Kurs:Physik für Techniker/Elektrodynamik

Wechselwirkungen und Felder

Um die Wechselwirkungen zwischen Körpern zu beschreiben ist es nützlich, den Begriff des Feldes einzuführen. Ein Temperaturfeld ordnet zum Beispiel jedem Raumpunkt einen Temperaturwert zu. Das Gravitationsfeld einer großen Masse ermöglicht die Berechnung des Verhaltens einer kleinen Probemasse unabhängig davon, ob die Probemasse tatsächlich da ist. Mathematisch ordnen wir so jedem Raumpunkt einen Skalar (z.B. Temperatur), einen Vektor (z.B. Geschwindigkeit) oder Tensor (z.B. richtungsabhängige Materialkonstanten) zu.

Wechselwirkungen

Für die Kräfte, die zum Bsp. Atome zusammenhalten sind sicherlich andere Wechselwirkungen verantwortlich als die Gravitation, die die gegenseitige Massenanziehung beschreibt.
Die Physik unterscheidet vier Arten von Wechselwirkungen:

Gravitationswechselwirkung
ist die am längsten bekannte, für die Anziehung beliebiger Teilchen verantwortliche Kraft.

Elektromagnetische Wechselwirkung
ist die für unseren Alltag wichtigste Wechselwirkung. Sie beschreibt neben elektrischen Vorgängen in der Technik auch die Kräfte zwischen Atomen bzw. Molekülen der Materie. Die Reibung ist ein prominentes Beispiel.

Starke Wechselwirkung
Diese ist in den Atomkernen wirksam, wo sie für den Zusammenhalt von Protonen und Neutronen sorgt.

Schwache Wechselwirkung
Diese ist anschaulich nicht erklärbar. Ihre wichtigste Auswirkung ist der radioaktive Zerfall ( $\beta Zerfall$ )

Auf elektrisch geladene Teilchen wirken Kräfte, die wir in zwei Fälle unterscheiden können.

Geschwindigkeitsunabhängige Kräfte und
zu der Geschwindigkeit proportionale Kräfte auf das geladene Teilchen

Im ersten Fall sprechen wir von elektrischen Kräften und einem elektrischen Feld, Fall zwei ergibt das magnetische Feld und im allgemeinen Fall der Überlagerung ergibt sich das elektromagnetische Feld. Es ist eine Frage des Bewegungszustandes des Beobachters, welches Phänomen für ihn sichtbar ist. Dazu näheres unter Kurs:Physik_für_Techniker/Relativitätstheorie.

Im SI-System ist der Strom $I$ als Grundgröße festgelegt. Werden zwei parallel eingespannte Drähte in gleicher Richtung von Strom durchflossen, so ziehen sich diese an. Mit der Leiterlänge $l$ und dem Abstand $r$ der Leiter ergibt sich eine Kraft von $F=K{\frac {l}{r}}I^{2}$
Für die Konstante $K$ hat man im SI den Wert $2\cdot 10^{-7}$ festgelegt. Die so definierte Einheit heißt Ampere, $K$ wird mit ${\frac {\mu _{0}}{2\pi }}$ bezeichnet. Dadurch erhält $\mu _{0}$ den Wert $\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}$ Newton/Ampere^2 und den Namen magnetische Feldkonstante.

Ladung und Strom

Unter Strom verstehen wir den gerichteten Transport von Ladungsträgern. Das können die negativ geladenen Elektronen in einem Kathodenstrahl oder Draht sein, in Elektrolyten sind es die relativ massereichen Ionen, in Halbleitern nennt man fehlende Ladungsträger Löcher mit der zugehörigen Löcherleitung. Ob eine Ladung positiv oder negativ genannt wird ist reine Definitionssache, eine Teilchenart die von Elektronen angezogen wird ist positiv. Einmal definiert muß man sich an diese Abmachung halten. Daß die Definition etwas unglücklich gewählt ist sieht man an der Stromrichtung in Schaltkreisen. Dort ist die Stromrichtung von Plus nach Minus entgegengesetzt zur Elektronenflußrichtung, was am Anfang verwirrend ist.

Es gilt $I={\frac {Q}{t}}$ bzw. $i={\frac {dQ}{dt}}$ für zeitlich veränderliche Ströme. Ladungen finden sich in der Natur nur in ganzzahligen Vielfachen von $1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm {As}$ , der Elementarladung.

