Kurs:Nichtlineare Partielle Differentialgleichungen/Nichtlineare partielle Differentialgleichungen

§1 Die Fundamentalformen und Krümmungen einer Fläche

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Satz 1 (Eulersche Formel für die Normalkrümmung)

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Die Normalkrümmung der Fläche in Richtung   wird gegeben durch
(1)  
Ist   erfüllt, so wird die Normalkrümmung in Richtung   minimiert und in Richtung   maximiert.

Definition 1

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Einen Punkt   der Fläche   nennen wir Nabelpunkt, falls   erfüllt ist.

Definition 2

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Wir erklären die Gaußsche Krümmung der Fläche als
(2)  
Unter der mittleren Krümmung verstehen wir
(3)  

§2 Zweidimensionale parametrische Integrale

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Satz 1 (Rellich)

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Eine gemäß
(1)   in  
konform parametrisierte Fläche   hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung  , wenn sie dem  -Flächensystem
(2)  
genügt.

Satz 2 (Lagrange-Gauß)

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Der Graph   hat genau dann die vorgeschriebene mittlere Krümmung  , wenn   die nicht parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung
(3)   in  
erfüllt.

§3 Quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung (Charakteristische Parameter)

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Satz 1 (Lineare hyperbolische Differentialgleichungen)

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Für die hyperbolische Differentialgleichung
(1)   in  
mit
(2)   in  
gibt es eine Variablentransformation
 
  in  
mit der Umkehrabbildung  
mit
  in  .
Die Differentialgleichung erscheint dann in der hyperbolischen Normalform
(3)  
und die Parametertransformation   genügt dem System
(4)  
erster Ordnung.

Satz 2 (Hyperbolische Normalform für quasilineare Differentialgleichungen)

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Die quasilineare Differentialgleichung
(5)  
welche gemäß
  in  
hyperbolisch bezüglich ihrer Lösung   ist, kann durch die lokale Parametertransformation auf die charakteristischen Parameter äquivalent überführt werden in das System erster Ordnung
(6)  
(6)  
(6)  
Für die Funktion   ergibt sich ein hyperbolisches System zweiter Ordnung
(7)  
wobei die rechte Seite quadratisch in den ersten Ableitungen   ist.

1. Ausgehend von einer Lösung (6) wollen wir die Gültigkeit der Differentialgleichung (1) zeigen. Zunächst liefern die ersten beiden Gleichungen aus (6) wegen

 

die Beziehungen

 

Somit folgt

 
 

woraus sich   ergibt.

2. Differenzieren wir alle Gleichungen von (6), in denen nur  -Ableitungen vorkommen, nach   und umgekehrt, so erhalten wir

(8)  
(8)  
(8)  
(8)  
(8)  

Auf der rechten Seite stehen nur quadratische Terme in den ersten Ableitungen von  . Wir fassen (8) als lineares Gleichungssystem in den Unbekannten   auf. Die Koeffizientenmatrix dieses Systems ist nicht singulär wegen

(9)  

Somit können wir das System (8) in der Form (7) auflösen.

q.e.d.

§4 Das Cauchysche Anfangswertproblem für quasilineare hyperbolische Differentialgleichungen und Systeme zweiter Ordnung

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§5 Die Riemannsche Integrationsmethode

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Definition 1

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Die Funktion   heißt Riemannsche Funktion, falls folgendes gilt:
  1.   genügt der Differentialgleichung   in  .
  2. Wir haben  .
  3. Längs   gilt   bzw.  .
  4. Längs   gilt   bzw.  .

Satz 1 (Riemannsche Integrationsmethode)

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Eine Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung   kann mit Hilfe ihrer Riemannschen Funktion   wie folgt durch ihre Cauchydaten dargestellt werden: Für   gilt
 

§6 Das Bernsteinsche Analytizitätstheorem

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Satz 1 (Analytizitätstheorem von S. Bernstein)

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Sei eine Lösung   des Differentialgleichungsproblems
(1)  
mit der reellanalytischen rechten Seite
(2)  
bzw.
(3)  
mit
(4)  
gegeben. Dann ist   reellanalytisch in  .

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen gehen wir aus von einer Lösung   des Differentialgleichungssystems

(5)   in  .

Wir betrachten das Cauchysche Anfangswertproblem

(6)  

zum Parameter  . Hierbei ist   eine geeignete offene Menge mit  . Gemäß §4 hat (6) eine lokal eindeutige Lösung  , da die charakteristischen Kurven der Differentialgleichung aus   herausführen. Wir bemerken, dass die Lösung differenzierbar vom Parameter   abhängt. Es sei nun  . Wir können nun den Operator

 

auf die Differentialgleichung in (6) anwenden. Wir erhalten dann für die Funktion

 

das Differentialgleichungssystem

(7)   in  .

Offenbar ist wegen (6)

(8)   in  

richtig. Weiter berechnen wir mit (6) und (5)

 
 
  in  ,

also

(9)   in  .

Das homogene Cauchysche Anfangswertproblem (7)–(9) ist eindeutig lösbar durch   in   und es folgt

(10)   in  .

2. Wir setzen nun   von   auf   fort. Dazu lösen wir das Cauchysche Anfangswertproblem

(11)  

Die Lösung hängt differenzierbar von den Parametern   ab und höhere Regularität folgt wieder wie in §4. Wir betrachten zunächst die Funktion

 

Diese genügt wegen (11) dem hyperbolischen System

(12)   in  

und erfüllt wegen (10) die Anfangsbedingungen

(13)   in  

und

(14)   in  .

Aus (12) – (14) folgt   in   bzw.

(15)   in  .

Schließlich untersuchen wir die Funktion

 

welche wegen (11) dem folgenden Differentialgleichungssystem genügt:

(16)   in  .

Wir berechnen für   die Anfangsbedingungen

(17)   in  

und

(18)   in  ,

wobei wir (11) und (5) benutzt haben. Gleichung (5) gilt nämlich wegen (10) auch in  . Aus (16) – (18) schließen wir nun   in   bzw.

(19)   in  .

Wir haben also die Lösung   von (5) zu einer Funktion   fortgesetzt, die wegen (15) und (19) holomorph in den Variablen   und   ist. Somit ist

 

reell analytisch in   und  .

q.e.d.