Gruppenseite - HHL Bearbeiten

Diese Seite enthält die gesammelten Materialien der Gruppe 4 - HHL für die mündliche Portfolioprüfung im Mastermodul 11 - Mathematik an der Universität Landau.

 
Modellbildung

Teilnehmer der Gruppe: Bearbeiten

  • Lapport, Felix
  • Herbrand, Tim
  • Häßel, Tobias

Modellierungsthema Bearbeiten

Modellierungszyklen Bearbeiten

Modellierungszyklus I Bearbeiten

Programm Bearbeiten

Definition der Variablen Bearbeiten

Im ersten Schritt des Programms werden zunächst die Variablen definiert. Im Zuge dessen wird eine Matrix als Schachbrettmuster erstellt und die Positon eines oder mehrerer Infizierter am Tag 1 angegeben.

 t = 19 ;              %Zeiteinheiten (Tage) (eigentliche Tage - 2) 
 A = zeros(15, 15);    %Erstellung einer Matrix als Schachbrett  
 A (7,6) = 2;          %Position des ersten Infizierten 
  %A (15,9) = 2;       %Position des zweiten Infizierten 
 [M N] = size (A);     %Matrix größen 
 I = 0 ;               %Gesamtanzahl von Infizierten 
 S = 0 ;               %Gesamtanzahl von Empfänglichen 
 R = 0 ;               %Gesamtanzahl von Imunen 


Programm Bearbeiten

Anschließend geht das Programm an jedem Tag alle Punkte durch und schaut dabei für jeden Punkt, ob ein Nachbar infiziert ist. Ist ein Nachbar infiziert, so wird der Punkt auch angesteckt.

Jeder einzelne Punkt der Matrix wird angeschaut falls dieser infiziert ist werden die Nachbarn infiziert. Besonderheit, nur wenn er frisch infiziert ist, infiziert er seine Nachbarn.

 %Alle um den Infizierten werden angesteckt 
  if A(m,n) == 0             
    hold on
  elseif A(m,n) == 2
  if A(m+1 ,n+1) < 2
    A(m+1 ,n+1) = 1 ;
  endif
  if A(m+1 ,n-1) < 2
    A(m+1 ,n-1) = 1 ;
  endif
  if A(m+1 ,n) < 2
    A(m+1 ,n) = 1 ;
  endif
  if A(m ,n+1) < 2
    A(m ,n+1) = 1 ;
  endif
  if A(m ,n-1) < 2
    A(m ,n-1) = 1 ;
  endif
  if A(m-1 ,n) < 2
    A(m-1 ,n) = 1 ;
  endif
  if A(m-1 ,n+1) < 2
    A(m-1 ,n+1) = 1 ; 
  endif
  if A(m-1 ,n-1) < 2
    A(m-1 ,n-1) = 1 ;
  endif


Die infizierten werden um einen Tag erhöht und sobald sie die 14 Tage überschreiten bekommen sie den Wert 99 um zu signalisieren, dass sie wieder gesund sind.

  %Infizierte Tage 
  if A(m,n) == 14
    A(m,n) = 99 ;
  endif
  if A(m,n) >=2 && A(m,n) <= 14
    A(m,n) = A(m,n) + 1 ;
  elseif A(m,n) == 0
  hold on
  endif

Da wir einen erst Infizierten gebraucht haben ist dieser mit dem Wert 1 versehen. Somit beginnen wir an Tag 1 mit dem Wert zwei. (im späteren Verlauf wurden die Werte der Matrix vor der Ausgabe um 1 reduziert, um einem Missverstädnis entgegen zu wirken.

  %neuinfizierte zu altinfizierte  
   for m = 1:M
     for n = 1:N
       if A(m,n) == 1 
         A(m,n) = 2 ;
       elseif A(m,n) == 0
         hold on
       endif
      endfor
   endfor


   %Anzahl Infizierte werden gezählt 
   if A(m,n) >= 2 && A(m,n) <= 14
      I = I+1 ;
   elseif A(m,n) == 0
      S = S + 1 ;
   elseif A(m,n) == 99
      R = R + 1 ;
   endif

Ausgabe des Programms Bearbeiten

Ausgangsmatrix Bearbeiten

In der Ausgangsmatrix A ist eine Person infiziert (2er) und zwar der Punkt (7,6). Alle anderen Punkte/Personen sind noch nicht Infiziert (0er).

