Satz 1 (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen)
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Für die hyperbolische Differentialgleichung (1)
0 = a ( x , y ) ζ x x ( x , y ) + 2 b ( x , y ) ζ x y ( x , y ) + c ( x , y ) ζ y y ( x , y ) + d ( x , y , ζ ( x , y ) , ∇ ζ ( x , y ) ) {\displaystyle 0=a(x,y)\zeta _{xx}(x,y)+2b(x,y)\zeta _{xy}(x,y)+c(x,y)\zeta _{yy}(x,y)+d(x,y,\zeta (x,y),\nabla \zeta (x,y))} in Ω {\displaystyle \Omega }
mit (2)
a ( x , y ) c ( x , y ) − b ( x , y ) 2 < 0 {\displaystyle a(x,y)c(x,y)-b(x,y)^{2}<0} in Ω {\displaystyle \Omega }
gibt es eine Variablentransformation ξ = ξ ( x , y ) , η = η ( x , y ) ∈ C 2 ( U ( x 0 , y 0 ) ) , {\displaystyle \xi =\xi (x,y),\eta =\eta (x,y)\in C^{2}({\mathcal {U}}(x_{0},y_{0})),}
ξ 0 = ξ ( x 0 , y 0 ) , η 0 = η ( x 0 , y 0 ) , ∂ ( ξ , η ) ∂ ( x , y ) ≠ 0 {\displaystyle \xi _{0}=\xi (x_{0},y_{0}),\quad \eta _{0}=\eta (x_{0},y_{0}),\quad {\frac {\partial (\xi ,\eta )}{\partial (x,y)}}\neq 0} in U ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle {\mathcal {U}}(x_{0},y_{0})}
mit der Umkehrabbildung x = x ( ξ , η ) , y = y ( ξ , η ) ∈ C 2 ( U ( ξ 0 , η 0 ) ) {\displaystyle x=x(\xi ,\eta ),y=y(\xi ,\eta )\in C^{2}({\mathcal {U}}(\xi _{0},\eta _{0}))}
mit Q ( ξ ) = 0 = Q ( η ) {\displaystyle Q(\xi )=0=Q(\eta )} in U ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle {\mathcal {U}}(x_{0},y_{0})} .
Die Differentialgleichung erscheint dann in der hyperbolischen Normalform (3)
z ξ η ( ξ , η ) = − { 1 B ( x , y ) D ( x , y , z , p , q ) } | x = x ( ξ , η ) y = y ( ξ , η ) {\displaystyle z_{\xi \eta }(\xi ,\eta )=-\left.\left\{{\frac {1}{B(x,y)}}D(x,y,z,p,q)\right\}\right|_{x=x(\xi ,\eta ) \atop y=y(\xi ,\eta )}}
und die Parametertransformation x = x ( ξ , η ) , y = y ( ξ , η ) {\displaystyle x=x(\xi ,\eta ),y=y(\xi ,\eta )} genügt dem System (4)
y ξ − λ + x ξ = 0 , y η − λ − x η = 0 {\displaystyle y_{\xi }-\lambda ^{+}x_{\xi }=0,\quad y_{\eta }-\lambda ^{-}x_{\eta }=0}
erster Ordnung. Satz 2 (Hyperbolische Normalform für quasilineare Differentialgleichungen)
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Die quasilineare Differentialgleichung (5)
L ζ ( x , y ) := a ( x , y , ζ ( x , y ) ∇ ζ ( x , y ) ) ζ x x ( x , y ) + 2 b ( … ) ζ x y ( x , y ) + c ( … ) ζ y y ( x , y ) + d ( x , y , ζ ( x , y ) ∇ ζ ( x , y ) ) = 0 i n Ω , {\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {L}}\zeta (x,y)&:=&a(x,y,\zeta (x,y)\nabla \zeta (x,y))\zeta _{xx}(x,y)+2b(\ldots )\zeta _{xy}(x,y)+c(\ldots )\zeta _{yy}(x,y)\\&&+d(x,y,\zeta (x,y)\nabla \zeta (x,y))=0\quad in\ \Omega ,\end{matrix}}}
welche gemäß a ( x , y ) c ( x , y ) − b ( x , y ) 2 < 0 {\displaystyle a(x,y)c(x,y)-b(x,y)^{2}<0} in Ω {\displaystyle \Omega }
