Kurs:PH-Wert-Berechnung/Gleichungen

PH-Wert-Berechnung/Gleichungen

Überblick

Die gesamte pH-Wert-Berechnung für Säuren beruht auf folgenden vier Formeln:

1. $K_{s}=[H^{+}]*[A^{-}]/[HA]$
2. $c_{0}=[HA]+[A^{-}]$
3. $K_{w}=[H^{+}]*[OH^{-}]$
4. $[H^{+}]=[A^{-}]+[OH^{-}]$

Diese vier Formeln sollen erläutert und erklärt werden, um sie schließlich in einer Formel zusammenzufassen.

Die vier Grundgleichungen der pH-Rechnung

Die Säurekonstante

Die Säurekonstante $K_{s}$ bezieht sich auf folgendes Gleichgewicht:

$HA\rightleftharpoons H^{+}+A^{-}$

Sie stellt das zugehörige w:Massenwirkungsgesetz dar:

$K_{s}=[H^{+}]*[A^{-}]/[HA]$

$K_{s}$ ist ein Maß für die "Stärke" einer Säure, d.h. zu welchem Ausmaß die Säureteilchen tatsächlich Protonen freisetzen. Wir stellen fest, dass es auch schwache Säuren gibt, die ein nur sehr kleines Bestreben zur Protolyse zeigen.

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Schon gewusst? Tabelle der Säurestärken

$pK_{s}$ ist der negative dekadische Logarithmus der Säurekonstante, d.h.:

$pK_{s}=-\log K_{s}$

So werden die Zahlen handlicher!

Die Ausgangskonzentration

Unsere Rechnungen müssen von den Ausgangsstoffen ausgehen. Meist ist exakt bekannt, wie viele unprotolysierten Säureteilchen $HA$ sich in der Lösung befunden haben, bevor sich das Gleichgewicht

$HA\rightleftharpoons H^{+}+A^{-}$

einstellte. Diese Ausgangsgröße wird Ausgangskonzentration $c_{0}$ genannt.

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$c_{0}$ lässt sich als

$c_{0}=[HA]+[A^{-}]$

schreiben (prüfe auch an Beispiel).

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Das Ionenprodukt

Zur Betrachtung des $K_{w}$ ist es nötig, sich das MWG der Autoprotolyse des Wassers anzusehen:

$H_{2}O\rightleftharpoons H^{+}+OH^{-}$

Hieraus lässt sich aufstellen:

$K=[H^{+}]*[OH^{-}]/[H_{2}O]$

wir setzen per definitionem $H_{2}0=1$ und erhalten das sogenannte Ionenprodukt des Wassers:

$K_{w}=[H^{+}]*[OH^{-}]$

Es beträgt bei 25°C exakt 10^-14 mol²/l²

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Die Ladungsbilanz

Beim Einstellen des Gleichgewichts überlagern sich die Autoprotolyse des Wassers und die Dissoziation der Säureteilchen. Es findet jedoch keine elektrische Ladungstrennung statt, d.h. es gibt im Gleichgewichtszustand immer genau so viele positive Teilchen ($H^{+}$) wie negative Teilchen ($A^{-}$ und $OH^{-}$) in unserer Lösung, was zu folgender Gleichung führt:

$[H^{+}]=[A^{-}]+[OH^{-}]$

Die große pH-Formel

Es ist nun durch Einsetzen möglich, eine Gleichung dritten Grades zu erhalten, über die die Konzentration der $H^{+}$-Teilchen in unserer Probe zu berechnen ist.

${\begin{alignedat}{2}K_{s}&={\frac {[H^{+}]*[A^{-}]}{[HA]}}\\K_{s}*[HA]&=[H^{+}]*[A^{-}]\\&&&c_{0}=[HA]+[A^{-}]\\&&&[HA]=c_{0}-[A^{-}]\\K_{s}*(c_{0}-[A^{-}])&=[H^{+}]*[A^{-}]\\&&&[H^{+}]=[A^{-}]+[OH^{-}]\\&&&[A^{-}]=[H^{+}]-[OH^{-}]\\K_{s}*(c_{0}-([H^{+}]-[OH^{-}]))&=[H^{+}]*([H^{+}]-[OH^{-}])\\&&&K_{w}=[H^{+}]*[OH^{-}]\\&&&[OH^{-}]={\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}\\K_{s}*(c_{0}-([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}))&=[H^{+}]*([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}})\\K_{s}*(c_{0}-([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}))&=[H^{+}]*([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}})\\K_{s}*c_{0}-K_{s}*([H^{+}]-{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}})&=[H^{+}]^{2}-[H^{+}]*{\frac {K_{w}}{[H^{+}]}}&&\quad |*[H^{+}]\\K_{s}*c_{0}*[H^{+}]-K_{s}*[H^{+}]^{2}+K_{s}*K_{w}&=[H^{+}]^{3}-[H^{+}]*K_{w}\end{alignedat}}$

Wir erhalten also:

$[H^{+}]^{3}+[H^{+}]^{2}*K_{s}-[H^{+}](K_{s}*c_{0}+K_{w})-K_{s}*K_{w}=0$

Diese Formel ohne weiteres zu lösen ist jedoch sehr aufwändig! Wenden wir uns deswegen möglichen Vereinfachungen zu...