frac {1}{4}}|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}$ in $B$.

Wegen (3) folgt

(8) ${\frac {1}{2}}|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|<|f(w)|\leq {\frac {\sqrt {2}}{2}}|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|,\quad w\in B.$

3. Aus (6)-(8) erhalten wir die Ungleichungen

(9) $|f_{\overline {w}}(w)|={\frac {1}{4}}|\Delta {\mathfrak {z}}(w)|\leq {\frac {1}{4}}C_{2}(a,b,m,r)|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|\leq {\frac {1}{2}}C_{2}(a,b,m,r)|f(w)|$ in $B_{R}$

und

(10) $0<|f(w)|\leq {\frac {\sqrt {2}}{2}}|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|\leq {\frac {\sqrt {2}}{2}}C_{1}(a,b,m,r)$ in $B_{R}$.

Die Funktion $f(w)$ ist also in $B_{R}$ pseudoholomorph mit den Konstanten

$M=M(a,b,m,r):={\frac {1}{2}}C_{2}(a,b,m,r),\quad K=K(a,b,m,r):={\frac {\sqrt {2}}{2}}C_{1}(a,b,m,r).$

Wegen ${\frac {R-r}{R+r}}={\frac {1-r}{1+3r}}$ und ${\frac {R+r}{R-r}}={\frac {1+3r}{1-r}}$ gilt nun die Abschätzung

(11) $K^{-{\frac {2r}{R-r}}}e^{-{\frac {8MR(R+r)}{R-r}}}|f(0)|^{\frac {1+3r}{1-r}}\leq |f(w)|\leq K^{\frac {2r}{R+r}}e^{8MR}|f(0)|^{\frac {1-r}{1+3r}}$

in ${\overline {B_{r}}}$. Mit Hilfe von (8) finden wir dann die behauptete Ungleichung (4) mit den a-priori-Konstanten $C^{\pm }(a,b,m,r)>0$.

q.e.d.

Definition 1

Zu Konstanten $a,b\in [0,+\infty )$ und $N\in (0,+\infty ]$ bezeichnen wir mit $\Gamma (B,a,b,N)$ die folgende Klasse von Abbildungen:

i) ${\mathfrak {z}}(w)=(x(u,v),y(u,v)):{\overline {B}}\to \mathbb {R} ^{2}\in C^{2}(B)\cap C^{0}({\overline {B}})$ bildet $\partial B$ topologisch und positiv orientiert auf $\partial B$ ab;

ii) ${\mathfrak {z}}$ ist nullpunkttreu, d. h. ${\mathfrak {z}}(0)=(0,0)$;

iii) es ist

$J_{\mathfrak {z}}(w)={\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}>0$ für alle $w=u+iv\in B$;

iv) ${\mathfrak {z}}$ genügt der DUGL

$|\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)|\leq a|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|^{2}+b|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|$ in $B$;

v) für das Dirichletintegral von ${\mathfrak {z}}$ gilt

$D({\mathfrak {z}}):=\iint \limits _{B}{\Bigl (}|{\mathfrak {z}}_{u}(u,v)|^{2}+|{\mathfrak {z}}_{v}(u,v)|^{2}{\Bigr )}\,dudv\leq N.$

Satz 2 (Verzerrungsabschätzung von Heinz)

Die Parameter $a,b\in [0,+\infty ),N\in (0,+\infty )$ und $r\in (0,1)$ seien gewählt. Dann gibt es Konstanten $0<\Theta (a,b,N,r)\leq \Lambda (a,b,N,r)<+\infty$, so dass für jede Abbildung ${\mathfrak {z}}={\mathfrak {z}}(w)\in \Gamma (B,a,b,N)$ die Ungleichung

(12) $\Theta (a,b,N,r)\leq |\nabla {\mathfrak {z}}(w)|\leq \Lambda (a,b,N,r)$ für alle $w\in {\overline {B_{r}}}$

erfüllt ist. Weiter ist der Stetigkeitsmodul der Abbildungen in ${\overline {B}}$ gemäß der u. a. Formel (13) abgeschätzt.