hyperbolisch bezüglich ihrer Lösung z = ζ ( x , y ) {\displaystyle z=\zeta (x,y)} ist, kann durch die lokale Parametertransformation auf die charakteristischen Parameter äquivalent überführt werden in das System erster Ordnung (6)
y ξ − λ + x ξ = 0 , y η − λ − x η = 0 {\displaystyle y_{\xi }-\lambda ^{+}x_{\xi }=0,\quad y_{\eta }-\lambda ^{-}x_{\eta }=0}
(6)
p ξ + λ − q ξ + d a x ξ = 0 , p η + λ + q η + d a x η = 0 {\displaystyle p_{\xi }+\lambda ^{-}q_{\xi }+{\frac {d}{a}}x_{\xi }=0,\quad p_{\eta }+\lambda ^{+}q_{\eta }+{\frac {d}{a}}x_{\eta }=0}
(6)
z ξ − p x ξ − q y ξ = 0. {\displaystyle z_{\xi }-px_{\xi }-qy_{\xi }=0.}
Für die Funktion y ( ξ , η ) := ( x ( ξ , η ) , y ( ξ , η ) , z ( ξ , η ) , p ( ξ , η ) , q ( ξ , η ) ) {\displaystyle {\mathfrak {y}}(\xi ,\eta ):=(x(\xi ,\eta ),y(\xi ,\eta ),z(\xi ,\eta ),p(\xi ,\eta ),q(\xi ,\eta ))} ergibt sich ein hyperbolisches System zweiter Ordnung (7)
y ξ η ( ξ , η ) = h ξ η ( ξ , η , y ( ξ , η ) , y ξ ( ξ , η ) , y η ( ξ , η ) ) , {\displaystyle {\mathfrak {y}}_{\xi \eta }(\xi ,\eta )={\mathfrak {h}}_{\xi \eta }(\xi ,\eta ,{\mathfrak {y}}(\xi ,\eta ),{\mathfrak {y}}_{\xi }(\xi ,\eta ),{\mathfrak {y}}_{\eta }(\xi ,\eta )),}
wobei die rechte Seite quadratisch in den ersten Ableitungen x ξ , y ξ , … , p η , q η {\displaystyle x_{\xi },y_{\xi },\ldots ,p_{\eta },q_{\eta }} ist.
1. Ausgehend von einer Lösung (6) wollen wir die Gültigkeit der Differentialgleichung (1) zeigen. Zunächst liefern die ersten beiden Gleichungen aus (6) wegen
( x ξ x η y ξ y η ) = ( ξ x ξ y η x η y ) − 1 = ∂ ( x , y ) ∂ ( ξ , η ) ( η y − ξ y − η x ξ x ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{\xi }&x_{\eta }\\y_{\xi }&y_{\eta }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\xi _{x}&\xi _{y}\\\eta _{x}&\eta _{y}\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {\partial (x,y)}{\partial (\xi ,\eta )}}{\begin{pmatrix}\eta _{y}&-\xi _{y}\\-\eta _{x}&\xi _{x}\end{pmatrix}}}
die Beziehungen
η x + λ + η y = 0 , ξ x + λ − ξ y = 0. {\displaystyle \eta _{x}+\lambda ^{+}\eta _{y}=0,\quad \xi _{x}+\lambda ^{-}\xi _{y}=0.}
Somit folgt
z x x = p x = p ξ ξ x + p η η x = − ( λ − q ξ + d a x ξ ) ξ x − ( λ + q η + d a x η ) η x {\displaystyle z_{xx}=p_{x}=p_{\xi }\xi _{x}+p_{\eta }\eta _{x}=-\left(\lambda ^{-}q_{\xi }+{\frac {d}{a}}x_{\xi }\right)\xi _{x}-\left(\lambda ^{+}q_{\eta }+{\frac {d}{a}}x_{\eta }\right)\eta _{x}}
= − ( λ + + λ − ) ( q ξ ξ x + q η η x ) − λ + λ − ( q ξ ξ y + q η η y ) − d a = − 2 b a z y x − c a z y y − d a , {\displaystyle =-(\lambda ^{+}+\lambda ^{-})(q_{\xi }\xi _{x}+q_{\eta }\eta _{x})-\lambda ^{+}\lambda ^{-}(q_{\xi }\xi _{y}+q_{\eta }\eta _{y})-{\frac {d}{a}}=-{\frac {2b}{a}}z_{yx}-{\frac {c}{a}}z_{yy}-{\frac {d}{a}},}
woraus sich a z x x + 2 b z x y + c z y y + d = 0 {\displaystyle az_{xx}+2bz_{xy}+cz_{yy}+d=0} ergibt.