 A =
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   2   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0


Nun wird für jeden Tag und für jeden Punkt geschaut, ob ein Nachbarpunkt infiziert ist und falls ja, der Punkt ebenfalls infiziert. Im Fall von Tag 1 werden daher alle Nachbarpunkte von (7,6) neu infiziert, sie werden daher auf eine 2 gestellt. Die Infizierten Personen/Punkte vom Tag 1 werden um eine Zahl höher gestellt, das heißt sie sind jetzt eine 3. Außerdem wird für jeden Tag die Anzahl der Susceptible (S),Infected (I) und Removed (R) ausgegeben. Am ersten Tag gehören 216 Personen zur Gruppe der Susceptible, 9 Personen sind infiziert und noch keine Person genesen.

 Tag =  1
 A =
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   2   2   2   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   2   3   2   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   2   2   2   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
S =  216
I =  9
R = 0


Ist eine Person 14 Tage infiziert gewesen, so ist sie nun gesund. Das bedeutet, sobald eine Person eigentlich auf eine 15 gestellt wird, wird sie nun auf eine 99 gestellt. Die 99 steht dabei für eine genesene Person. In diesem Beispiel ist die Person (7,6) am 13. Tag genesen, sie ist seit Tag 0 infiziert und damit 14 Tage infiziert gewesen.

 Tag =  13
 A =
     9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    8    7    6
    10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10    9    8    7    6
    10   11   11   11   11   11   11   11   11   11   10    9    8    7    6
    10   11   12   12   12   12   12   12   12   11   10    9    8    7    6
    10   11   12   13   13   13   13   13   12   11   10    9    8    7    6
    10   11   12   13   14   14   14   13   12   11   10    9    8    7    6
    10   11   12   13   14   99   14   13   12   11   10    9    8    7    6
    10   11   12   13   14   14   14   13   12   11   10    9    8    7    6
    10   11   12   13   13   13   13   13   12   11   10    9    8    7    6
    10   11   12   12   12   12   12   12   12   11   10    9    8    7    6
    10   11   11   11   11   11   11   11   11   11   10    9    8    7    6
    10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10    9    8    7    6
     9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    8    7    6
     8    8    8    8    8    8    8    8    8    8    8    8    8    7    6
     7    7    7    7    7    7    7    7    7    7    7    7    7    7    6
 S = 0
 I =  224
 R =  1

Aufgetretene Probleme Bearbeiten

In diesem Modell finden sich einige Probleme, die beachtet und in einem neuen Modell optimiert werden müssen. Dazu gehört zum Beispiel:

  • Bewegung: In dem Modell fehlt die Bewegung, aktuell sind alle Personen fest an ihrem Ort.
  • Jeder Nachbarpunkt wird automatisch infiziert, sodass die Berücksichtigung des Abstandes fehlt.

Modellierungszyklus II Bearbeiten

Programm Bearbeiten

Definition der Grundparameter Bearbeiten

Im ersten Schritt des Modells werden die wichtigsten Paramater (Tage, Matrixgröße, Ansteckungsabstand, Bewegungsgeschwindigkeit) definiert und eine mxn-Matrix aus Nullen erstellt. Außerdem wird die Position eines ersten Infizierten angegeben und Infizierte durch eine 2 im Modell kenntlich gemacht. In dem Modell stellen alle Nullen die Immunen dar, das heißt die Gruppe der Susceptible. Diese sind noch für eine Infektion mit dem Corona-Virus empfänglich.