Maxwell´sche Gleichungen

Die Maxwell´schen Gleichungen sehen, daür daß sie die komplette klassische Theorie des elektromagnetischen Feldes enthalten, recht einfach aus. Doch da diese vier Gleichungen miteinander verkoppelt sind wird die Lösung unter Umständen wesentlich komplizierter, als auf den ersten Blick vermutet. Weiters beschreiben (I)-(IV) das Verhalten im Vakuum:

c^{2}\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\,\,{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {j}{\varepsilon _{0}}}\quad (I)

\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\qquad (II)

\operatorname {div} \mathbf {B} =0\qquad (III)

\operatorname {div} \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\qquad (IV)

Materialkonstanten werden durch $D=\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}\mathbf {E}$ und $B=\mu _{r}\mu _{0}\mathbf {H}$ hergestellt, wobei für anisotrope Medien für $\varepsilon _{r}$ und $\mu _{r}$ Tensoren verwendet werden müssen.
Der Zusammenhang zur Mechanik wird durch die Lorentz-Kraft hergestellt

\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )

Die Lorentz-Kraft beschreibt die Bewegung eines elektrisch geladenen Teilchens bei gegebenem E und B-Feld. Da wir es in der Regel mit hohen Geschwindigkeiten (nahe der Lichtgeschwindigkeit) zu tun haben können wir die relativistischen Effekte nicht vernachlässigen.

F={\frac {d}{dt}}\left[{\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right]

Bei relativ zu c kleinen Geschwindigkeiten wird der Nenner eins und da m dann als konstant angesehen wird bleibt ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ , die altbekannte Gleichung.

Wellengleichung

\nabla ^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t^{2}}}E=0\qquad \nabla ^{2}H-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t^{2}}}H=0

Anhang Vektoranalysis

Die mathematische Vorbildung sollte kein Hindernis sein, sich auch mit den so schwierig erscheinenden Gleichungen zu befassen. Zur Übung bzw. Einführung in den "Werkzeugkasten" für den Umgang mit den Feldgleichungen ist hier ein kleiner mathematischer Anhang mit Aufgaben und Lösungen an die Hand gegeben.
Vorausgesetzt werden lediglich die elementaren Begriffe der Vektorrechnung

Skalarfelder

Die Temperatur ist bekanntlich ein Skalar, denn zur Beschreibung der Temperatur am Punkt P(1) bedarf es lediglich der Angabe einer Zahl und der Einheit (Kelvin, °C, Fahrenheit usw.), um vollständig informiert zu sein. Ordnet man jedem Punkt im interessierenden Gebiet eine solche Zahl zu erhalten wir ein Skalarfeld

Vektorfelder

Betrachten wir ein Vektorfeld, so ist nicht nur der Betrag wichtig, sondern auch seine Richtung. So hat das Magnetfeld der Erde eine vom Ort abhängige Größe und eine Richtung.

Gradient, Divergenz und Rotation

Der Gradient eines Skalarfeldes gibt die Stärke der Veränderung eines Skalarfeldes an, seine Richtung ist die der größten Änderung. Der Gradient eines Skalarfeldes ergibt ein Vektorfeld.

\operatorname {grad} ~\varphi :={\vec {\nabla }}\varphi ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\\[0.2cm]{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\\[0.2cm]{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\end{pmatrix}}

Die Divergenz ist zunächst das Vektorprodukt von $\,\nabla$ mit einem Vektorfeld F, in Komponenten geschrieben : $\operatorname {div} ~{\vec {F}}:={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$
Die Divergenz ergibt einen Skalar, den spezifischen Fluß in oder aus einem infinitesimalen Raumgebiet.

Die Rotation ist das Kreuzprodukt von Nabla mit einem Vektorfeld und erzeugt wieder ein Vektorfeld.

\operatorname {rot} ~{\vec {F}}:={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[0.2cm]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[0.2cm]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\\[0.2cm]\end{pmatrix}}

Wichtig ist, daß ein Ausdruck wie ${\vec {A}}=B{\vec {\nabla }}$ so keinen Sinn ergibt. Im englischen Sprachraum wird Nabla als "..something hungry to differentiate..." bezeichnet. Es ist ein Operator, der einen Operanden braucht, um eine sinnvolle Gleichung zu erhalten.
Die Gleichung $A={\vec {\nabla }}\cdot B$ ist hingegen ein mathematisch kompletter Ausdruck. Ob das ganze physikalisch Sinn ergibt ist auch dann noch zu prüfen.