2. Differenzieren wir alle Gleichungen von (6), in denen nur ξ {\displaystyle \xi } -Ableitungen vorkommen, nach η {\displaystyle \eta } und umgekehrt, so erhalten wir
(8)
− λ + x ξ η + y ξ η = … {\displaystyle -\lambda ^{+}x_{\xi \eta }+y_{\xi \eta }=\ldots }
(8)
− λ − x ξ η + y ξ η = … {\displaystyle -\lambda ^{-}x_{\xi \eta }+y_{\xi \eta }=\ldots }
(8)
d a x ξ η + p ξ η + λ − q ξ η = … {\displaystyle {\frac {d}{a}}x_{\xi \eta }+p_{\xi \eta }+\lambda ^{-}q_{\xi \eta }=\ldots }
(8)
d a x ξ η + p ξ η + λ + q ξ η = … {\displaystyle {\frac {d}{a}}x_{\xi \eta }+p_{\xi \eta }+\lambda ^{+}q_{\xi \eta }=\ldots }
(8)
− p x ξ η − q y ξ η + z ξ η = … {\displaystyle -px_{\xi \eta }-qy_{\xi \eta }+z_{\xi \eta }=\ldots }
Auf der rechten Seite stehen nur quadratische Terme in den ersten Ableitungen von x , y , z , p , q {\displaystyle x,y,z,p,q} . Wir fassen (8) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten x ξ η , y ξ η , z ξ η , p ξ η , q ξ η {\displaystyle x_{\xi \eta },y_{\xi \eta },z_{\xi \eta },p_{\xi \eta },q_{\xi \eta }} auf. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist nicht singulär wegen
(9)
| − λ + 1 0 0 0 − λ − 1 0 0 0 d a 0 0 1 λ − d a 0 0 1 λ + − p − q 1 0 0 | = − 4 b 2 − a c a 2 ≠ 0. {\displaystyle {\begin{vmatrix}-\lambda ^{+}&1&0&0&0\\-\lambda ^{-}&1&0&0&0\\{\frac {d}{a}}&0&0&1&\lambda ^{-}\\{\frac {d}{a}}&0&0&1&\lambda ^{+}\\-p&-q&1&0&0\end{vmatrix}}=-4{\frac {b^{2}-ac}{a^{2}}}\neq 0.}
Somit können wir das System (8) in der Form (7) auflösen.
q.e.d.
Satz 1 (Analytizitätstheorem von S. Bernstein)
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Sei eine Lösung x = x ( u , v ) = ( x 1 ( u , v ) , … , x n ( u , v ) ) : B → R n ∈ C 3 ( B , R n ) {\displaystyle {\mathfrak {x}}={\mathfrak {x}}(u,v)=(x_{1}(u,v),\ldots ,x_{n}(u,v)):B\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{3}(B,\mathbb {R} ^{n})} des Differentialgleichungsproblems (1)
Δ x ( u , v ) = F ( u , v , x ( u , v ) , x u ( u , v ) , x v ( u , v ) ) , ( u , v ) ∈ B {\displaystyle \Delta {\mathfrak {x}}(u,v)={\mathfrak {F}}(u,v,{\mathfrak {x}}(u,v),{\mathfrak {x}}_{u}(u,v),{\mathfrak {x}}_{v}(u,v)),\quad (u,v)\in B}
mit der reellanalytischen rechten Seite (2)
F : O → R n {\displaystyle {\mathfrak {F}}:{\mathcal {O}}\to \mathbb {R} ^{n}}
bzw. (3)
F = F ( u , v , z 1 , … , z n , p 1 , … , p n , q 1 , … , q n ) : O → C n ∈ C 1 ( O , C n ) {\displaystyle {\mathfrak {F}}={\mathfrak {F}}(u,v,z_{1},\ldots ,z_{n},p_{1},\ldots ,p_{n},q_{1},\ldots ,q_{n}):{\mathcal {O}}\to \mathbb {C} ^{n}\in C^{1}({\mathcal {O}},\mathbb {C} ^{n})}
mit (4)
F u ¯ ≡ F v ¯ ≡ F z 1 ¯ ≡ … ≡ F z n ¯ ≡ F p 1 ¯ ≡ … ≡ F p n ¯ ≡ F q 1 ¯ ≡ … ≡ F q n ¯ ≡ 0 {\displaystyle {\mathfrak {F}}_{\overline {u}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {v}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {z_{1}}}\equiv \ldots \equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {z_{n}}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {p_{1}}}\equiv \ldots \equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {p_{n}}}\equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {q_{1}}}\equiv \ldots \equiv {\mathfrak {F}}_{\overline {q_{n}}}\equiv 0}
gegeben. Dann ist x {\displaystyle {\mathfrak {x}}} reellanalytisch in B {\displaystyle B} .
Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gehen wir aus von einer Lösung x = x ( α , γ ) : B → R n ∈ C 3 ( B , R n ) {\displaystyle {\mathfrak {x}}=\mathbf {x} (\alpha ,\gamma ):B\to \mathbb {R} ^{n}\in C^{3}(B,\mathbb {R} ^{n})} des Differentialgleichungssystems
(5)
x α α ( α , γ ) + x γ γ ( α , γ ) = F ( α , γ , x , x α ( α , γ ) , x γ ( α , γ ) ) {\displaystyle \mathbf {x} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\gamma )+\mathbf {x} _{\gamma \gamma }(\alpha ,\gamma )=\mathbf {F} (\alpha ,\gamma ,\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ),\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\gamma ))} in
B {\displaystyle B} .
Wir betrachten das Cauchysche Anfangswertproblem
(6)
− x β β ( α , β , γ ) + x γ γ ( α , β , γ ) = F ( α , β , γ , x , − i x β , x γ ) in B ′ , x ( α , 0 , γ ) = x ( α , γ ) in B , x β ( α , 0 , γ ) = i x α ( α , γ ) in B {\displaystyle {\begin{matrix}-\mathbf {x} _{\beta \beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )+\mathbf {x} _{\gamma \gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\mathbf {x} ,-i\mathbf {x} _{\beta },\mathbf {x} _{\gamma }){\text{ in }}{\mathcal {B}}',\\\mathbf {x} (\alpha ,0,\gamma )=\mathbf {x} (\alpha ,\gamma ){\text{ in }}B,\\\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )=i\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ){\text{ in }}B\end{matrix}}}
zum Parameter α {\displaystyle \alpha } . Hierbei ist B ′ ⊂ R 3 {\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset \mathbb {R} ^{3}} eine geeignete offene Menge mit B ⊂ B ′ {\displaystyle B\subset {\mathcal {B}}'} . Gemäß §4 hat (6) eine lokal eindeutige Lösung x = x ( α , β , γ ) {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma )} , da die charakteristischen Kurven der Differentialgleichung aus B {\displaystyle B} herausführen. Wir bemerken, dass die Lösung differenzierbar vom Parameter α {\displaystyle \alpha } abhängt. Es sei nun u := α + i β {\displaystyle u:=\alpha +i\beta } . Wir können nun den Operator
∂ ∂ u ¯ = 1 2 ( ∂ ∂ α + i ∂ ∂ β ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {u}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}+i{\frac {\partial }{\partial \beta }}\right)}
auf die Differentialgleichung in (6) anwenden. Wir erhalten dann für die Funktion
y ( α , β , γ ) = ( y 1 ( α , β , γ ) , … , y n ( α , β , γ ) ) := x u ¯ ( α , β , γ ) {\displaystyle \mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma )=(y_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ),\ldots ,y_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma )):=\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )}
das Differentialgleichungssystem
(7)
− y β β ( α , β , γ ) + y γ γ ( α , β , γ ) = ∑ j = 1 n { F z j y j − i F p j y j , β + F q j y j , γ } {\displaystyle -\mathbf {y} _{\beta \beta }(\alpha ,\beta ,\gamma )+\mathbf {y} _{\gamma \gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl \{}\mathbf {F} _{z_{j}}y_{j}-i\mathbf {F} _{p_{j}}y_{j,\beta }+\mathbf {F} _{q_{j}}y_{j,\gamma }{\Bigr \}}} in
B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} .