 t = 19 ;                                      %Zeiteinheiten (Tage) (eigentliche Tage - 2) 
 A = zeros(15, 15);                            %Erstellung einer Matrix als Schachbrett 
 %A (1,6) = 2;                                 %Position des ersten Infizierten 
 %A (14,9) = 2;                                %Position des zweiten Infizierten 
 [M N] = size (A);                             %Matrix größen 
 A(ceil(rand(1,1)*15),ceil(rand(1,1)*5)) = 2;  %Zufällige Position des ersten Infizierten 
 I = 0 ;                                       %Gesamtanzahl von Infizierten 
 S = 0 ;                                       %Gesamtanzahl von Empfänglichen 
 R = 0 ;                                       %Gesamtanzahl von Imunen 
 AnsteckungsAbstand = 1.5 ;                    %Ansteckungsabstand festlegen 
 Bewegungsgeschwindigkeit = 2 ;                %Geschwindigkeit der einzelnen Pazellen 


Im nächsten Schritt erzeugen wir zufällige Positionen in Abhängigkeit der vorgegebenen Matrixgröße:

 X = rand(M,N);
 X = X*M;                           %Abstand in x-Richtung 
 Y = rand(M,N);
 Y = Y*N;                           %Abstand in y-Richtung 


Schleifen Bearbeiten

Unter der Hauptschleife, die quasi für jeden Tag einmal durchläuft gibt es noch folgende Schleifen:

Schleife 1 Bearbeiten

Die folgende Schleife wird für jeden einzelnen Tag erneut durchlaufen. Dabei wird an jedem einzelnen Tag der Abstand zwischen einem Punkt und den infizierten Punkten verglichen. Für diese Schleife wird auch die 1. Funktion (Abstandvergleichen) benötigt.

   Infiziermatrix = zeros(15,15);                 %Matrix der am Tag neuifizierten 
   X = Bewegung(A, Bewegungsgeschwindigkeit, X);  %zufällige Bewegung in x-Richtung an dem Tag i 
   Y = Bewegung(A, Bewegungsgeschwindigkeit, Y);  %zufällige Bewegung in y-Richtung an dem Tag i 
   for m = 1:M                                    %jeder Punkt wird einzeln durchgegangen 
     for n = 1:N
       if A(m,n) >= 2                             %nur die infizierten Punkte werden angeschaut 
          %Der Abstand jedes einzelnen Punktes wird mit dem Infizierten Punkt verglichen und sobald der 
          %Abstand zu gering ist, wird er in die Infiziermatrix eingetragen 
         Infiziermatrix = Infiziermatrix + Abstandvergleichen(A,m,n,X,Y,M,N,AnsteckungsAbstand) ;
          %Da ein Punkt von mehreren Leuten infiziert werden kann und sich somit addiert... 
          %werden die positiven Werte der Infiziermatrix auf 1 gesetzt. 
         Infiziermatrix = Matrix_eintraege_eins(Infiziermatrix,M,N);
       endif
     endfor
   endfor
   A = A + Infiziermatrix;             %Übertragung der neuinfizierten in die eigentliche Matrix 


Schleife 2 Bearbeiten

Hier werden die Infizierten um einen Tag erhöht und die Geheilten mit einer 16 markiert .

  %Infizierte Tage 
   for m = 1:M                %Jeder einzelne Punkt wird angeschaut 
     for n = 1:N
       if A(m,n) >= 15         %Alle Punkte, die länger als 15 Tage infiziert waren sind geheilt 
         A(m,n) = 16 ;         %und auf 16 gesetzt 16 steht für geheilt 
       endif
       if A(m,n) >=2 && A(m,n) <= 15  %Alle Infizierten 
         A(m,n) = A(m,n) + 1 ;        %deren Tag der Infizierung wird um eins erhöht 
       endif
      endfor
   endfor


Schleife 3 Bearbeiten

In dieser Schleife werden die neuinfizierten zu Infizierten. (vgl. erstes Modell)

  %neuinfizierte zu altinfizierte  
   for m = 1:M             %Jeder Punkt wird durchgegangen 
     for n = 1:N
       if A(m,n) == 1      %Neuinfizierte 
         A(m,n) = 2 ;      %werden zu Altinfizierte 
       elseif A(m,n) == 0  %mit Gesunden passiert nix 
         hold on
       endif
      endfor
   endfor


Schleife 4 Bearbeiten

Diese Schleife setzt alle Werte der Matrix, die INfiziert wurden um eins herunter, da wir bei 2 beginnen zu zählen (siehe Schleife 3).
Somit stimmen die werte der ausgegebenen Matrix mit den infizierten Tagen überein.