Ein wichtiger Vorteil des Nabla-Operators ist seine Unabhängigkeit vom gewählten Koordinatensystem. In der Praxis werden zur Beschreibung kugelsymmetrischer oder zylindersymmetrischer Felder Kugelkoordinatensysteme bzw. Zylinderkoordinatensysteme verwendet, da in diesen Fällen eine Beschreibung in kartesischen Koordinaten deutlich aufwendiger wäre. Um eine übereinstimmende Darstellung von Gradient, Rotation und Divergenz in allen Koordinatensystemen zu gewährleisten, wird der verwendete Nabla-Operator für jedes Koordinatensystem mit entsprechenden Rechenvorschriften so definiert, dass die Operation in allen Koordinatensystemen die gleiche Wirkung auf das Feld hat.

Die Wirkung des Nabla-Operators (Gradient, Rotation oder Divergenz) ist also unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die genaue Rechenvorschrift zur tatsächlichen Durchführung der Operation ist allerdings abhängig vom verwendeten Koordinatensystem.

Um die Rotation $A$ eines Feldes zu beschreiben kann also immer die Gleichung $A={\vec {\nabla }}\cdot B$ verwendet werden. Die Durchführung dieser Operation als Rechenvorschrift ist in verschiedenen Koordinatensystemen aber unterschiedlich.

Integralsätze

In der Elektrodynamik haben zwei Integralsätze eine besonders große Bedeutung.

Gaußscher Integralsatz

Das Volumenintegral über eine skalare Größe kann mittels des Gradientbegriffs in ein Oberflächenintegral über dieses Volumen umgewandelt werden:

\int _{V}{\vec {\nabla }}\Psi ({\vec {x}})\mathrm {d} V=\oint _{\partial V}\Psi \cdot \mathrm {d} {\vec {F}}

Auch für vektorielle Größen möglich, gilt daß das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen gleich dem Integral des Flusses über die Oberfläche ist:

\int _{V}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}({\vec {x}})\mathrm {d} V=\oint _{\partial V}{\vec {A}}\cdot \mathrm {d} {\vec {F}}

Satz von Stokes

Das geschlossene Wegintegral einer vektoriellen Größe kann mittels der Rotation in ein Flächenintegral über eine vom Integrationsweg eingeschlossene Fläche umgewandelt werden:

\oint _{\partial A}{\vec {F}}({\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}=\int _{A}({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}

Für die Gleichungsumformung nützliche Kombinationen

Bisher haben wir nur erste Ableitungen gebildet.

${\vec {\nabla }}\times {\big (}{\vec {\nabla }}\Psi {\big )}={\vec {0}}$
${\vec {\nabla }}\cdot {\big (}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}{\big )}=0$
${\vec {\nabla }}\times {\big (}{\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}{\big )}={\vec {\nabla }}{\big (}{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}{\big )}-\nabla ^{2}{\vec {A}}$
${\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}T)={\vec {\nabla }}^{2}T=X$ (eine Zahl)
${\vec {\nabla }}(\nabla \times T)={\vec {0}}$

Den Abschluß bilden zwei für die Elektrodynamik sehr nützliche Theoreme:

Verschwinden der Rotation

Wenn ${\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}=0$ dann gibt es ein $\Psi$ , so daß ${\vec {A}}={\vec {\nabla }}\Psi$

Verschwinden der Divergenz

Wenn ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {A}}=0$ dann gibt es ein ${\vec {B}}$ , so daß ${\vec {A}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}$

Elektrostatik

Ein Großteil der Komplikationen läßt sich zunächst eliminieren, wenn wir nur zeitunabhängige Felder betrachten. Diesen Fall untersuchen die Elektrostatik und die Magnetostatik. In diesem Fall vereinfachen sich die Maxwell´schen Gleichungen zu:
$\nabla \cdot E={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
$\nabla XE=0$
$\nabla XB={\frac {j}{\varepsilon _{0}c^{2}}}$
$\nabla \cdot B=0$
Das System von vier Gleichungen kann in zwei Paare aufgeteilt werden, da die Felder nicht mehr miteinander gekoppelt sind. Die wechselseitige Abhängigkeit von E und B tritt erst auf, wenn in den Ladungen oder Strömen Änderungen stattfinden, etwa wenn die Ströme oder Ladungsverteilungen sich ändern.