Offenbar ist wegen (6)
(8)
y ( α , 0 , γ ) = 1 2 ( x α ( α , 0 , γ ) + i x β ( α , 0 , γ ) ) = 1 2 ( x α ( α , γ ) + i i x α ( α , γ ) ) = 0 {\displaystyle \mathbf {y} (\alpha ,0,\gamma )={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,0,\gamma )+i\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma ))={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma )+ii\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ))=0} in
B {\displaystyle B}
richtig. Weiter berechnen wir mit (6) und (5)
y β ( α , 0 , γ ) = 1 2 ( x α β ( α , 0 , γ ) + i x β β ( α , 0 , γ ) ) {\displaystyle \mathbf {y} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )+i\mathbf {x} _{\beta \beta }(\alpha ,0,\gamma ))}
= 1 2 ( x α β ( α , 0 , γ ) + i x γ γ ( α , 0 , γ ) − i F ( α , 0 , γ , x , x α , x γ ) ) = 1 2 ( x α β ( α , 0 , γ ) − i x α α ( α , γ ) ) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )+i\mathbf {x} _{\gamma \gamma }(\alpha ,0,\gamma )-i\mathbf {F} (\alpha ,0,\gamma ,\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{\alpha },\mathbf {x} _{\gamma }))={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \beta }(\alpha ,0,\gamma )-i\mathbf {x} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\gamma ))}
= 1 2 ∂ ∂ α ( x β ( α , 0 , γ ) − i x α ( α , γ ) ) = 0 {\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}(\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )-i\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\gamma ))=0} in
B {\displaystyle B} ,
also
(9)
y β ( α , 0 , γ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {y} _{\beta }(\alpha ,0,\gamma )=0} in
B {\displaystyle B} .
Das homogene Cauchysche Anfangswertproblem (7)–(9) ist eindeutig lösbar durch y ( α , β , γ ) ≡ 0 {\displaystyle \mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv 0} in B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} und es folgt
(10)
x u ¯ ( α , β , γ ) ≡ 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv 0} in
B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} .
2. Wir setzen nun x {\displaystyle \mathbf {x} } von B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} auf B ⊂ C 2 {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset \mathbb {C} ^{2}} fort. Dazu lösen wir das Cauchysche Anfangswertproblem
(11)
x α α ( α , β , γ , δ ) − x δ δ ( α , β , γ , δ ) = F ( α , β , γ , δ , x , x α , − i x δ ) in B , x ( α , β , γ , 0 ) = x ( α , β , γ ) in B ′ , x δ ( α , β , γ , 0 ) = i x γ ( α , β , γ ) in B ′ . {\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-\mathbf {x} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\mathbf {F} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{\alpha },-i\mathbf {x} _{\delta }){\text{ in }}{\mathcal {B}},\\\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ){\text{ in }}{\mathcal {B}}',\\\mathbf {x} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)=i\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ){\text{ in }}{\mathcal {B}}'.\end{matrix}}}
Die Lösung hängt differenzierbar von den Parametern β , γ {\displaystyle \beta ,\gamma } ab und höhere Regularität folgt wieder wie in §4. Wir betrachten zunächst die Funktion
y ( α , β , γ , δ ) = ( y 1 ( α , β , γ , δ ) , … , y n ( α , β , γ , δ ) ) := x u ¯ ( α , β , γ , δ ) . {\displaystyle \mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(y_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),\ldots ,y_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )):=\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ).}
Diese genügt wegen (11) dem hyperbolischen System
(12)
y α α ( α , β , γ , δ ) − y δ δ ( α , β , γ ) = ∑ j = 1 n { F z j y j + F p j y j , α − i F q j y j , δ } {\displaystyle \mathbf {y} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-\mathbf {y} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl \{}\mathbf {F} _{z_{j}}y_{j}+\mathbf {F} _{p_{j}}y_{j,\alpha }-i\mathbf {F} _{q_{j}}y_{j,\delta }{\Bigr \}}} in
B {\displaystyle {\mathcal {B}}}
und erfüllt wegen (10) die Anfangsbedingungen
(13)
y ( α , β , γ , 0 ) = 1 2 ( x α ( α , β , γ , 0 ) + i x β ( α , β , γ , 0 ) ) = x u ¯ ( α , β , γ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\beta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=0} in
B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'}
und
(14)
y δ ( α , β , γ , 0 ) = 1 2 ( x α δ ( α , β , γ , 0 ) + i x β δ ( α , β , γ , 0 ) ) = i ∂ ∂ γ x u ¯ ( α , β , γ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {y} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\alpha \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\beta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=i{\frac {\partial }{\partial \gamma }}\mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=0} in
B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} .
