Kurs:OpenOffice.org/Kalkulationen/Geburtstage in einer Gruppe

Problembeschreibung

In einer Gruppe von mehreren Menschen finden sich häufig zwei oder mehr Mitglieder, die am gleichen Kalendertag Geburtstag haben. Wie wahrscheinlich ist das?

Die entgegengesetzte Fragestellung lautet: Wie wahrscheinlich ist es, dass in einer Menschengruppe alle Mitglieder an unterschiedlichen Tagen Geburtstag haben?

Falls die letztere Fragestellung beantwortet werden kann, ergibt sich daraus auch die Antwort auf die Ausgangsfrage.

Angenommen, in einer Gruppe haben sich k Menschen zusammengefunden (mit k=2,3,4,...,365). Dann könnte jedes Gruppenmitglied an jedem von 365 Tagen des Jahres geboren worden sein. Das bedeutet 365^k verschiedene Möglichkeiten. Die Möglichkeiten, an unterschiedlichen Tagen geboren worden zu sein, belaufen sich für den ersten der Gruppe auf 365, woraufhin der nächste noch 364 verschiedene Tage zur Auswahl hat, der dritte noch 363 Tage, der vierte noch 362 usw. Somit ist die Chance, nur an unterschiedlichen Tagen geborene Personen versammelt zu haben, leicht zu berechnen als:

$365\cdot 364\cdot ...\cdot (365-k+2)\cdot (365-k+1)/365^{k}\ ={\frac {365!}{(365-k)!\cdot 365^{k}}}$.

Daraus ergibt sich für die Ausgangsfrage eine Wahrscheinlichkeit von:

$P(k)=1-{\frac {365!}{(365-k)!\cdot 365^{k}}}$

Aufgabe:

Es ist eine Kalkulationstabelle zu entwickeln, welche für k-Werte von 1 bis 80 die Wahrscheinlichkeiten P(k) berechnet.

Wahrscheinlichkeitstabelle

Zur besseren Handhabung in einer Kalkulationstabelle bietet sich eine rekursive Schreibweise an:

$P(1)=0\$

${\frac {1-P(k+1)}{1-P(k)}}={\frac {\frac {365!}{(365-k-1)!\cdot 365^{k+1}}}{\frac {365!}{(365-k)!\cdot 365^{k}}}}={\frac {365-k}{365}}=1-{\frac {k}{365}}$

$P(k+1)=1-(1-{\frac {k}{365}})\cdot (1-P(k)))$

Ergebnis

1. Bereits ab 23 Personen in einer Gruppe beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Mitglieder der Gruppe am gleichen Kalendertag Geburtstag haben, mehr als 50%.
2. Ab einer Gruppengröße von 41 Mitgliedern ist es bereits über 90% wahrscheinlich, dass ein Mehrfachgeburtstag begangen werden kann.
3. Eine 95%-ige Chance zum Mehrfachgeburtstag besteht bei einer Gruppengröße ab 47 Personen.
4. Eine 99%-ige Chance zum Mehrfachgeburtstag besteht bei einer Gruppengröße ab 57 Personen.
5. Ab einer Gruppengröße von 69 Personen kann ein Mehrfachgeburtstag als sicher betrachtet werden.

Diagramme

Aufgabe:

• Erstelle ein Diagramm zur Veranschaulichung des Verlaufs der Wahrscheinlichkeiten in Abhängigkeit von k
• Berechne die Differenzen zwischen den Wahrscheinlichkeiten bei k und k+1 Gruppenmitgliedern. Dies ergibt die "Dichtefunktion"
• Erstelle ein Diagramm zur Veranschaulichung des Verlaufs dieser Dichtefunktion.

• 
  Wahrscheinlichkeitskurve
• 
  Dichtefunktion