Beweis

Wir zeigen zunächst die Zwischenbehauptung: Für alle ${\mathfrak {z}}={\mathfrak {z}}(w)\in \Gamma (B,a,b,N)$ und $\delta \in \left(0,{\frac {1}{4}}\right)$ gilt

(13) $|{\mathfrak {z}}(w_{1})-{\mathfrak {z}}(w_{0})|\leq 4{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}$ für alle $w_{0},w_{1}\in {\overline {B}}$ mit $|w_{0}-w_{1}|\leq \delta$.

Wir können o. B. d. A.

$4{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}<2$

annehmen, da anderenfalls (13) trivial wäre. Für ein beliebiges $w_{0}\in {\overline {B}}$ finden wir nach dem Courant-Lebesgueschen Oszillationslemma ein $\delta ^{*}\in [\delta ,{\sqrt {\delta }}]$, so dass gilt

(14) $\int \limits _{w\in B \atop |w-w_{0}|=\delta ^{*}}|d{\mathfrak {z}}(w)|\leq 2{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}.$

Wir erklären die Mengen

$\Omega :={\Bigl \{}w\in {\overline {B}}:|w-w_{0}|\leq \delta ^{*}{\Bigr \}},\quad \gamma :={\Bigl \{}w\in {\overline {B}}:|w-w_{0}|=\delta ^{*}{\Bigr \}}$

sowie ihre topologischen Bilder ${\hat {\Omega }}:={\mathfrak {z}}(\Omega ),{\hat {\gamma }}:={\mathfrak {z}}(\gamma )$ und unterscheiden
Fall a: $\Omega \subset B$. Dann folgt $\partial {\hat {\Omega }}={\hat {\gamma }}$ und die Länge von ${\hat {\gamma }}$ erfüllt wegen (14)

$L({\hat {\gamma }})\leq 2{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}.$

Da ${\mathfrak {z}}$ topologisch ist, erhalten wir

(15) $|{\mathfrak {z}}(w_{1})-{\mathfrak {z}}(w_{0})|\leq 2{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}$ für alle $w_{1}\in \Omega$.

Fall b: $\partial \Omega \cap \partial B\neq \emptyset$. Dann gibt es also einen Punkt ${\hat {\mathfrak {z}}}\in {\hat {\gamma }}\cap \partial B$ und (14) liefert

${\hat {\gamma }}\subset K:=\left\{\zeta \in \mathbb {C} :|\zeta -{\hat {\mathfrak {z}}}|\leq 2{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}\right\}.$

Wegen $|{\hat {\mathfrak {z}}}|=1$ und

$2{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}<1$

ist $0\notin K$ erfüllt und wegen $\delta ^{*}\leq {\sqrt {\delta }}<{\frac {1}{2}}$ und $\partial \Omega \cap \partial B\neq \emptyset$ gilt $0\notin \Omega$. Da die Abbildung ${\mathfrak {z}}:{\overline {B}}\to {\overline {B}}$ topologisch und nullpunkttreu ist, liefert somit ${\hat {\gamma }}\subset K$ die Inklusion ${\hat {\Omega }}\subset K$. Wir erhalten für alle $w_{1}\in \Omega$ die Abschätzung

(16) $|{\mathfrak {z}}(w_{1})-{\mathfrak {z}}(w_{0})|\leq |{\mathfrak {z}}(w_{1})-{\hat {\mathfrak {z}}}|+|{\hat {\mathfrak {z}}}-{\mathfrak {z}}(w_{0})|\leq 4{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}.$

Beachten wir noch $\delta \leq \delta ^{*}$, so ergeben (15), (16) den Beweis der Zwischenbehauptung (13).

2. Die Funktion ${\mathfrak {z}}={\mathfrak {z}}(w)\in \Gamma (B,a,b,N)$ genügt der DUGL

(17) $|\Delta {\mathfrak {z}}|\leq a|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|^{2}+b|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|\leq (a+1)|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|^{2}+{\frac {b^{2}}{4}}$ in $B$.

