Kurs:Numerik I/Notationen

Grundlegende Funktionen und Abbildungen

Zunächst werden grundlegende Funktionen genannt, die in vielen Bereichen der Numerkik verwendet werden und hier zentral gelistet werden. Notationen können im Laufe des Kurs von den Teilnehmer:innen auch ergänzt werden.

Signum-Funktion - Vorzeichen

Mit der Signum-Funktion wird das Vorzeichen $+,-$ einer Zahl $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ durch die Zahlenwerte $+1,-1$ kodiert, wobei die Zahl $x=0$ durch die Signum-Funktion kein Vorzeichen zugeordnet wird und das Signum-Funktion liefert den Wert 0 zurück.

$sgn(x):={\begin{cases}|x|/x,&x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R}$

Bemerkung - Signum-Funktion

Mit der Signum-Funktion kann man numerische Algorithmen von dem Vorzeichen eines Zahlenwertes abhängig machen. Ist der Wert $s:=f'(x_{o})$ z.B. durch die Steigung der Funktion $f$ an der Stelle $x_{o}\in \mathbb {R}$ definiert. So liefert die Signum-Funktion $sgn(s)$ qualitativ zurück, ob die Funktion $f$ an der Stelle

• steigt mit $sgn(s)=+1$,
• fällt mit $sgn(s)=-1$,
• weder steigt noch fällt mit $sgn(s)=0$

Vektoren

Vektoren und Matrizen sind grundlegende Strukturen in der Numerik, in denen z.B. erhobene Daten gespeichert und mit numerischen Verfahren verarbeitet werden. Die Prozesse laufen in der Numerik oft in einem Iterationsprozess ab, in dem z.B. aus einem gegebenen Vektor $x^{(t)}\in \mathbb {R} ^{n}$ zum Tder nachfolgende Vektor $x^{(t+1)}\in \mathbb {R} ^{n}$ berechnet wird. Die Iteration hat dabei z.B. das Ziel, eine Kostenfunktion zu minimieren bzw. bezüglicher einer gegeben Gütefunktion $G$ die von $G(x^{(m)})\in \mathbb {R}$ zu $G(x^{(m+1)})\in \mathbb {R}$ zu verbessern.

n-Tupel

Sei $\mathbb {K}$ eine nicht-leere Menge (z.B. $\mathbb {K} :=\mathbb {R}$ Körper der reellen Zahlen). Ein Vektor $x\in \mathbb {K} ^{n}$ ist ein Element aus dem $n$-fachen Kartesischen Produkt von $\mathbb {K}$

$x=(x_{1},...,x_{n})^{T}\in \mathbb {K} ^{n}$

Einheitsvektoren

Einheitsvektor $e^{(i)}\in \mathbb {R} ^{n}$ sind Vektoren, die an der $i$-ten Stelle eine $1$ und ansonsten alle Komponenten eine 0 steht. Die $e^{(1)},\ldots ,e^{(n)}$ bilden eine Basis des Vektorraumes $\mathbb {K}$. $e^{(i)}:=(0,...,\overbrace {1} ^{i{\text{-te Stelle}}},0,...,0)^{T}\in \mathbb {R} ^{n}$

Richtungsvektoren

Richtungsvektor $v\in \mathbb {R} ^{n}$ ist ein Vektor in der Einheitkugel $B_{1}(0_{V})$ in dem normierten Vektorraum $V:=\mathbb {R} ^{n}$ mit der Länge $\|v\|=1$.

Bemerkungen - Richtungsvektor

• Jeder Einheitsvektor $e^{(i)}\in \mathbb {R} ^{n}$ mit $i\in \{1,...,n\}$ ist ebenfalls ein spezieller Richtungsvektor.
• Richtungsvektoren $v\in \mathbb {R} ^{n}$ werden z.B. für Festlegung der Richtung der Veränderung $x^{(n)}\in \mathbb {R} ^{n}$ zu einer nachfolgenden Vektor $x^{(n+1)}:=x^{(n)}+\varepsilon \cdot v\in \mathbb {R} ^{n}$, wobei $\varepsilon >0$ die Schrittweite der Veränderung angibt.

Siehe auch

• Kartesisches Produkt
• Vektorräume - (Foliensatz)
• Mengenlehre - (Folien)

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