   Endmatrix = A;
   for m = 1:M                                  %Jeder Punkt wird angeschaut 
     for n = 1:N
       if A(m,n) >=2 && A(m,n) ~= 16
         Endmatrix(m,n) = Endmatrix(m,n) - 1 ;  %da neuifizierte mit 1 anfangen ist jeder Zahl eins zu hoch 
       endif                                    %so muss jeder Wert (bis auf die 0er) um eins veringert werden 
      endfor
   endfor


Funktionsdefinitionen Bearbeiten
Funktion "Wer steckt sich Abstandsbedingt an?" Bearbeiten
 function wert=Abstandvergleichen(A,m,n,X,Y,M,N,AnsteckungsAbstand)
   AnsteckungsMatrix = zeros(M,N);             %Matrix zum ausfüllen der Infizierten wird implementiert 
   for m1 = 1:M                                %Jeder Punkt wird angeschaut 
     for n1 = 1:N
        %Jeder Abstand wird nachgeprüft und mit dem Infektionsradius verglichen 
       if sqrt(abs(X(m1,n1)-X(m,n))^2 + (abs(Y(m1,n1)-Y(m,n)))^2) < AnsteckungsAbstand && m1 ~= m && n1 ~= n && A(m1,n1) == 0
           AnsteckungsMatrix(m1,n1) = 1;       %Falls der Abstand zu klein ist, wird er angesteckt und in der Matrix eingetragen 
       endif
     endfor
   endfor
 wert = AnsteckungsMatrix ;
 endfunction

Hier wird eine Matrix ausgegeben, die die Punkte Ausgibt, die sich an dem Tag angesteckt haben.

Funktion "zufällige Bewegung der Punkte" Bearbeiten
 function wert = Bewegung(Matrix, Geschwindigkeit, X)
   [M N] = size (Matrix) ;
     for m = 1:M
       for n = 1:N
         X(m,n) = X(m,n) + (rand-0.5)*2 * Geschwindigkeit ;
      endfor
   endfor
 wert = X ;
 endfunction

Hier bekommen die Werte der Positionsmatrix neue Werte, je nach angegebener Bewegungsgeschwindigkeit. Diese muss einmal für die Y-Werte und einmal für die X-Werte ausgeführt werden.

Funktion "Hilfsfunktion für die Anstreckungsfunktion" Bearbeiten
 function wert = Matrix_eintraege_eins(A,M,N)
   for m2 = 1:M
     for n2 = 1:N
       if A(m2,n2) >= 1
         A(m2,n2) = 1;
       endif
     endfor
   endfor 
   wert = A ;
 endfunction

Mit dieser Funktion werden alle Werte die nicht null sind auf den Wert 1 gesetzt.

Ausgabe des Programmes Bearbeiten

Ausgabe der Ausgangsmatrix:

 A =
    0   0   0   0   0   2   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0

Im Folgenden werden Beispiele des Punktegitters an verschiedenen Tagen dargestellt: Am ersten Tag sieht die Ausgabematrix wie folgt aus:

 Tag =  1
 Endmatrix =
    0   0   0   0   0   2   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0   1   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   1
    0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0   0
 S =  218
 I =  7
 R = 0


Am ersten Tag sind 7 Personen infiziert. 218 Personen sind Infektionsanfällig (Susceptible).

Es ist auch zusätzlich zu beachten, dass die Position der Punkte in keinem Zusammenhang zu der Position in der Matrix stehen.
Die Position wird unabhängig in einer X und Y Matrix gespeichert.

 

Am siebten Tag sind 190 Personen infiziert und 35 Personen sind noch infektionsanfällig. Bereits genesen ist noch niemand (R).