Wir wählen nun $r\in (0,1)$ so groß, dass $\delta :={\frac {1-r}{2}}>0$ neben $\delta \in \left(0,{\frac {1}{4}}\right)$ auch die Bedingung

(18) $(a+1)4{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}\leq {\frac {1}{2}}$

erfüllt. Zu beliebigem Punkt ${\tilde {w}}\in {\overline {B_{1-\delta }}}={\overline {B_{\frac {r+1}{2}}}}$ betrachten wir die Hilfsfunktion

(19) ${\mathfrak {x}}(w):={\mathfrak {z}}(w)-{\mathfrak {z}}({\tilde {w}}),w\in \Omega :={\Bigl \{}w\in {\overline {B}}:|w-{\tilde {w}}|\leq \delta {\Bigr \}}.$

Wegen (13) und (17) haben wir dann

(20) $|\Delta {\mathfrak {x}}(w)|\leq (a+1)|\nabla {\mathfrak {x}}(w)|^{2}+{\frac {b^{2}}{4}}$ in ${\stackrel {\circ }{\Omega }},\quad \sup _{w\in \Omega }|{\mathfrak {x}}(w)|\leq 4{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{\delta }}}}}.$

Beachten wir noch (18), so liefert die Gradientenabschätzung von Heinz aus §2, Satz 1 die Ungleichung

(21) $|\nabla {\mathfrak {z}}({\tilde {w}})|=|\nabla {\mathfrak {x}}({\tilde {w}})|\leq {\tilde {\Lambda }}(a,b,N,\delta )=:\Lambda (a,b,N,r)$ für alle ${\tilde {w}}\in {\overline {B_{\frac {r+1}{2}}}}$.

Hiermit erhalten wir die behauptete Abschätzung (12) nach oben.

3. Wir wählen nun $r\in (0,1)$ so groß, dass $\delta ={\frac {1-r}{2}}$ neben (18) noch $\delta \in \left(0,{\frac {1}{8}}\right)$ und

$4{\sqrt {\frac {\pi N}{\log {\frac {1}{2\delta }}}}}\leq {\frac {1}{2}}$

erfüllt. Aus (13) ersehen wir dann

(22) $|{\mathfrak {z}}(w)|\geq {\frac {1}{2}}$ für alle $w\in \mathbb {C}$ mit $r=1-2\delta \leq |w|\leq 1$.

Zu einem $w_{0}\in \partial B_{r}$ betrachten wir nun die Kurve ${\mathfrak {y}}(t):={\mathfrak {z}}(tw_{0}),0\leq t\leq 1$ und berechnen

${\frac {1}{2}}\leq |{\mathfrak {z}}(w_{0})|=|{\mathfrak {z}}(w_{0})-{\mathfrak {z}}(0)|\leq \int \limits _{0}^{1}|{\mathfrak {y}}'(t)|\,dt=|{\mathfrak {y}}'(t_{0})|\leq |\nabla {\mathfrak {z}}(t_{0}w_{0})|$

mit einem $t_{0}\in [0,1]$. Es gibt also einen Punkt a(23) $w_{*}:=t_{0}w_{0}\in {\overline {B_{r}}}$ mit $|\nabla {\mathfrak {z}}(w_{*})|\geq {\frac {1}{2}}$.

4. Wegen (21) genügt ${\mathfrak {z}}$ der linearen DUGL

(24) $|\Delta {\mathfrak {z}}(u,v)|\leq (a\Lambda (a,b,N,r)+b)|\nabla {\mathfrak {z}}(u,v)|$ in $B_{\frac {r+1}{2}}$.

Mit der Heinzschen Ungleichung (für $a=0$ und $B\to B_{\frac {r+1}{2}},B_{r}\to B_{r}$) erhalten wir in ${\overline {B_{r}}}$

(25) $C^{-}(a,b,N,r)|\nabla {\mathfrak {z}}(0)|^{\varrho _{-}(r)}\leq |\nabla {\mathfrak {z}}(w)|\leq C^{+}(a,b,N,r)|\nabla {\mathfrak {z}}(0)|^{\varrho _{+}(r)}$

mit gewissen Exponenten $\varrho _{\pm }>0$ und Konstanten $C^{\pm }(a,b,N,r)>0$. Beachten wir schließlich noch (23), so finden wir mit (25) eine Konstante $\Theta (a,b,N,r)>0$, so dass

(26) $|\nabla {\mathfrak {z}}(w)|\geq \Theta (a,b,N,r)$ für alle $w\in B_{r}$

für beliebige ${\mathfrak {z}}\in \Gamma (B,a,b,N)$ richtig ist. Somit ist auch die Abschätzung nach unten in (12) bewiesen.

q.e.d.