Aus (12) – (14) folgt y ( α , β , γ , δ ) = 0 {\displaystyle \mathbf {y} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=0} in B {\displaystyle {\mathcal {B}}} bzw.
(15)
x u ¯ ( α , β , γ , δ ) ≡ 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{\overline {u}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0} in
B {\displaystyle {\mathcal {B}}} .
Schließlich untersuchen wir die Funktion
z ( α , β , γ , δ ) = ( z 1 ( α , β , γ , δ ) , … , z n ( α , β , γ , δ ) ) := x v ¯ ( α , β , γ , δ ) , {\displaystyle \mathbf {z} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=(z_{1}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),\ldots ,z_{n}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )):=\mathbf {x} _{\overline {v}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ),}
welche wegen (11) dem folgenden Differentialgleichungssystem genügt:
(16)
z α α ( α , β , γ , δ ) − z δ δ ( α , β , γ ) = ∑ j = 1 n { F z j z j + F p j z j , α − i F q j z j , δ } {\displaystyle \mathbf {z} _{\alpha \alpha }(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )-\mathbf {z} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{j=1}^{n}{\Bigl \{}\mathbf {F} _{z_{j}}z_{j}+\mathbf {F} _{p_{j}}z_{j,\alpha }-i\mathbf {F} _{q_{j}}z_{j,\delta }{\Bigr \}}} in
B {\displaystyle {\mathcal {B}}} .
Wir berechnen für z {\displaystyle \mathbf {z} } die Anfangsbedingungen
(17)
z ( α , β , γ , 0 ) = 1 2 ( x γ ( α , β , γ , 0 ) + i x δ ( α , β , γ , 0 ) ) = 1 2 ( x γ ( α , β , γ ) + i i x γ ( α , β , γ ) ) = 0 {\displaystyle \mathbf {z} (\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma )+ii\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ))=0} in
B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'}
und
(18)
z δ ( α , β , γ , 0 ) = 1 2 ( x γ δ ( α , β , γ , 0 ) + i x δ δ ( α , β , γ , 0 ) ) = ∂ ∂ γ 1 2 ( x δ ( α , β , γ , 0 ) − i x γ ( α , β , γ , 0 ) ) = 0 {\displaystyle \mathbf {z} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)={\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\gamma \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)+i\mathbf {x} _{\delta \delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))={\frac {\partial }{\partial \gamma }}{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} _{\delta }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0)-i\mathbf {x} _{\gamma }(\alpha ,\beta ,\gamma ,0))=0} in
B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} ,
wobei wir (11) und (5) benutzt haben. Gleichung (5) gilt nämlich wegen (10) auch in B ′ {\displaystyle {\mathcal {B}}'} . Aus (16) – (18) schließen wir nun z ( α , β , γ , δ ) ≡ 0 {\displaystyle \mathbf {z} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0} in B {\displaystyle {\mathcal {B}}} bzw.
(19)
x v ¯ ( α , β , γ , δ ) ≡ 0 {\displaystyle \mathbf {x} _{\overline {v}}(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )\equiv 0} in
B {\displaystyle {\mathcal {B}}} .
Wir haben also die Lösung x = 22 {\displaystyle \mathbf {x} =22} von (5) zu einer Funktion x = x ( α , β , γ , δ ) : B → C n {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ):{\mathcal {B}}\to \mathbb {C} ^{n}} fortgesetzt, die wegen (15) und (19) holomorph in den Variablen u = α + i β {\displaystyle u=\alpha +i\beta } und v = γ + i δ {\displaystyle v=\gamma +i\delta } ist. Somit ist
x ( α , γ ) = x ( α , β , γ , δ ) | β = δ = 0 {\displaystyle \mathbf {x} (\alpha ,\gamma )=\mathbf {x} (\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ){\big |}_{\beta =\delta =0}}
reell analytisch in α {\displaystyle \alpha } und γ {\displaystyle \gamma } .
q.e.d.