Das Coulomb´sche Gesetz $F_{1}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r{^{2}}_{12}}}e_{12}=-F_{2}$ macht in dieser Form eine Aussage über die Kraft zwischen zwei Ladungsträgern, wobei $e_{12}$ der Einheitsvektor in Richtung von $q_{2}$ nach $q_{1}$ ist. Teilt man diese Gleichung durch $q_{1}$ erhält man
$E(1)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{2}}{r{^{2}}_{12}}}e_{12}$ . Dies nennen wir die elektrische Feldstärke am Punkt(1), unabhängig davon ob $q_{1}$ wirklich vorhanden ist. Sind mehrere Ladungen vorhanden, so müssen wir die Vektorsumme der einzelnen Beiträge dieser Ladungen bilden, um die Feldstärke an einem Punkt zu bestimmen. Dabei machen wir vom Überlagerungsprinzip, auch Superpositionsprinzip genannt, gebrauch.

E_{1}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j}{\frac {q_{i}}{r_{1j}^{2}\,}}e_{1j}

In Komponenten geschrieben bedeutet dies:
$E_{x}(x_{1},y_{1},z_{1})=\sum _{j}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q_{i}(x_{1}-x_{j})}{[(x_{1}-x_{j})^{2}+(y_{1}-y_{j})^{2}+(z_{1}-z_{j})^{2}]^{3/2}}}$
u.s.w. für die y- und z-Komponenten. Das mag für wenige Ladungen brauchbar sein, aber der Rechenaufwand steigt mit der Zahl der Ladungsträger erheblich an. Wenn man bedenkt, daß wir es mit ca. $10^{23}$ Teilchen pro mol zu tun haben sieht man auch für schnelle Computer schnell die Grenzen dieses Lösungsansatzes.
Fragt man nicht nach zu kleinen Raumgebieten kann man sich die Ladungen als kontinuierlich verschmiert denken und die Ladungsverteilung durch die Ladungsdichte $\,\rho (x,y,z)$ ersetzen.
Aus den Summen werden dann Integrale über Raumvolumen, die Ladungen enthalten.
$E(1)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \int \int _{V}{\frac {\rho (2)e_{12}}{r_{12}^{2}}}dV_{2}$
$E_{x}(x_{1},y_{1},z_{1})=\int \int \int _{V}{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\rho (x_{2},y_{2},z_{2})(x_{1}-x_{2})dx_{2}dy_{2}dz_{2}}{[(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}+(z_{1}-z_{2})^{2}]^{3/2}}}$

Aufgabe:

Berechnen Sie Feldaufgaben

Magnetostatik

Neben dem Ort hängt die Kraft auf eine elektrische Ladung auch von ihrer Geschwindigkeit ab. Dies kommt in der folgenden Gleichung zum Ausdruck, die die gesamte elektromagnetische Kraft beschreibt, die auf ein geladenes Teilchen wirkt, der Lorentz-Kraft:
${\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$
Es ist nicht unproblematisch, von statischen magnetischen Situationen zu sprechen, denn um ein Magnetfeld zu erhalten müssen Ströme fließen, sei es in einem Draht, als Kathodenstrahl oder einem Permanentmagneten.

Was sagen die beiden Maxwell´schen Gleichungen aus, die sich mit dem Magnetfeld befassen?
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$
Die Divergenz von B ist Null, das heißt es gibt kein magnetisches Analogon zur Stromdichte. Man spricht hier auch oft von magnetischen Monopolen, die es nicht gibt. Magnetfelder haben kein Anfang und kein Ende. Wenn Ströme fließen, erscheinen Magnetfelder, die diese umschließen, die nächste Gleichung drückt dies mathematisch aus:

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {j}{\varepsilon _{0}c^{2}}}$

Ohne weiteren Beweis, aber leicht nachprüfbar besagt diese Gleichung, daß die Feldlinien eines stromführenden Drahtes in geschlossenen Kreisen um den Draht verlaufen. Bei Permanentmagneten handelt es sich um Ströme innerhalb des Materials. Bei Eisen bestehen diese Ströme aus Elektronen mit einem Spin. Das heißt anschaulich, daß sich Elektronen um ihre eigene Achse drehen, was immer das heißen mag, da Elektronen, teils Welle, teils Teilcheneigenschaften haben und man sich einen Spin schwer vorstellen kann. Das gerade Eisen und einige andere Substanzen magnetisch sind bedeutet daß der Spin in diesen Materialien in großen Bezirken gleichgerichtet ist.