 Tag =  7
 Endmatrix =
    2   5   0   6   3   8   4   4   1   4   6   3   3   3   0
    6   5   0   2   3   0   5   3   0   6   4   3   0   5   3
    3   0   0   0   3   6   5   2   6   5   5   5   6   2   3
    2   4   5   2   0   0   6   0   0   0   3   2   6   4   7
    0   3   6   4   2   5   2   5   3   5   5   2   1   0   3
    3   4   3   2   5   3   1   4   5   4   6   7   2   7   5
    4   0   4   0   5   0   3   0   0   5   5   3   4   3   2
    2   2   2   6   6   5   5   0   5   5   3   6   0   5   2
    3   6   4   6   3   3   2   2   0   5   4   1   5   2   7
    3   4   0   2   1   2   4   0   4   3   0   3   7   1   3
    4   2   6   0   1   0   4   3   4   2   4   4   5   2   2
    0   1   2   2   3   0   4   2   5   4   2   5   4   3   3
    4   0   1   5   3   0   4   2   5   5   2   5   6   1   2
    4   5   6   2   5   3   1   3   2   3   5   5   1   5   7
    0   0   2   6   3   2   1   4   3   4   5   4   4   6   3
 S =  35
 I =  190
 R = 0


 

 Tag =  14
 Endmatrix =
     9   12    6   13   10   16   11   11    8   11   13   10   10   10   6
    13   12    7    9   10    7   12   10    0   13   11   10    0   12  10
    10    0    2    0   10   13   12    9   13   12   12   12   13    9  10
     9   11   12    9    7    1   13    7    2    6   10    9   13   11  14
     2   10   13   11    9   12    9   12   10   12   12    9    8    0  10
    10   11   10    9   12   10    8   11   12   11   13   14    9   14  12
    11    7   11    6   12    6   10    7    1   12   12   10   11   10   9
     9    9    9   13   13   12   12    5   12   12   10   13    0   12   9
    10   13   11   13   10   10    9    9    1   12   11    8   12    9  14
    10   11    5    9    8    9   11    7   11   10    6   10   14    8  10
    11    9   13    1    8    3   11   10   11    9   11   11   12    9   9
     0    8    9    9   10    7   11    9   12   11    9   12   11   10  10
    11    7    8   12   10    1   11    9   12   12    9   12   13    8   9
    11   12   13    9   12   10    8   10    9   10   12   12    8   12  14
     7    0    9   13   10    9    8   11   10   11   12   11   11   13  10
 S =  8
 I =  216
 R =  1


 

 Tag =  18
 Endmatrix =
    13   16   10   16   14   16   16   16   12   16   16   14   14   14  10
    16   16   11   13   14   11   16   14    0   16   16   14    0   16  14
    14    3    6    0   14   16   16   13   16   16   16   16   16   13  14
    13   16   16   13   11    5   16   11    6   10   14   13   16   16  16
     6   14   16   16   13   16   13   16   14   16   16   13   12    0  14
    14   16   14   13   16   14   12   16   16   16   16   16   13   16  16
    16   11   16   10   16   10   14   11    5   16   16   14   16   14  13
    13   13   13   16   16   16   16    9   16   16   14   16    2   16  13
    14   16   16   16   14   14   13   13    5   16   16   12   16   13  16
    14   16    9   13   12   13   16   11   16   14   10   14   16   12  14
    16   13   16    5   12    7   16   14   16   13   16   16   16   13  13
     0   12   13   13   14   11   16   13   16   16   13   16   16   14  14
    16   11   12   16   14    5   16   13   16   16   13   16   16   12  13
    16   16   16   13   16   14   12   14   13   14   16   16   12   16  16
    11    4   13   16   14   13   12   16   14   16   16   16   16   16  14
 S =  5
 I =  120
 R =  100


 

 

 

 
Animation der räumlichen Ausbreitung

Ergänzungen Octave-Tutorial Bearbeiten

Diese Ergänzungen wurden bei dem Octave-Tutorial vorgenommen, um die Implementation der Gruppe bzgl. der verwendeten Octave-Befehle nachvollziehbar zu machen.

Skripte in Octave Bearbeiten

Referenzieren Sie hier die von Ihnen verwendeten Skripte und Bibliotheken in Octave oder R/Studio

Literatur Bearbeiten

Notieren Sie hier die von Ihnen verwendete Literatur

  • Boto von Querenburg (2013) Mengentheoretische Topologie - Springer-Lehrbuch