Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 16/latex

\setcounter{section}{16}






\zwischenueberschrift{Aufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen gelten. \aufzaehlungzwei {Die Zuordnung
\mathl{U \mapsto { \mathcal E } { \left( U \right) }}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} offen ist eine \definitionsverweis {Garbe}{}{} von \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} auf $M$. } {Die \definitionsverweis {Strukturgarbe}{}{} ${\mathcal O}_{ M }$ ist eine \definitionsverweis {Untergarbe}{}{} von ${ \mathcal E }$. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{.} Zeige, dass für die \definitionsverweis {Garbe}{}{} der \definitionsverweis {unendlich oft reell-differenzierbaren}{}{} ${\mathbb C}$-wertigen Funktionen
\mathl{U \mapsto { \mathcal E } { \left( U \right) }}{} die \definitionsverweis {Halme}{}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind und nur von der \definitionsverweis {Dimension}{}{} der Mannigfaltigkeit abhängen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {p} {Y} {X } {} eine \definitionsverweis {holomorphe}{}{} \definitionsverweis {Überlagerung}{}{} zwischen den \definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeiten}{}{} \mathkor {} {X} {und} {Y} {.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass zu einer ${\mathbb C}$-wertigen \definitionsverweis {unendlich oft reell-differenzierbaren}{}{} Funktion \maabb {h} {X} { {\mathbb C} } {} die nach $Y$ zurückgezogene Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g }
{ \defeq} { h \circ p }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Eigenschaft besitzt, dass für jede \definitionsverweis {Decktransformation}{}{} \maabb {\theta} {Y} {Y } {} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g \circ \theta }
{ =} { g }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt. } {Die Überlagerung sei nun \definitionsverweis {normal}{}{.} Es sei \maabbdisp {g} {Y} { {\mathbb C} } {} eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft, dass für jede Decktransformation $\theta$ die Identität
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \circ \theta }
{ = }{ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Zeige, dass es eine differenzierbare Funktion \maabb {h} {X} { {\mathbb C} } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g }
{ = }{ h \circ p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Zerlegung in den ${\mathbb C}$-linearen und den ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{} Anteil der $\R$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {,} die bezüglich der reellen \definitionsverweis {Basis}{}{} \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} -5 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}}{} beschrieben wird.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {(x+y { \mathrm i}) } { 2x-3y +xy^2+ { \left( x^2-xy- y^5 \right) } { \mathrm i} } {.} \aufzaehlungzwei {Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} $\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{} Anteil. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {(x+y { \mathrm i}) } { \sin \left( xy \right) + { \left( x^3-xy^2 +2 y^4 \right) } { \mathrm i} } {.} \aufzaehlungzwei {Bestimme das \definitionsverweis {totale Differential}{}{} $\left(Df\right)_{P}$ von $f$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} \mathkor {} {1} {und} {{ \mathrm i}} {} in einem beliebigen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Bestimme die Zerlegung des totalen Differentials $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{} Anteil. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {riemannsche Zahlenkugel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S^2 }
{ \subseteq }{ \R^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme die reell-differenzierbaren ${\mathbb C}$-wertigen Funktionen auf $S^2$, die sich ergeben, wenn man eine Projektion \maabbdisp {p_{ij}} {\R^3} { \R^2 \cong {\mathbb C} } {} betrachtet. Wie sieht die Zerlegung des \definitionsverweis {totalen Differentials}{}{} in den ${\mathbb C}$-linearen und den ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{} Anteil aus?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten das \definitionsverweis {Gitter}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma }
{ = }{ \langle 1, { \mathrm i} \rangle }
{ \subseteq }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den zugehörigen \definitionsverweis {Torus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb C}/\Gamma }
{ \cong }{ \R / \Z \times \R { \mathrm i} / \Z { \mathrm i} }
{ \cong }{ S^1 \times S^1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir betten die Einheitssphären jeweils wieder in den
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R^2 }
{ \cong }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass bei der Projektion über die erste Komponente insgesamt die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {x+y { \mathrm i} } { \cos 2 \pi x + { \mathrm i} \sin 2 \pi x } {,} vorliegt. }{Zeige, dass bei der Projektion über die zweite Komponente insgesamt die Abbildung \maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} } {x+y { \mathrm i} } { \cos 2 \pi y + { \mathrm i} \sin 2 \pi y } {,} vorliegt. }{Bestimme für die Abbildungen aus (1) und (2) für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Zerlegung des \definitionsverweis {totalen Differentials}{}{} $\left(Df\right)_{P}$ in den ${\mathbb C}$-linearen und den ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {antilinearen}{}{} Anteil. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf einer \definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ die differenzierbaren 1-Formen
\mathl{{ \mathcal E }^{(1)}}{} und die differenzierbaren 1-Formen \mathkor {} {{ \mathcal E }^{(1,0)}} {bzw.} {{ \mathcal E }^{(0,1)}} {} vom Typ \mathkor {} {(1,0)} {bzw.} {(0,1)} {} \definitionsverweis {Garben}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf einer \definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ die Garbe der differenzierbaren 1-Formen
\mathl{{ \mathcal E }^{(1)}}{} eine kanonische Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal E }^{(1)} }
{ =} { { \mathcal E }^{(1,0)} \oplus { \mathcal E }^{(0,1)} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbele {d} { { \mathcal E } { \left( M \right) } } { { \mathcal E^{(1)} } { \left( M \right) } } {f} {df } {} die Ableitung, die einer komplexwertigen \definitionsverweis {reell unendlich oft differenzierbaren}{}{} Funktion ihre zugehörige $1$-Form zuordnet. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(f+g) }
{ = }{ df +dg }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d af }
{ = }{ adf }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gilt die \stichwort {Produktregel} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ dfg }
{ =} { fdg +gdf }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für $f$ nullstellenfrei ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d f^{-1} }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ f^2 } } df }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabbele {d} { { \mathcal E } { \left( M \right) } } { { \mathcal E^{(1)} } { \left( M \right) } } {f} {df } {} die Ableitung, die einer komplexwertigen \definitionsverweis {reell unendlich oft differenzierbaren}{}{} Funktion ihre zugehörige $1$-Form zuordnet. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ df }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn $f$ \definitionsverweis {lokal konstant}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass auf einer \definitionsverweis {komplexen Mannigfaltigkeit}{}{} $M$ ein \definitionsverweis {exakter}{}{} Garbenkomplex
\mathdisp {0 \longrightarrow {\mathbb C} \longrightarrow { \mathcal E } \stackrel{d}{\longrightarrow} { \mathcal E^{(1)} }} { }
vorliegt, wobei ${\mathbb C}$ die Garbe der lokal konstanten komplexwertigen Funktionen bezeichnet. Zeige, dass die letzte Abbildung nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ eine \definitionsverweis {komplexe Mannigfaltigkeit}{}{} und \maabb {f} {M} { {\mathbb C} } {} eine \definitionsverweis {reell unendlich oft differenzierbare}{}{} Funktion. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{$f$ ist eine \definitionsverweis {holomorphe Funktion}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ df }
{ = }{ d^hf }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d^af }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}